¿Qué son las operaciones booleanas? Hay una matemática llamada booleana en el Reino Unido.

Lógica booleana

La lógica booleana lleva el nombre de George Boole, un matemático británico de la University College Cork (ahora University College Cork, Irlanda) que la definió por primera vez a mediados del siglo XIX. sistema algebraico de lógica. Hoy en día, la lógica booleana tiene muchas aplicaciones en electrónica, hardware y software. En 1937, Claude Shannon demostró cómo se podía utilizar la lógica booleana en electrónica.

Lógica: Álgebra de conjuntos y diagramas de Venn

Utiliza el álgebra de conjuntos como una forma de introducir la lógica booleana. Los diagramas de Venn también se utilizan para mostrar las conexiones de conjuntos descritas por varias declaraciones lógicas booleanas.

Supongamos que X es un conjunto:

Un elemento es miembro de un conjunto. Representado como $\backslash in$. Si no es un elemento de este conjunto, se representa como $\backslash notin$.

El universo es el conjunto X, a veces denotado 1. Tenga en cuenta que el uso de la palabra corpus significa "todos los elementos considerados", que no es necesariamente lo mismo que "todos los elementos presentes".

Un conjunto vacío o nulo es un conjunto sin elementos, representado como $\backslash varnothing$, a veces representado como 0.

Los operadores unarios se aplican a un único conjunto. Existe un operador unario llamado lógico NOT (NOT). Lo que hace es tomar el complemento.

Los operadores binarios se aplican a dos conjuntos. Los operadores binarios básicos son lógicos OR y AND. Realizan la intersección y unión de conjuntos. Existen otros operadores binarios derivados, como el OR lógico exclusivo (XOR) (OR exclusivo).

Un subconjunto se representa como A $\backslash subseteq$ B, lo que significa que todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B.

Un subconjunto adecuado se representa como A $\backslash subset$ B, lo que significa que todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B y los dos conjuntos no son equivalentes.

Un superconjunto se representa como A $\backslash supseteq$ B, lo que significa que todos los elementos del conjunto B están en el conjunto A.

Un superconjunto verdadero, denotado A $\backslash supset$ B, significa que todos los elementos del conjunto B están en el conjunto A y los dos conjuntos no son idénticos.

Ejemplo

Supongamos que la imagen del conjunto A contiene todos los números pares (múltiplos de dos) del "conjunto completo" y el conjunto B contiene todos los múltiplos de tres del "conjunto completo". ". Entonces, la intersección de los dos conjuntos (todos los elementos de los conjuntos A Y B) serán todos múltiplos de seis en el "conjunto completo".

El complemento del conjunto A (todos los elementos que no están en el conjunto A) son todos los números impares del "conjunto completo".

Operaciones de unión

Aunque en cualquier operación booleana intervienen como máximo dos conjuntos, el nuevo conjunto formado a partir de esta operación se puede combinar con otros conjuntos para implementar otras operaciones booleanas. Usando el ejemplo anterior, podemos definir un nuevo conjunto C como el conjunto de todos los múltiplos de cinco en el "conjunto universal". Entonces, el "conjunto A, B y C" serán todos múltiplos de 30 en el "conjunto completo". Para mayor comodidad, podemos pensar en el conjunto AB como la intersección de los conjuntos A y B, o el conjunto de todos los múltiplos de seis en el "conjunto universal". Entonces podemos llamar "el conjunto AB Y C" al conjunto de todos los múltiplos de 30 en el "conjunto universal". Luego llamamos a este resultado conjunto ABC.

Usa paréntesis

Aunque cualquier número de AND lógicos (o cualquier número de OR lógicos) se pueden unir sin ambigüedad, la combinación de AND, OR y NOT puede generar ambigüedad. situación. En este caso, se pueden utilizar paréntesis para aclarar el orden de las operaciones.

Las operaciones siempre se realizan primero en los paréntesis más internos, seguidos por los paréntesis externos, y así sucesivamente hasta completar todas las operaciones. Luego realice operaciones fuera de los corchetes.

Propiedades

Los símbolos para las dos operaciones binarias principales se definen como $\backslash land\; /\; \backslash cap$ (intersección AND lógica) y $\backslash \; lor\; /\; \backslash cup$ (OR/unión lógica), define el símbolo de una única operación unaria como $\backslash lnot$ / ~ (NO lógico/complemento). También utilizamos los valores 0 (falso lógico/conjunto vacío) y 1 (verdadero lógico/conjunto completo).

Las siguientes propiedades se aplican tanto al álgebra booleana como a la lógica booleana:

$a\; \backslash lor\; (b\; \backslash lor\; c)\; =\; (a\; \backslash lor\; b)\; \backslash lor\; c$ $a\; \backslash \; land\; (b\; \backslash land\; c)\; =\; (a\; \backslash land\; b)\; \backslash land\; c$ Ley asociativa

$a\; \backslash lor\; b\; =\; b\; \backslash lor\; a$ $a\; \backslash land\; b\; =\; b\; \backslash land\; a$ Ley conmutativa

$a\; \backslash lor\; (a\; \backslash land\; b)\; =\; a$ $a\; \backslash land\; (a\; \backslash lor\; b\; )\; =\; a$ Ley de absorción

$a\; \backslash lor\; (b\; \backslash land\; c)\; =\; (a\; \backslash lor\; b)\; \backslash land\; (a\; \backslash lor\; c)$ $a\; \backslash land\; (b\; \backslash lor\; c)\; =\; (a\; \backslash land\; b)\; \backslash lor\; (a\; \backslash land\; c)$ Ley distributiva

$a\; \backslash lor\; \backslash lnot\; a\; =\; 1math>$ a\; \backslash land\; \backslash lnot\; a\; =\; 0$Ley\; de\; complementariedad$

$a\; \backslash lor\; a\; =\; a$ $a\; \backslash land\; a\; =\; a$ math> Ley idempotente

$a\; \backslash lor\; 0\; =\; a$ $a\; \backslash land\; 1\; =\; a$ Ley acotada

$a\; \backslash lor\; 1\; =\; 1$ $a\; \backslash land\; 0\; =\; 0$

$\backslash lnot\; 0\; =\; 1$ $\backslash \; lnot\; 1\; =\; 0$ 0 y 1 son complementarios

$\backslash lnot\; (a\; \backslash lor\; b)\; =\; \backslash lnot\; a\; \backslash land\; \backslash lnot\; b$ $\backslash lnot\; (\; a\; \backslash \; land\; b)\; =\; \backslash lnot\; a\; \backslash lor\; \backslash lnot\; b$ ley de Morgan

$\backslash lnot\; \backslash lnot\; a\; =\; a$ Involución

Tabla de verdad

La lógica booleana solo utiliza dos valores 0 y 1. La intersección y unión de estos dos valores se puede definir usando la tabla de verdad de la siguiente manera:

\cap 0 1

0 0 0

1．0 1

$\backslash cup$ 0 1

0 0 1

1.1 1

También se pueden construir tablas de verdad más complejas que involucran múltiples entradas y otras operaciones booleanas.

Las tablas de verdad se utilizan en lógica y explican que 0 es falso, 1 es verdadero, $\backslash cap$ es Y, $\backslash cup$ es O y &no. ; está mal.

Otras notaciones

La lógica booleana se puede expresar utilizando varios estilos de operadores básicos. Y, O, NO son los más intuitivos. Los matemáticos, ingenieros y programadores suelen utilizar + para representar o y $\backslash cdot$ para representar AND (porque de alguna manera estas operaciones son similares a la suma y la multiplicación en otras construcciones algebraicas, y esta notación hace que una persona se sienta familiar con álgebra ordinaria se puede obtener fácilmente la forma normal de suma de productos). Not también se representa con un guión encima de la expresión que se va a negar.

Otra notación utiliza "cruz" para expresar y "y" para expresar o. Pero esto puede generar confusión, porque el término "unión" también se usa a menudo para otra operación booleana que combina conjuntos, que incluye AND o ambos.

Uso matemático básico de términos booleanos

En el caso de ecuaciones simultáneas, se conectan con un AND lógico implícito:

x + y = 2

p>

Y

x - y = 2

Lo mismo se aplica a desigualdades simultáneas:

x + y < 2

Y

x - y < 2

El signo mayor o igual ($\backslash ge$) y el signo menor o igual ($\backslash \; le$) se puede suponer que contiene un OR lógico:

X < 2

OR

X = 2

Más/menos ( $\backslash pm$), en el caso de la solución de raíz cuadrada, puede verse como un OR lógico:

ANCHO = 3

OR

WIDTH = -3

La lógica booleana define varias funciones lógicas booleanas en las computadoras, a veces llamadas operadores. Cada función utiliza un algoritmo lógico para calcular un valor de salida basado en una o más entradas. El algoritmo determina cuándo generar verdadero en función de la combinación de entradas verdaderas y falsas (0 verdadero, 1 falso; 1 verdadero, 0 falso. Relativo). Cada función lógica es similar a una operación lógica del mundo real y puede usarse para definir varias situaciones lógicas.

1 Not (NOT)

Función: NOT es solo una negación; la salida es lo opuesto a la entrada. (La función NOT tiene solo una entrada, por lo que se llama función unaria u operador unario). Cuando la entrada es falsa, la salida es verdadera y viceversa. La función NOT expresa lógicamente lo contrario de una condición.

2 AND (AND)

Función: AND puede tener cualquier número de entradas, pero el mínimo es dos. La salida de la función AND es verdadera sólo si sus entradas primera, segunda y tercera, etc., son todas verdaderas.

3 O (OR)

Función: OR puede tener cualquier número de entradas, pero al menos dos. La salida de la función OR es verdadera siempre que una de sus entradas contenga verdadera.

4? ¿OR exclusivo? (XOR)

Función: XOR es una variante de OR. Su salida es verdadera sólo si una entrada u otra es verdadera, pero no ambas (es decir, si las entradas son diferentes).