Método de mínimos cuadrados amortiguados para inversión de sección transversal bidimensional

La inversión del perfil de resistividad aparente bidimensional utiliza perfiles de rejilla para establecer diferentes resistividades en diferentes unidades de rejilla. A través del proceso de solución del modelo de inversión, la resistividad de cada unidad se corrige continuamente, en última instancia, su distribución puede determinar la geometría. y propiedades físicas del perfil geoeléctrico, y luego aclarar las características geotectónicas del perfil geoeléctrico medido.

Figura 2-1-74 Diagrama esquemático de la sección de inversión bidimensional

Hay M parámetros del modelo geoeléctrico (es decir, M resistencias geoeléctricas) en el dominio Ω de la sección geoeléctrica en estudio Valores de tasa ρ1, ρ2, ..., ρM). Generalmente, dividimos el dominio Ω según ciertas reglas. Por ejemplo, podemos dividirlo según la Figura 2-1-74, donde cada unidad de cuadrícula corresponde a una resistividad. Los parámetros del modelo en estos elementos se pueden representar mediante vectores ρ = (ρ1, ρ2, ..., ρM). En la sección de ajuste de resistividad aparente real, tome N valores de muestreo de resistividad aparente (es decir, i = 1, 2, ..., N). La inversión de la sección de ajuste bidimensional consiste en modificar continuamente los parámetros de resistividad del modelo geoeléctrico de modo que la sección de ajuste del modelo teórico se acerque a la sección de ajuste medida. En el proceso de aproximar los valores calculados teóricamente (i = 1, 2,...N) a la resistividad aparente medida, el valor de resistividad ρ cambia continuamente como el grado de ajuste entre la resistividad aparente medida y la resistividad calculada teóricamente. Medición para que el error entre el valor teórico calculado y la resistividad aparente medida sea lo más pequeño posible (generalmente menos de 5). La varianza de ajuste logarítmico F se utiliza generalmente como función objetivo de ajuste de la resistividad aparente (tenga en cuenta que la siguiente operación logarítmica se realiza sobre la base del valor de resistividad {ρi}Ω-m), pero se simplifica a

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

La fórmula anterior se basa en los parámetros iniciales del modelo (valor inicial de resistividad) de los resultados del cálculo ortogonal, que es una función del parámetro de la sección transversal geoeléctrica ρ y el espaciado de los electrodos, es decir, e., = ρ medición (ρ, di) (di es una cantidad relacionada con el espaciado de los electrodos). La función objetivo F refleja el grado de ajuste entre los datos medidos de la cuasi sección y los datos teóricos de la cuasi sección, y la función objetivo es una función de los parámetros del modelo. El propósito de la inversión de sección de ajuste de resistividad aparente bidimensional es encontrar un conjunto de parámetros del modelo ρ = (ρ1, ρ2, ..., ρM), de modo que la función objetivo obtenga un valor muy pequeño, es decir: ρ1 = (ρ1, ρ2, ..., ρM).

Detección de campos electromagnéticos telúricos y superficies eléctricas

Dado que el cálculo teórico de ρ, la teoría (ρ, di) es una función no lineal de la función modelo ρ, ecuación (2-1-132 ) se llama Para problemas de mínimos cuadrados no lineales, el proceso de encontrar los parámetros del modelo ρ es equivalente al problema matemático de encontrar el valor mínimo de una función multivariada. Por tanto, es necesario linealizar la aproximación de la función no lineal. Para la sección geoeléctrica hipotética, dado el valor inicial ρ0= de un conjunto de parámetros del modelo, realice teóricamente una expansión en serie de Taylor de lnρ (ρ, di) cerca del valor inicial ρ0, y convierta el segundo orden y el segundo orden términos de derivada parcial Omitidos, la fórmula del resultado ampliado es la siguiente:

Exploración de campos geoeléctricos y métodos eléctricos

La fórmula (2-1-133) se puede escribir como

Exploración del campo geoeléctrico y método eléctrico

Poner la fórmula (2-1-136) en la fórmula Sustituyendo la fórmula (2-1-136) en la fórmula (2-1-131), puedes obtener el. expresión aproximada de la función objetivo F:

Campo geoeléctrico y exploración electromecánica

Escribe el extremo derecho de la fórmula (2-1-137) como -. El extremo derecho de (2-1-137) es -F, entonces el problema de mínimos cuadrados no lineal (2-1-132) se puede transformar en un problema de mínimos cuadrados lineal:

Campo eléctrico terrestre y electromecánico Exploración

Según las condiciones necesarias para la existencia de valores extremos, para alcanzar el valor mínimo Δρj (j = 1, 2, ..., M), se puede utilizar el siguiente sistema de ecuaciones obtener:

Campo eléctrico de la Tierra y exploración electromecánica campo geoeléctrico y exploración eléctrica de la superficie

Entonces ρ1 es el resultado de la inversión del perfil geoeléctrico bidimensional.

Si no se cumplen los requisitos de precisión, utilice ρ1 en lugar de ρ0 y repita el proceso anterior hasta que se obtengan los parámetros del modelo que cumplan con los requisitos de precisión.

La característica del proceso de solución anterior es transformar el problema de mínimos cuadrados no lineal [Fórmula (2-1-132)] en una serie de problemas de mínimos cuadrados [Fórmula (2-1-138)]. Aunque Δρ en cada paso es solo el elemento mínimo de = min, que no puede minimizar F(ρ1 Δρ), siempre que el valor inicial ρ0 de los parámetros del modelo se seleccione adecuadamente, este proceso de linealización gradual convergerá.

La matriz de coeficientes ATA de un sistema de ecuaciones regulares generalmente está mal condicionada o incluso es extraña. Para garantizar la convergencia del proceso de inversión y mejorar la estabilidad numérica de la línea de ecuación canónica, se utiliza el método mejorado de mínimos cuadrados amortiguados (también conocido como método de Marquette).

Exploración eléctrica y de campos geoeléctricos

En la fórmula anterior, λ es el coeficiente de amortiguación;

S es una matriz diagonal, cuya forma es la siguiente:

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

Para resumir lo anterior La idea de inversión del método de mínimos cuadrados amortiguados se puede resumir en los siguientes cuatro pasos principales:

(1) Dar el valor inicial