¿Qué fórmula se utiliza para calcular pi?
Pi
Pi se refiere a la relación entre la circunferencia de un círculo y el diámetro de un plano. Representado por el símbolo π (pronunciado: PAI). En la antigua China, había nombres como tasa redonda, tasa redonda y Zhou. (π≈3,14 en ingeniería)
La historia de pi
El antiguo griego Euclides mencionó en "Elementos de geometría" (alrededor de principios del siglo III a. C.) que pi es un constante Hay un registro en el antiguo libro de aritmética chino "Zhoubi Suanjing" (alrededor del siglo II a. C.) de que "un diámetro son tres semanas", y también se cree que pi es una constante. En la historia se han utilizado varias aproximaciones de pi, la mayoría de las cuales se obtuvieron mediante experimentos. Por ejemplo, en el papiro egipcio antiguo (alrededor de 1700 a. C.), π = (4/3) ^ 4≈3.1604. La primera persona en utilizar métodos científicos para encontrar el valor de pi fue Arquímedes en "La medición de un círculo" (siglo III a. C.), utilizó las circunferencias de polígonos regulares inscritos y circunscritos por un círculo para determinar los límites superior e inferior de. la circunferencia de un círculo Comenzando desde un hexágono regular y duplicando el cálculo a un polígono regular de 96 lados, obtenemos (3+(10/71)) < π < (3+(1/7)), lo que crea el. Método geométrico para calcular pi (también conocido como método clásico o método de Arquímedes), obtiene el valor de π con una precisión de dos decimales.
Cuando el matemático chino Liu Hui comentó sobre "Nueve capítulos de aritmética" (263 d.C.), obtuvo el valor aproximado de π simplemente inscribiendo un polígono regular en un círculo, y también obtuvo un valor de π preciso. a dos decimales. Su método fue llamado técnica de circuncisión por generaciones posteriores.
Zu Chongzhi, un matemático de las dinastías del Sur y del Norte, obtuvo además un valor de π con una precisión de 7 decimales (aproximadamente en la segunda mitad del siglo V. Dio una aproximación deficiente de 3,1415926). y una aproximación de excedente de 3.1415927, y también obtuvo dos valores fraccionarios aproximados, tasa de densidad 355/113 y tasa de contrato 22/7. La densidad no fue obtenida por el alemán Otto en Occidente hasta 1573. Fue publicada en la obra del ingeniero holandés Antonis en 1625 y se llamó tasa de Antonis en Europa.
A principios del siglo XV, el matemático árabe Qasi obtuvo el valor decimal preciso de 17 dígitos de pi, rompiendo el récord de Zu Chongzhi de casi mil años.
El matemático alemán Curran calculó el valor de π con 20 decimales en 1596, y luego dedicó su vida a calcularlo con 35 decimales en 1610. Este valor lleva su nombre.
En 1579, el matemático francés Veda dio la primera expresión analítica de π.
Desde entonces, han aparecido una tras otra varias expresiones de valores π, como expresiones de productos infinitos, fracciones continuas infinitas y series infinitas, y la precisión del cálculo de los valores π también ha aumentado rápidamente. En 1706, el matemático británico Machin calculó que el valor de π superaba los 100 decimales. En 1873, otro matemático británico, Shankers, calculó el valor de π con 707 decimales. Lamentablemente, sus resultados fueron erróneos a partir de 528 decimales. En 1948, Ferguson del Reino Unido y Renzi de los Estados Unidos publicaron conjuntamente el valor decimal de 808 dígitos de π, que se convirtió en el récord más alto para el cálculo manual del valor de pi.
La aparición de los ordenadores electrónicos ha propiciado un rápido desarrollo de los cálculos del valor π. En 1949, el Laboratorio de Investigación de Balística del Ejército en Aberdeen, Maryland, EE. UU., utilizó una computadora (ENIAC) para calcular el valor de π por primera vez, y se calculó con 2037 decimales, superando los miles. En 1989, investigadores de la Universidad de Columbia en Estados Unidos utilizaron las supercomputadoras Cray-2 e IBM-VF para calcular el valor de π a 480 millones de dígitos después del punto decimal, y luego continuaron calculando hasta 1,01 mil millones de dígitos después del punto decimal, estableciendo un nuevo récord.
Además del cálculo numérico de π, la discusión sobre sus propiedades también ha atraído a muchos matemáticos. En 1761, el matemático suizo Lambert fue el primero en demostrar que π es un número irracional. En 1794, el matemático francés Legendre demostró que π2 también es un número irracional. En 1882, el matemático alemán Lindemann demostró por primera vez que π era un número trascendental, negando así el problema de la "cuadratura de un círculo" que había desconcertado a la gente durante más de dos mil años. Otros están estudiando las características de π y su relación con otros números. Por ejemplo, en 1929 el matemático soviético Gelfand demostró que eπ es un número trascendental y así sucesivamente.
Calcular pi
Muchas personas en el país y en el extranjero se han dedicado a la investigación y el cálculo de pi en los tiempos antiguos y modernos. Para calcular aproximaciones cada vez mejores de pi, generaciones de matemáticos han dedicado innumerables tiempo y esfuerzos a este misterioso número.
Antes del siglo XIX, el cálculo de pi avanzaba muy lentamente. Después del siglo XIX, se establecieron con frecuencia récords mundiales para el cálculo de pi. Se puede decir que todo el siglo XIX fue el siglo con la mayor cantidad de cálculos manuales de pi.
En el siglo XX, con la invención de las computadoras, el cálculo de pi ha avanzado rápidamente. Con la ayuda de supercomputadoras, la gente ha obtenido 206,1 mil millones de dígitos de precisión pi.
Uno de los cálculos más maratonianos de la historia es el de Ludolph Van Ceulen de Alemania. Pasó casi toda su vida calculando los 262 polígonos regulares inscritos de un círculo y obtuvo la proporción pi en 1609. La precisión de 35 dígitos. El valor es tal que pi se llama número de Ludolph en Alemania; el segundo es William Shanks del Reino Unido, quien pasó 15 años y calculó 707 decimales de pi en 1874. Desafortunadamente, las generaciones posteriores descubrieron que calculó mal a partir del lugar 528.
Calcular el valor de pi con tanta precisión tiene poca importancia práctica. Para el valor pi utilizado en la ciencia y la tecnología modernas, una docena de dígitos son suficientes. Si se utiliza el valor pi de precisión de 35 dígitos calculado por Ludolph Van Ceulen para calcular la circunferencia de un círculo que puede encerrar el sistema solar, el error será inferior a una millonésima parte del diámetro de un protón. En el pasado, la gente calculaba pi para explorar si pi es un decimal recurrente. Desde que Lambert demostró que pi es un número irracional en 1761 y Lindemann demostró que pi es un número trascendental en 1882, el misterio de pi ha quedado desvelado.
Hoy en día, la mayoría de la gente calcula pi para verificar la potencia informática de los ordenadores y también simplemente por diversión.
Cómo calcular pi
Los antiguos generalmente usaban el método de corte de círculos para calcular pi. Es decir, utilice el polígono regular inscrito o circunscrito del círculo para aproximar la circunferencia del círculo. Arquímedes usó un polígono regular de 96 lados para obtener 3 decimales de precisión para pi; Liu Hui usó un polígono regular de 3072 lados para obtener una precisión de 5 dígitos y Ludolph Van Ceulen usó un polígono regular de 262 lados para obtener 35 dígitos; precisión. Este algoritmo basado en geometría es computacionalmente intensivo, lento e ingrato. Con el desarrollo de las matemáticas, los matemáticos han descubierto muchas fórmulas para calcular pi de forma intencionada o no al realizar investigaciones matemáticas. A continuación seleccionamos algunas fórmulas clásicas de uso común para presentar. Además de estas fórmulas clásicas, existen muchas otras fórmulas y fórmulas derivadas de estas fórmulas clásicas, por lo que no las enumeraré una por una.
1. Fórmula de Machin
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Esta fórmula Descubierto en 1706 por el profesor de astronomía británico John Machin. Usó esta fórmula para calcular pi con 100 dígitos. La fórmula de Machin puede obtener 1,4 dígitos decimales de precisión para cada término calculado. Debido a que el multiplicando y el dividendo durante su cálculo no son mayores que un número entero largo, se puede programar fácilmente en una computadora.
Programa fuente Machin.c
Existen muchas fórmulas arctangentes similares a las fórmulas de Machin. De todas estas fórmulas, la fórmula de Machin parece ser la más rápida. Aun así, si necesita calcular más dígitos, como decenas de millones de dígitos, la fórmula de Machin no podrá hacerlo. El algoritmo que se presenta a continuación se puede utilizar para obtener una precisión de más de 100 millones de dígitos de pi en aproximadamente un día en una PC. Estos algoritmos son más complejos de implementar con programas. Debido a que el proceso de cálculo implica la multiplicación y división de dos números grandes, se debe utilizar el algoritmo FFT (Transformada Rápida de Fourier). FFT puede acortar el tiempo de multiplicación y división de dos números grandes de O (n2) a O (nlog (n)).
2. La fórmula de Ramanujan
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En 1914, el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó una serie de ***14 fórmulas. para calcular pi, este es uno de ellos. Esta fórmula puede obtener 8 dígitos de precisión decimal para cada término calculado.
En 1985, Gosper utilizó esta fórmula para calcular el dígito 17.500.000 de pi.
En 1989, los hermanos David y Gregory Chudnovsky mejoraron la fórmula de Ramanujan en:
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Esta fórmula se llama fórmula de Chudnovsky , cada cálculo puede obtener 15 dígitos de precisión decimal. En 1994, los hermanos Chudnovsky utilizaron esta fórmula para calcular 4.044.000.000 dígitos. Otra forma de la fórmula de Chudnovsky que es más conveniente para la programación de computadoras es:
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3 Algoritmo AGM (media aritmética-geométrica)
Fórmula de Gauss-Legendre:
Valor inicial: /images/200503/pic_247051.gif
Cálculo repetido: /images/200503/pic_247052.gif
Cálculo final: /images/200503/pic_247053.gif
Esta fórmula obtendrá el doble de precisión decimal para cada iteración. Por ejemplo, para calcular 1 millón de dígitos, 20 iteraciones son suficientes. En septiembre de 1999, Takahashi y Kanada utilizaron este algoritmo para calcular el dígito 206.158.430.000 de pi, estableciendo un nuevo récord mundial.
4. Las cuatro fórmulas de iteración de Borwein:
Valor inicial: /images/200503/pic_247054.gif
Cálculo repetido: /images/200503/pic_247055.
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Cálculo final: /images/200503/pic_247057.gif
Esta fórmula fue propuesta por Jonathan Borwein y Peter Borwein Publicado en 1985, convergió en pi cuatro veces.
5. Algoritmo de Bailey-Borwein-Plouffe
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Esta fórmula se conoce como fórmula BBP y fue desarrollada por David Bailey, Peter Borwein y Publicado simultáneamente por Simon Plouffe en 1995. Rompe el algoritmo pi tradicional y puede calcular cualquier enésimo dígito de pi sin calcular los n-1 dígitos anteriores. Esto proporciona la viabilidad del cálculo distribuido de pi. En 1997, Fabrice Bellard encontró una fórmula que era un 40% más rápida que BBP:
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