¿Por qué los conjuntos abiertos y las vecindades en la topología de conjuntos de puntos parecen definiciones circulares?

Un conjunto abierto es un concepto básico. No se define por que cada punto tenga una vecindad. Ya sea un conjunto abierto o cerrado, recuerda que partiendo de uno, no existe una definición circular.

Hay muchos puntos de partida para la definición de espacio topológico. Hausdorff dio una definición de topología de vecindad basada en el axioma de vecindad. Esta definición hace que sea más vívido entender el espacio métrico. , pero no conciso, por lo que una definición más general de espacio topológico es utilizar conjuntos abiertos.

Pero luego descubrimos (el autor luego explicó) que este "XX" tiene 4 propiedades de axioma de vecindad, es decir, si tomamos las 3 propiedades del conjunto abierto como axiomas a priori, Podemos definir una estructura llamada "XX", que tiene 4 elementos que se pueden usar para derivar otras cosas según la vecindad, por lo que podemos considerar completamente el conjunto abierto como el más básico.

Resumen:

Partiendo de los tres axiomas de los conjuntos abiertos, nuestro "XX" tiene las mismas propiedades y comportamiento que el "vecindario" de otro sistema. Tenga en cuenta que no existe la palabra "vecindario" en nuestro sistema de conjunto abierto en este momento.

Para expresar y recordar las mismas propiedades y comportamientos de "XX" en nuestro sistema de conjunto abierto y "vecindad" en el sistema de vecindad, simplemente le damos a este "XX" un nombre formal. "campo".