Preguntas sobre vectores propios y valores propios
Sabemos que la multiplicación de matrices corresponde a la transformación, es decir, el proceso de convertir cualquier vector en otro nuevo vector con una dirección o longitud mayoritariamente diferente. Durante este proceso de transformación, el vector original sufre principalmente cambios de rotación y expansión. Si una matriz solo escala uno o más vectores sin rotarlos, entonces estos vectores se denominan vectores propios de la matriz y la cantidad de escala es el valor propio.
De hecho, el párrafo anterior habla tanto del significado geométrico de los valores propios como de los vectores propios de la transformación matricial (transformación gráfica), y también habla de su significado físico. El significado físico se refiere al movimiento de los gráficos: los vectores propios se expanden y contraen bajo la acción de la matriz, y el tamaño de la expansión y contracción está determinado por los valores propios. Cuando el valor propio es mayor que 1, la forma de todos los vectores propios que pertenecen a ese valor propio se expande; cuando el valor propio es mayor que 0 y menor que 1, la forma del vector propio se reduce cuando el valor propio es menor que 0, el límite del; El vector propio se contrae en la misma dirección que el punto 0. Allí es lo opuesto.
Nota: Los libros de texto suelen decir que los vectores propios son vectores que no cambian de dirección bajo la transformación matricial. De hecho, cuando el valor propio es menor que 0, la matriz cambiará completamente el vector propio en la dirección opuesta. , los vectores propios o vectores propios. Estoy de acuerdo en que los vectores propios no cambian de dirección: nunca cambian de dirección, solo los valores propios cambian de dirección (los valores propios son negativos cuando la dirección es opuesta). Esto es un poco similar a decir que la "temperatura" exterior en Shenzhen en invierno es de 10°C, y la "temperatura" exterior en Harbin es de -30°C (llamada temperatura en lugar de temperatura del aire también es similar a decir); que la "altitud" de un dron sobre el nivel del mar también es similar, Yu dijo que la "altitud" a la que vuelan los drones es de 100 metros sobre el nivel del mar, mientras que la "altitud" a la que navegan los submarinos nucleares es de -50 metros sobre el nivel del mar. (Esto se llama altura, no altitud).
Aquí hay dos puntos importantes sobre los valores propios y los vectores propios. Uno de estos dos aspectos destacados es el significado de las invariantes lineales y el otro es el significado espectral de la vibración.
Los vectores propios son invariantes lineales
Uno de los aspectos más destacados del llamado concepto de vector propio es el invariante, que aquí se denomina invariante lineal. Porque a menudo decimos, transformación lineal, transformación lineal, ¿no es simplemente cambiar una línea (vector) a otra línea (vector)? La mayoría de los cambios en una línea son cambios de dirección y longitud. Pero existe un tipo especial de vector llamado "vector propio", que no cambia de dirección bajo la acción de la matriz, sino que solo cambia de longitud. Esta propiedad de no cambiar de dirección se llama invariancia lineal.
Si algunos lectores insisten en que los vectores propios negativos son vectores que cambian de dirección, entonces es posible que deban pensar en una invariancia lineal como esta: la invariancia de los vectores propios es que se convierten en vectores de sus propias líneas, y las líneas rectas donde están ubicados permanecen sin cambios bajo transformación lineal, los vectores propios y sus vectores transformados están en la misma línea recta, y los vectores transformados se alargan o acortan, o se alargan o acortan a la inversa, o se alargan o acortan en la dirección opuesta, o alargarse o acortarse en la dirección opuesta. O acortarlo, o alargarlo o acortarlo a la inversa, o incluso convertirse en un vector cero (cuando el valor propio es cero), como se muestra en la siguiente figura.
El valor propio es el espectro de frecuencia de la vibración.
Además de la invariante lineal, otro punto destacado es la vibración. Según un chiste, en la dinastía Song, mi país se había perdido el descubrimiento de la teoría del valor propio de la matriz. En otras palabras, el talentoso Qin Shaoyou arrojó un guijarro al estanque. Después de recibir un verso de una niña que decía "arrojar un guijarro para abrir el agua del mundo", entró apresuradamente en la cueva. Inesperadamente, había valores propios de matriz. escondido en las ondas del agua y axiomas científicos de vectores propios. En términos generales, las gotas de agua en cualquier punto cerca de la superficie del agua vibran hacia arriba y hacia abajo en el lugar (en realidad hacen un movimiento circular aproximado) y no se mueven hacia el círculo exterior con la onda. La amplitud de estas gotas de agua que vibran hacia arriba y hacia abajo es. disminuyendo gradualmente. Cuando una piedra de una masa y forma específicas determinadas por la matriz se arroja a un estanque específico en un área y profundidad específicas con un cierto ángulo y velocidad, el valor característico de las ondas en el proceso de gradiente de las gotas de agua juega un papel importante. papel decisivo, que determina La frecuencia de vibración de las gotas de agua y la velocidad de atenuación de la amplitud.
En el proceso de comprensión de los valores propios y vectores propios de la vibración, es necesario sumar los conceptos de vectores complejos y matrices complejas, porque en aplicaciones prácticas los vectores reales y las matrices reales no son muy útiles.
La vibración electromecánica tiene un espectro, y una cierta frecuencia de vibración tiene una cierta amplitud; entonces la matriz también tiene una matriz de espectro. El concepto de matriz de espectro son los valores propios de la matriz, que es una característica inherente de la matriz. Todos los valores propios forman una matriz de espectro, y cada valor propio es un "punto de frecuencia de resonancia" de la matriz.
El matemático estadounidense G. Strang introdujo el significado físico de los valores propios como frecuencias en su libro de texto clásico "Álgebra lineal y sus aplicaciones":
El ejemplo más simple de esto (aunque un Se dice que el puente fue destruido en 1831) puede haber un par de soldados cruzando el puente. Tradicionalmente, tenían que dejar de caminar al unísono y cruzar el puente. Esto se debe a que la frecuencia a la que caminan al unísono puede ser igual a uno de los valores propios del puente, por lo que dos dedos vibrarán. Al igual que un niño en un columpio, una vez que descubre que el columpio coincide con esa frecuencia, hace que el columpio suba más. Los ingenieros siempre están tratando de alejar las frecuencias naturales de los puentes o los cohetes de las frecuencias del viento o de las frecuencias del combustible líquido, mientras que en el otro extremo, los corredores de bolsa se pasan la vida tratando de alcanzar la línea de frecuencia natural del mercado; Los valores propios son casi las características más importantes de todos los sistemas de energía.
De hecho, la matriz forma un "espectro de frecuencia" porque tiene un efecto de transformación continua sobre los vectores en la dirección señalada por los vectores propios: es decir, el efecto de fortalecer (o debilitar) los vectores propios. Además, si las matrices continúan superponiéndose con los vectores, entonces el papel de los vectores propios pasará a primer plano.
Por ejemplo, las características de un sistema físico pueden describirse mediante una matriz, luego las características físicas de este sistema pueden determinarse mediante los valores propios de esta matriz. Varias señales (vectores) ingresan a este sistema. La señal de salida (vector) del sistema sufrirá varios cambios caóticos, como desfase, amplificación, reducción, etc. Sin embargo, sólo la señal característica (vector propio) cambiará de manera estable en la amplificación (o reducción). Si el puerto de salida del sistema está conectado al puerto de entrada, solo la señal característica (vector propio) se amplifica (o reduce) por segunda vez, mientras que otras señales, como las señales retrasadas, pueden retrasarse o sobrepasarse al mismo tiempo. las señales amplificadas pueden amplificarse o reducirse al mismo tiempo, y las señales de retraso pueden amplificarse o reducirse al mismo tiempo, las señales pueden amplificarse o amplificarse al mismo tiempo, etc. Después de N ciclos, es obvio que el grupo de vectores caóticos no puede llegar a la cima. Solo los vectores característicos que piensan en un lugar y trabajan duro en un lugar lograrán hacerse famosos o perderán su reputación. Por lo tanto, podemos observar la salida en el dominio del tiempo y obtener una o algunas señales características súper obvias (vectores propios).
Amigos que han trabajado en circuitos ya han visto mi sugerencia: ¡Córtalo! ¿De qué estás hablando? No estás hablando del principio de un oscilador. La señal de oscilación (voltaje, corriente) constituye un vector propio. El valor propio es 1. La frecuencia de la señal de oscilación es...
Sí, sí, sí, es el principio del oscilador. De hecho, el principio del oscilador puede explicarse en términos de potencias de matrices. Este editor no es bueno en el análisis matricial, por lo que ignoraremos los detalles aquí.
Extraído de Significado geométrico en álgebra lineal