¿Qué es un conjunto vacío?
Definición: Un conjunto que no contiene ningún elemento se convierte en un conjunto vacío.
Nota: Representado por el símbolo Φ
Propiedades: El conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos.
Ejemplo: {x~2 1=-2}=Φ
Propiedades del conjunto vacío
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Vacío un conjunto es un subconjunto de todos los conjuntos.
Para cualquier conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A; {}?
Para cualquier conjunto A, la unión del conjunto vacío y A es A: A : A ∪ {} = A
Para cualquier conjunto A, la intersección del conjunto vacío y A es el conjunto vacío: A: A ∩ {} = {}
Para cualquier conjunto A, la intersección del conjunto vacío y A es el conjunto vacío: El producto cartesiano de un conjunto y A es el conjunto vacío: A: A × {} = {}
El único subconjunto del el conjunto vacío es el conjunto vacío en sí: A: A ?{} ?A = {}
El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su potencial) es cero, en particular, el conjunto vacío; es finito:
|{}| = 0
Conjunto La teoría establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, son iguales entonces sólo un conjunto puede no tener elementos; es decir, el conjunto vacío es único.
Considerando que el conjunto vacío es un subconjunto de la recta numérica real (o cualquier espacio topológico), el conjunto vacío es a la vez abierto y cerrado. El conjunto de puntos límite del conjunto vacío es el conjunto vacío, que es un subconjunto del conjunto vacío, por lo que el conjunto vacío está cerrado. El conjunto de puntos internos del conjunto vacío también es un conjunto vacío y es un subconjunto del conjunto vacío, por lo que el conjunto vacío está abierto. Además, el conjunto vacío es compacto porque todos los conjuntos finitos son compactos.
El cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío.
Preguntas frecuentes sobre conjuntos vacíos
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El conjunto vacío no es nada, es un conjunto sin elementos, y un conjunto tiene elementos. de. Esta suele ser una pregunta difícil para los principiantes. Podría resultar útil pensar en un conjunto como una bolsa que contiene sus elementos; la bolsa puede estar vacía, pero la bolsa en sí existe.
Es posible que algunas personas no comprendan la primera propiedad anterior, es decir, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A. Esta propiedad significa que cada elemento x de {} pertenece a A según la definición de subconjunto. Como no hay elementos en {}, no hay elementos en {} que no pertenezcan a A.
Teoría de conjuntos axiomática
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En la teoría de conjuntos axiomática (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankl), la existencia del conjunto vacío se debe a Determinado por el axioma del conjunto vacío. La unicidad del conjunto vacío se deriva de los axiomas explícitos.
Utilizando el axioma de separación, cualquier axioma que explique la existencia de un conjunto implica el axioma del conjunto vacío. Por ejemplo, si A es un conjunto, entonces el axioma de separación permite la construcción del conjunto B = {x en A | x ≠ x}, que puede definirse como el conjunto vacío.
Operaciones en el conjunto vacío
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Las operaciones en el conjunto vacío (como conjunto) también pueden causar confusión. (Por ejemplo, la suma de los elementos del conjunto vacío es 0 y su producto es 1 (ver producto vacío). Esto parece extraño: no hay elementos en el conjunto vacío, entonces, ¿cómo se suman y multiplican? En última instancia, estas operaciones El resultado es menos una cuestión de aritmética que el conjunto vacío. Por ejemplo, tenga en cuenta que 0 es el elemento identidad de la suma y 1 es el elemento identidad de la multiplicación.
El conjunto vacío y 0 <. /p>
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Por definición, el conjunto vacío tiene 0 elementos, o este potencial se llama 0. Sin embargo, la relación puede ir más allá: en la definición estándar de la teoría de conjuntos de números naturales , 0 se define como el conjunto vacío.
Teoría de categorías de conjuntos vacíos
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Si A es un conjunto, entonces hay exactamente uno de. {} a La función f de A es la función vacía Por tanto, el conjunto vacío es el único objeto inicial de las categorías de conjuntos y funciones.
Solo hay una forma de convertir un conjunto vacío en un espacio topológico, que es definir el conjunto vacío como un conjunto abierto, este espacio topológico vacío es el único objeto inicial de la clase de espacios topológicos con; mapeos continuos.
El conjunto vacío es un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío. .Φ tiene solo un subconjunto y ningún subconjunto adecuado. {Φ} tiene dos subconjuntos, uno es el subconjunto de Φ y el otro es su propio subconjunto.
Definición:
Un conjunto que no contiene elementos se convierte en el conjunto vacío.
A={1, 2, 3, 4, 5}. B={1, 3, 5} c={5, 4, 3, 2, 1}
Por ejemplo, "A es un subconjunto de B" significa que cualquier elemento de A es un elemento de B. A es un conjunto de algunos elementos de B. A es un subconjunto de B, pero eso no significa que A sea un conjunto formado por algunos elementos de B. Porque el subconjunto de B también se incluye a sí mismo, y este subconjunto está compuesto por todos los elementos de B.
El conjunto vacío también es un subconjunto de B, y este subconjunto no contiene elementos de B.
También se puede observar que es inexacto interpretar A como un subconjunto propio de B, es decir, A es un conjunto compuesto por algunos elementos de B: "A es un subconjunto de B" y " Al menos un elemento de B no pertenece a A".
"El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto" es correcto, pero es inexacto decir que el conjunto vacío es un subconjunto verdadero de cualquier conjunto. Porque el conjunto vacío es un subconjunto de sí mismo. La afirmación correcta es "El conjunto vacío es un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío". En definitiva, el lenguaje utilizado para explicar el concepto debe ser preciso.
Otro ejemplo, "AB es el complemento de A en todo el conjunto B" no puede decir simplemente que AB es el complemento de A, porque el concepto de complemento es relativo y el conjunto A está en conjuntos diferentes. El complemento de todo el conjunto es diferente, por lo que al explicar el concepto de complemento es necesario especificar los símbolos que pertenecen a "", los símbolos que no pertenecen a "", los símbolos que no pertenecen a "", sólo se pueden utilizar para elementos Símbolos con y entre conjuntos de relaciones de inclusión """", contenidos en los símbolos "" o "", sólo se pueden utilizar entre dos símbolos de conjuntos. En este sentido, los estudiantes deben prestar total atención y no utilizar palabras incorrectas, y no cometer errores como expresiones como , etc.
Otro ejemplo es que es un conjunto que contiene un elemento, y es un conjunto que no contiene ningún elemento, por lo que tiene y no se puede escribir como,.
En cuanto a los símbolos de subconjuntos y subconjuntos propios, el libro de texto adopta el nuevo estándar nacional, que es diferente del libro de texto original, por lo que debes prestar atención.
En cuanto al complemento, la nueva norma nacional estipula que el conjunto complemento o resto del subconjunto B del conjunto A se registra como C A B. Si el conjunto A ya está claro en la línea, la marca de A a menudo se puede omitir y se registra como C B .
El complemento de un conjunto es simplemente el complemento del conjunto A, lo cual no tiene sentido.