Resumen de los puntos de conocimiento en el primer volumen de matemáticas de séptimo grado Capítulo 1

El aprendizaje es una balanza equilibrada, con esfuerzo de un lado y ganancia del otro. ¡Paga menos y gana menos, paga más y gana más! Si desea lograr los resultados ideales, estos son los pasos: compartamos el primer capítulo del resumen de puntos de conocimiento del primer volumen de matemáticas de séptimo grado. Espero que sea de ayuda para todos.

Capítulo 1 Números Racionales

1. Números Positivos y Negativos

1. Conceptos de Números Positivos y Negativos

Números Negativos: Más Pequeños mayor que 0 Número positivo: un número mayor que 0 0 no es ni positivo ni negativo

Nota: ①La letra a puede representar cualquier número. Cuando a representa un número positivo, -a es un número negativo. ; cuando a representa un número negativo, -a es un número positivo; cuando a representa 0, -a sigue siendo 0. (Si la pregunta de juicio es: un número con un signo positivo es un número positivo y un número con un signo negativo es un número negativo, esta afirmación es incorrecta. Por ejemplo, +a, -a no puede hacer un juicio simple)

②Los números positivos a veces pueden ir precedidos de "+" y, a veces, se omite "+". Entonces, el signo de un número positivo omitiendo "+" es el signo más.

2. Una cantidad con significado opuesto

Si un número positivo representa una cantidad de cierto significado, un número negativo puede representar una cantidad con significado opuesto al número positivo, como como:

8 ℃ por encima de cero se expresa como: +8 ℃ por debajo de cero se expresa como: -8 ℃

Gastos e ingresos aumentan y disminuyen; ; norte y sur; este y oeste; ascenso y caída; crecimiento y disminución, etc. son cantidades relativamente opuestas y se cuentan:

Un número que es mayor que el número original generalmente se registra como un un número positivo; por el contrario, un número menor que el número original generalmente se registra como un número positivo; un número reducido generalmente se registra como un número negativo.

El significado de 3.0

⑴0 significa "no", si hay 0 personas en el aula, significa que no hay nadie en el aula.

⑵0 es un número positivo y un número negativo La línea divisoria de , 0 no es ni un número positivo ni un número negativo.

2. Números racionales

1. El concepto de números racionales

⑴Los enteros positivos, 0, y los enteros negativos se denominan colectivamente números enteros (0 y los enteros positivos se llamados colectivamente números naturales)

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⑵Las fracciones positivas y las fracciones negativas se llaman colectivamente fracciones

⑶ Los enteros positivos, 0, los enteros negativos, las fracciones positivas y las fracciones negativas pueden ser todos escritos en forma de fracciones. Estos números se llaman números racionales.

Comprensión: Sólo los números que se pueden dividir en fracciones son números racionales. ①π es un decimal infinito y no periódico, no se puede escribir en forma fraccionaria y no es un número racional. ②Los decimales finitos y los decimales recurrentes infinitos se pueden convertir en fracciones y son todos números racionales.

Nota: Después de la introducción de los números negativos, también se ha ampliado el rango de números pares e impares, como -2, -4, -6, -8... también son números pares, y -1, -3, -5... también son números impares.

2. (1) Todos los números que se pueden escribir en forma son números racionales. Los enteros positivos, 0, y los enteros negativos se denominan colectivamente fracciones positivas y las fracciones negativas se denominan colectivamente fracciones y fracciones; se llaman colectivamente números racionales Nota: 0 Es decir, no es un número positivo ni negativo; -a no es necesariamente un número negativo y +a no es necesariamente un número positivo; /p>

(2) Clasificación de los números racionales: ① Clasificación por positivos y negativos:

② Según el significado de los números racionales:

Resumen: ① Enteros positivos y 0 se denominan colectivamente enteros no negativos (también llamados números naturales)

② Enteros negativos y 0 Se denominan colectivamente enteros no positivos

③Números racionales positivos y 0 se denominan colectivamente no -números racionales negativos

④Los números racionales negativos y 0 se denominan colectivamente números racionales no positivos

(3) Nota: entre los números racionales, 1, 0 y -1 son tres números especiales, que tienen sus propias características; estos tres números dividen los números en el eje numérico en cuatro áreas, y los números en estas cuatro áreas también tienen sus propias características

(4) ¿Números naturales? y enteros positivos; a>0? a es un número positivo; a<0? a es un número negativo;

a≥0? ;a≤ 0? a es un número negativo o 0? a es un número no positivo

3. Eje numérico

1. El concepto de eje numérico

Especifica el origen y la dirección positiva; una línea recta de longitud unitaria se denomina eje numérico.

Nota: ⑴ El eje numérico es una línea recta que se extiende infinitamente hacia ambos extremos ⑵ El origen, la dirección positiva y la longitud unitaria son los tres elementos del eje numérico, y uno de los tres es indispensable; ⑶ Las longitudes de las unidades en el mismo eje numérico deben estar unificadas; ⑷ Los tres elementos del eje numérico se especifican de acuerdo con las necesidades reales.

2. La relación entre los puntos en el eje numérico y los números racionales

⑴Todos los números racionales se pueden representar mediante puntos en el eje numérico. Los números racionales positivos se pueden representar mediante puntos en el. a la derecha del origen, y los números racionales negativos se pueden representar mediante El punto a la izquierda del origen está representado y 0 está representado por el origen.

⑵ Todos los números racionales se pueden representar mediante puntos en el eje numérico, pero no todos los puntos en el eje numérico representan números racionales, es decir, no existe una correspondencia uno a uno entre racionales. números y puntos en el eje numérico. (Por ejemplo, el punto π en el eje numérico no es un número racional)

3. Utilice el eje numérico para expresar el tamaño de dos números

⑴ Al comparar los tamaños de números en el eje numérico, el número de la derecha siempre es mayor que el número de la izquierda Grande

⑵ Los números positivos son todos mayores que 0, los números negativos son menores que 0 y los números positivos son mayores que 0. números negativos;

⑶ Comparando dos números negativos, el número más alejado del origen es mejor que el número más cercano al origen.

4. El número especial más grande (pequeño) en el eje numérico

⑴El número natural más pequeño es 0, no existe un número natural más grande

⑵El más pequeño; el entero positivo es 1. No existe un entero positivo más grande;

⑶El entero negativo más grande es -1 y no existe un entero negativo más pequeño

5. ¿Qué números se pueden representar con un

⑴a>0 significa que a es un número positivo; por el contrario, si a es un número positivo, entonces a>0;

⑵a<0 significa que a es un número negativo; si a es un número negativo, entonces a<0

⑶a=0 significa que a es 0; por el contrario, si a es 0, entonces a=0

6. Reglas de movimiento de puntos; en el eje numérico

Según el movimiento del punto, muévase hacia la izquierda. Reste algunas unidades de longitud y agregue algunas unidades de longitud a la derecha para obtener la posición del punto deseada.

4. Números opuestos

1. Números opuestos

Dos números que solo tienen signos diferentes se llaman números opuestos. Uno de ellos es el número opuesto al otro. Lo opuesto a 0 es 0.

Nota: ⑴ Los opuestos aparecen en pares; ⑵ Los opuestos solo tienen signos diferentes. Si uno es positivo, el otro es negativo

⑶El opuesto de 0 es él mismo;El número opuesto es. sí mismo 0.

2. Propiedades y juicio de los números opuestos

⑴Cualquier número tiene su opuesto, y solo hay uno

⑵El opuesto de 0 es 0

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⑶ La suma de dos números que son opuestos entre sí es 0, y la suma de dos números con una suma de 0 es opuesta entre sí, es decir, a y b son opuestos uno del otro, entonces a+b=0

3. El significado geométrico de los números opuestos

Dos números representados por dos puntos que son equidistantes del origen en el eje numérico son mutuamente números opuestos; dos números que son mutuamente opuestos tienen correspondencias correspondientes en el eje numérico. Los puntos (excepto 0) están a ambos lados del origen y son equidistantes del origen. El opuesto de 0 corresponde al origen; el origen representa el opuesto de 0.

Explicación: En el eje numérico, dos puntos que son números opuestos son simétricos con respecto al origen.

4. Cómo encontrar el opuesto de un número

⑴Para encontrar el opuesto de un número, simplemente agregue un signo negativo "-" delante de él para encontrarlo (por ejemplo: el opuesto de 5 es -5); el opuesto de 0 sigue siendo 0

⑵ Para encontrar el opuesto de la suma o diferencia de varios números, enciérrelo entre paréntesis y agregue "-", y luego simplifique (como; El opuesto de 5a+b es -(5a+b). Simplifique para obtener -5a-b nota: el opuesto de a-b+c es -a+b-c; b-a;a+b. El número opuesto es -a-b;

⑶ Para encontrar un solo número con "-" delante, también debes encerrarlo entre corchetes, agregar "-" y luego simplificar. (por ejemplo: el número opuesto de -5 es - (-5), simplificar a 5);) ¿La suma de los números opuestos es 0? a+b=0? a y b son números opuestos entre sí

5. Cómo expresar números opuestos

⑴ Generalmente, el opuesto del número a es -a, donde a es cualquier número racional, que puede ser un número positivo, un número negativo o 0.

Cuando a>0, -a<0 (lo opuesto a un número positivo es un número negativo)

Cuando a<0, -a>0 (lo opuesto a un número negativo el número es un número positivo) )

Cuando a=0, -a=0, (lo opuesto a 0 es 0)

6. Simplificación de múltiples símbolos

Reglas de simplificación de símbolos múltiples: el número de signos "+" no afecta el resultado de la simplificación y se puede omitir directamente; el número de signos "-" determina el resultado final de la simplificación, es decir: cuando el número de "-"; signos es un número impar, el resultado es Negativo, cuando el número de "-" es un número par, el resultado es positivo.

5. Valor absoluto

1. Definición geométrica de valor absoluto

Generalmente, la distancia entre el punto que representa el número a y el origen en el eje numérico se llama valor absoluto de a , registrado como |a|.

2. Definición algebraica de valor absoluto

⑴El valor absoluto de un número positivo es él mismo ⑵El valor absoluto de un número negativo es su opuesto ⑶El valor absoluto de 0 es 0 .

Se puede representar con letras:

①Si a>0, entonces |a|=a; ②Si a<0, entonces |a|=-a; , entonces |a|=0.

Se puede resumir como ①: a≥0, <═> |a|=a (El valor absoluto de un número no negativo es igual a sí mismo; un número cuyo valor absoluto es igual a sí mismo es un número no negativo.)

②a≤0, <═> |a|=-a (El valor absoluto de un número no positivo es igual a su opuesto; un número cuyo valor absoluto es igual a su opuesto es un número no positivo.)

3. Propiedades del valor absoluto

El valor absoluto de cualquier número racional no es negativo, lo que significa que el valor absoluto es no negativo. Por lo tanto, si a toma cualquier número racional, habrá |a|≥0. Es decir (1) el valor absoluto de un número positivo es él mismo, el valor absoluto de 0 es 0 y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto. Nota: el significado del valor absoluto es la distancia desde el origen de; el punto que representa un determinado número en el eje numérico; absoluto El número cuyo valor es 0 es 0. Es decir: a=0 <═> |a|=0

⑵ El valor absoluto de un número; no es negativo y el número con el valor absoluto más pequeño es 0. El valor absoluto se puede expresar como: o; es decir: |a|≥0, la cuestión del valor absoluto a menudo se discute en categorías;

⑶El valor absoluto de cualquier número no es menor que el número original. Es decir: |a|≥a;

⑷Hay dos números cuyos valores absolutos son los mismos números positivos y son opuestos entre sí. Es decir: si |x|=a(a>0), entonces x=±a

⑸Los valores absolutos de dos números opuestos son iguales. Es decir: |-a|=|a| o si a+b=0, entonces |a|=|b| es un número importante no negativo, es decir, |a|≥0; |a|·| b|=|a·b|,

⑹Dos números con valores absolutos iguales son iguales o opuestos entre sí. Es decir: |a|=|b|, entonces a=b o a=-b

⑺Si la suma de los valores absolutos de varios números es igual a 0, entonces estos números son 0; al mismo tiempo. Es decir, |a|+|b|=0, entonces a=0 y b=0.

(Propiedades comunes de los números no negativos: si la suma de varios números no negativos es 0, entonces existen y solo estos varios números no negativos que son 0 al mismo tiempo)

4. Comparación de los tamaños de números racionales

⑴Utilice el eje numérico para comparar el tamaño de dos números: Al comparar dos números en el eje numérico, el número de la izquierda siempre es menor que el número de la derecha, o el número de la derecha, siempre es mayor que el número de la izquierda

⑵Utilice el valor absoluto para comparar el tamaño de dos números negativos: compare dos números negativos y el que tiene un un valor absoluto mayor es menor; al comparar dos números con signos diferentes, el número positivo es mayor que el número negativo.

(3) Cuanto mayor sea el valor absoluto de un número positivo, mayor será el número.

(4) Un número positivo siempre es mayor que 0 y un número negativo siempre es mayor; menor que 0;

(5) Los números positivos son mayores que todos los números negativos

(6) Números grandes - decimales > 0, decimales - números grandes < 0.

5. Simplificación de valores absolutos

①Cuando a≥0, |a|=a; ②Cuando a≤0, |a|=-a

6. El absoluto se conoce el valor de un número, Encuentra este número

El valor absoluto de un número a es la distancia desde el punto que representa el número a en el eje numérico Generalmente, hay dos números racionales cuyo absoluto. Los valores son el mismo número positivo y son opuestos entre sí, el número con valor absoluto 0 es 0 y no hay ningún número con valor absoluto negativo.

6. Suma y resta de números racionales

1. Reglas de suma de números racionales

⑴ Suma dos números del mismo signo, toman el mismo signo. , y sumar Sumar valores absolutos

⑵ Para sumar dos números con signos diferentes cuyos valores absolutos no son iguales, tome el signo del sumando con el valor absoluto mayor y reste el valor absoluto menor de el valor absoluto mayor;

⑶ Si se suman dos números opuestos entre sí, la suma es cero

⑷ Si un número se suma a 0, el número seguirá siendo; ser obtenido.

2. La ley operativa de la suma de números racionales

⑴Ley conmutativa de la suma: a+b=b+a

⑵Ley asociativa de la suma: (a +b) +c=a+(b+c)

Al utilizar las leyes aritméticas, debes usarlas de manera flexible según las necesidades para lograr el propósito de simplificación. Generalmente existen las siguientes reglas:

①Interacción Primero se suman dos números con números opuestos: "método de combinación de números opuestos"

② Primero se suman dos números con el mismo signo: "método de combinación del mismo signo";

③Suma primero números con el mismo denominador - "Método de combinación del mismo denominador";

④Suma varios números para obtener un número entero, súmalos primero - "Método de redondeo"

⑤Sumar números enteros y enteros, decimales y decimales - "Método de combinación isomórfica".

3. Propiedades aditivas

La suma después de sumar un número positivo a un número es mayor que el número original; la suma después de sumar un número negativo es menor que el número original; la suma después de sumar 0 es igual al número original. Es decir:

⑴Cuando b>0, a+b>a ⑵Cuando b<0, a+b

4. Regla de resta de números racionales

Restar a número es igual a sumar su opuesto. Expresado en letras: a-b=a+(-b).

5. El significado de unificar la suma y resta de números racionales en suma

En la operación mixta de suma y resta de números racionales, de acuerdo con la regla de resta de números racionales, la resta se puede convertir en suma, y ​​luego la suma se puede realizar de acuerdo con la regla de resta de números racionales. Calcular de acuerdo con las reglas.

En las expresiones de suma, los paréntesis de cada sumando y el signo más delante de él generalmente se omiten, y la suma se escribe con el signo más omitido. Por ejemplo:

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5

Cómo leer sumas. : ① Según el significado de esta fórmula, se lee como "la suma de menos 8, menos 7, menos 6 y positivo 5"

② Según el significado operativo, se lee como " negativo 8 menos 7 menos 6 más 5"

6. Algunas técnicas para utilizar leyes asociativas en operaciones mixtas de suma y resta de números racionales:

7. Multiplicación y división de números racionales

1. Regla de multiplicación de números racionales

Regla 1: Multiplica dos números, si tienen el mismo signo obtendrán un resultado positivo, si tienen signos diferentes, obtendrán un resultado negativo y multiplicarán los valores absolutos juntos ("El mismo signo obtendrá un resultado positivo y diferentes signos obtendrán un resultado negativo" se refiere específicamente a "multiplicar dos números" en el caso de, si; hay más de dos factores, debes aplicar la Regla 3)

Regla 2: Cualquier número multiplicado por 0 dará 0

Regla 3: Varios números no son 0 Al multiplicar números; , cuando el número de factores negativos es un número par, el producto es un número positivo; cuando el número de factores negativos es un número impar, el producto es un número negativo

Regla 4: Multiplicar varios números; , si hay Si el factor es 0, entonces el producto es igual a 0.

2. Recíproco

Dos números cuyo producto es 1 son recíprocos entre sí. llamado el recíproco del otro número Use la fórmula Expresado como a·=1(a≠0), es decir, a y son recíprocos entre sí, es decir, a es el recíproco de a y es el recíproco de. a.

Mutuamente recíproco: dos números cuyo producto es 1 son recíprocos entre sí; nota: 0 no tiene recíproco; si a≠0, entonces el recíproco es en sí mismo un número de ±1; ab= 1? a y b son recíprocos entre sí; si ab=-1? a y b son recíprocos negativos entre sí

Nota: ①0 no tiene recíproco; ②Encuentre la fracción impropia o la fracción verdadera Para el recíproco de, simplemente invierta las posiciones del numerador y denominador de la fracción cuando encuentre el recíproco de un número mixto, primero convierta el número mixto en una fracción impropia y luego invierta las posiciones; del numerador y denominador;

③Positivo El recíproco de un número es un número positivo, y el recíproco de un número negativo es un número negativo. (Encontrar el recíproco de un número no cambia la naturaleza del número);

④El número cuyo recíproco es igual a sí mismo es 1 o -1, excluyendo 0.

3. La ley de la multiplicación de números racionales

⑴ Ley conmutativa de la multiplicación: Generalmente, en la multiplicación de números racionales, cuando se multiplican dos números, las posiciones de los factores son se intercambian y los productos son iguales. Es decir, ab=ba

⑵Ley asociativa de la multiplicación: al multiplicar tres números, multiplica primero los dos primeros números o multiplica primero los dos últimos números y los productos son iguales. Es decir, (ab)c=a(bc).

⑶ Ley distributiva de la multiplicación: Generalmente, multiplicar un número por la suma de dos números equivale a multiplicar este número por los dos números respectivamente. los productos. Es decir, a(b+c)=ab+ac

4. Reglas de división de números racionales

(1) Dividir por un número que no es igual a 0 equivale a multiplicando por el recíproco de este número ;Nota: El cero no se puede utilizar como divisor

(2) Al dividir dos números, los números con el mismo signo serán positivos y los números con signos diferentes serán positivos. sea ​​negativo y divida los valores absolutos. Dividir 0 por cualquier número que no sea igual a 0 dará como resultado 0

5. Operaciones mixtas de multiplicación y división de números racionales

(1) Operaciones mixtas de multiplicación y división a menudo Primero convierta la división en multiplicación, luego determine el signo del producto y finalmente encuentre el resultado.

(2) Operaciones mixtas de suma, resta, multiplicación y división de números racionales. Si no hay paréntesis para indicar qué operación hacer primero, entonces el orden de 'multiplicación y división primero, luego suma y. Se seguirá la resta.

8. Potencia de los números racionales

1. El concepto de potencia

La operación de encontrar el producto de n factores idénticos se llama potencia. El resultado es. llamado potencia. En , a se llama base y n se llama exponente.

(1) a2 es un número importante no negativo, es decir, a2≥0; si a2+|b|=0 ? 2) Según la ley La coma de la base se mueve un lugar, y la coma del número cuadrado se mueve dos lugares

2. Propiedades de las potencias

(1) La la potencia impar de un número negativo es un número negativo, y la potencia par de un número negativo es un número negativo. nota: cuando n es un número impar positivo: (-a)n=-an o (a); -b)n=-(b-a)n , cuando n es un número par positivo: (-a)n =an o (a-b)n=(b-a)n

(2) Cualquier potencia de. un número positivo es un número positivo y cualquier potencia entera positiva de 0 es 0.

9. Operaciones mixtas de números racionales

Al realizar operaciones mixtas de números racionales, debes prestar atención al siguiente orden de operaciones:

1. Primero exponenciación, luego multiplicación y división, y finalmente suma y resta;

2. Las operaciones del mismo nivel se realizan de izquierda a derecha

3. Si hay paréntesis, haga lo; operaciones dentro de los paréntesis primero y presione los paréntesis, corchetes y corchetes grandes Los corchetes están en secuencia.

10. Notación científica

Expresa un número mayor que 10 en la forma (donde n es un entero positivo). Esta notación es notación científica

. El dígito preciso de un número aproximado: un número aproximado se redondea a ese dígito, es decir, el número aproximado es exacto a ese dígito

Dígitos significativos: El primero de la izquierda no comienza desde cero. para el número exacto de dígitos, todos los números se denominan dígitos significativos de este número aproximado.

Reglas de operación mixta: primero exponenciación, luego multiplicación y división, y finalmente suma y resta nota: cómo calcular Simplicidad; y cómo calcular con precisión son los principios más importantes en los cálculos matemáticos.

Método de valor especial: es un método de adivinar sustituyendo números que cumplen con los requisitos de la pregunta y verificando que la pregunta esté establecida, pero. no se puede Utilizar como prueba

Resumen de números iguales a sí mismo:

Recíproco igual a sí mismo: 0

Recíproco igual a sí mismo: 1, -1 <. /p>

El valor absoluto es igual al número mismo: número positivo y 0

El cuadrado es igual al número mismo: 0,1

El cubo es igual al número mismo: 0,1, -1

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