¿Puede una variable base ser negativa?
Modelo estándar
Al introducir variables de decisión redundantes, las restricciones de desigualdad se transforman en restricciones de igualdad. Cada variable de decisión aquí no es negativa.
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El modelo anterior está representado por una matriz.
m i n ( o m a x ) C T X s . X ≥ 0 min (o \ max) C^tx \\ s T \ ax = \ vec {b} \ \ \ x \ x \ fq 0
mínimo (o máximo) C
T
X
Tipo impositivo estándar =
b
X≥0
Problema de programación lineal Supuesto básico
Los vectores fila de la matriz de coeficientes A son linealmente independientes.
Si hay dos posibilidades de correlación lineal, o una fila de la matriz aumentada también es linealmente dependiente, entonces la fila es redundante y se puede eliminar. O las líneas de la matriz aumentada son linealmente independientes, entonces la ecuación no tiene solución y el problema de optimización no existe.
El número de filas de la matriz de coeficientes A es menor que el número de columnas.
Si el número de filas m es mayor que el número de columnas N, entonces los vectores de fila son m vectores N-dimensionales y no pueden ser linealmente independientes. Si el número de filas es igual al número de columnas y los vectores de fila son linealmente independientes, entonces las restricciones determinan una solución única y no se requiere optimización.
Conversión entre modelo general y modelo estándar
La forma principal es agregar variables de decisión. Hay dos situaciones que es necesario agregar.
Las desigualdades se convierten en ecuaciones, y cada desigualdad añade una variable de decisión.
Una variable de decisión libre se transforma en dos variables de decisión restringida.
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Posibles soluciones a problemas de programación lineal
Solución óptima única
No existe una función objetivo óptima finita.
No existe una solución viable.
Solución óptima infinita (no se producirán problemas unidimensionales)
Conjunto convexo
Conjunto convexo purificado: la combinación convexa de dos elementos cualesquiera del conjunto es todavía pertenece a esta colección.
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Nota: α\α α aquí no puede ser 0 o 1.
Thm. El modelo poliédrico de programación lineal es un conjunto convexo.
Depurar los vértices de un conjunto convexo: un vértice no se puede representar como una combinación convexa de otros elementos del conjunto.
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Descripción equivalente de vértices
Extraiga m columnas de vectores de columna linealmente independientes de la matriz de coeficientes para formar una matriz cuadrada reversible. Luego, a partir de esto se pueden obtener los valores de m variables de decisión y las variables de decisión restantes pueden ser 0.
Inferencia
Los vectores de coeficientes correspondientes a las componentes positivas de los vértices son linealmente independientes.
Un modelo de problema de programación lineal estándar tiene como máximo C N M C _ {N} {M} C.
n
m
Un vértice.
Resumen de definición
Matriz básica: extraiga M columnas de vectores de columna linealmente independientes de la matriz de coeficientes para formar una matriz cuadrada reversible.
Solución básica: M variables base incluyen matriz base y B? \vec{b}
b
Determine que las variables restantes (n-m) están todas configuradas en 0, que se denominan variables no básicas.
Solución básica factible (vértice): Es factible en la solución básica, es decir, satisface las restricciones no negativas.
Thm. La solución básica factible del modelo estándar de programación lineal es el vértice del conjunto factible.
Thm. Si existe una solución factible para el problema de programación lineal del modelo estándar, entonces debe haber una solución básica factible.
Thm. El número de vértices en el modelo estándar de programación lineal es limitado.
Thm. Si el valor de la función objetivo es limitado, el valor óptimo de la función objetivo del modelo estándar de programación lineal siempre se obtiene en el vértice.
Método simplex
El proceso de encontrar la solución óptima a lo largo de los bordes de los vértices.
Basándonos en los principios anteriores, podemos, por supuesto, encontrar todas las matrices base y empezar a buscar todos los vértices. Calcule el valor de la función objetivo de cada vértice y encuentre el más grande, pero la cantidad de cálculo es demasiado grande, por lo que existe un método simple de línea recta, que consiste en buscar vértices a lo largo del borde.
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El método simplex es un proceso de selección continua de variables dentro y fuera de la base.
Supongamos que se conoce una solución básicamente factible. (Pregunta 4)
¿Cómo calcular la solución básica factible después de seleccionar las variables básicas? (Pregunta 1)
¿Cómo elegir variables básicas para mejorar el valor de la función objetivo? (Pregunta 2)
¿Cómo juzgar que se ha encontrado el valor óptimo de la función objetivo? (Problema 3)
Calcular la solución básica factible de las variables básicas seleccionadas
Purificar la expresión de la solución básica factible: las variables básicas solo aparecen en una restricción de igualdad. Por ejemplo:
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Aquí x 3, x 4, x 5 x _ 3, x 4, x 5 x.
Tres
, x
Cuatro
, x
Cinco
Sí variable básica.
Selección de variables básicas: el principio de razón mínima no negativa para garantizar la viabilidad
De lo anterior se puede ver que un vértice corresponde a una solución básica factible, en la que hay m variables básicas y (n-m) variables no básicas. Supongamos que queremos elegir una variable no básica x i x_ix.
I
La base es en realidad hacer x i x_ix haciendo cambios elementales en las filas de la matriz aumentada.
i
Aparece sólo en restricciones de igualdad. Por ejemplo, transformamos x i x_ix.
i
Solo aparece en la j-ésima restricción de igualdad. Si aún se cumple la viabilidad en este momento, entonces x i x_ix
i
Reemplaza aquí la variable base original y se convierte en una nueva variable base.
En el proceso de reconstrucción de la línea básica se debe garantizar la viabilidad, es decir,
b? Por encima de 0 \vec{b} \geq 0
b
≥0
. Por lo tanto, se debe elegir la relación no negativa más pequeña. Vea el siguiente ejemplo:
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Supongamos que queremos elegir x 2 x_2x.
2
En la base, entonces es necesario hacer x 2 x _ 2x mediante una transformación elemental de filas. Una fila del vector de coeficientes de
2
es 1 y las filas restantes son 0. Si seleccionamos x2 x 2x
2
solo aparece en la tercera restricción de igualdad, es decir
Inserte título de imagen aquí.
Entonces no se puede garantizar la viabilidad en este momento, porque b? El primer componente en \vec{b}
b
es negativo.
Para evitar números negativos en el lado derecho de la ecuación, solo se puede seleccionar la fila con la proporción más pequeña, es decir, la fila 1. Es decir, se convierte al siguiente formato:
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Si queremos x 3 x_3x en este momento,
Tres
En la base, la relación mínima en este momento es la fila 2, es decir, sea esta línea es 1 y las líneas restantes son 0. Sin embargo, para hacer la segunda fila de x 3 ≥ 0 \vec{b} \geq0
b
≥0, por lo que solo se puede seleccionar una fila de coeficientes no negativos.
Nota: Aquí no negativo significa que el coeficiente no es negativo, no que la relación no sea negativa. Es decir, cuando el componente de una determinada fila en B es 0 y el coeficiente de la variable que ingresa a la base de esa fila es negativo, todavía no puede ingresar a la base.
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Caso especial: No existe una relación no negativa, es decir, no existe un valor de función objetivo finito.
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Principios para seleccionar variables básicas
Seleccione una variable básica para mejorar la función objetivo y seleccione un número de prueba.
Aquí se supone que el objetivo de optimización es encontrar el valor máximo. Mediante restricciones de igualdad, la función objetivo se expresa como una combinación lineal de variables no básicas. Es decir,
f(X)= c 1 X j(m 1) c 2 X j(m 2) . . . c n >
f(X)=c
1
x
j(m 1)
c
2
x
j(m 2)
... c
n
x
j(n)
Constante
Solo seleccionando una variable con un número de prueba positivo en la base, la función objetivo puede continuar aumentando, porque una vez que la variable se ingresa en la base, solo puede aumentar o permanecer igual, no puede disminuir.
¿Cómo determinar que se ha encontrado el valor óptimo de la función objetivo?
Aquí se supone que el objetivo de optimización es encontrar el valor máximo.
La función objetivo alcanza su valor máximo cuando el número de pruebas para cada variable no básica es negativo.
Degradación
Thm. Condición de convergencia: en cada iteración, las variables básicas de cada solución básica factible son estrictamente mayores que 0, por lo que la función objetivo se puede incrementar estrictamente en cada iteración. El número de soluciones básicas factibles es limitado, por lo que el proceso anterior no continuará para siempre, por lo que la solución óptima se encontrará en un número limitado de iteraciones.
Degradación de la purificación: algunas variables básicas son 0. Entonces múltiples matrices de bases corresponden al mismo vértice degenerado.
Thm. La iteración del bucle conduce a la no convergencia: múltiples matrices de base corresponden a un vértice, es decir, la matriz de base cambia cada vez que sale la base, pero el vértice degenerado correspondiente permanece sin cambios, es decir, la función objetivo permanece sin cambios. Por tanto, puede haber ciclos entre varias matrices básicas.
Evitar la degeneración: Dado que el número de vértices es limitado, solo necesitamos marcar aquellos vértices que han sido iterados para evitar bucles.
* *Regla de la marca: * *Elegir siempre la variable con el subíndice más pequeño que pueda entrar y salir de la base.
Cuando todas las variables básicas son estrictamente mayores que 0, la matriz base corresponde al vértice no degenerado y la matriz base factible corresponde al vértice uno a uno;
Cuando algunas variables básicas son 0, esta matriz básica Corresponde a vértices degenerados, y un vértice degenerado corresponde a varias matrices básicas factibles.
Es decir, dada una matriz base factible, se puede determinar un vértice, pero dado un vértice, su matriz base correspondiente puede no ser única.
De manera más general, una matriz de base factible es única cuando los vértices no son degenerados; de lo contrario, la matriz de base factible no es única.
Cómo determinar la solución básica factible inicial
Primero convierta el modelo general en un modelo estándar y luego agregue variables artificiales. Durante el proceso de iteración, todas las variables artificiales se convierten en variables no básicas y solo las variables originales permanecen entre las variables básicas.
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El método Big M inserta aquí la descripción de la imagen.
Enfoque en dos etapas
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Ejemplo
La esencia es iterar continuamente una tabla simple.
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Repaso a problemas generales de programación lineal
Convertir un modelo general en un modelo estándar.
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Basado en la naturaleza iterativa de tablas simples
Encontrar el número de prueba de variables no básicas
σ j ( k ) = c j ( k )? C B T B? 1 p j(k)m 1≤k≤n \sigma_{j(k)}=c_{j(k)}-c_{b}^{t}b^{-1}p_{j(k)}\ m 1 \ leq k \ leq n
σ
j(k)
=c
j(k)
? C
B
T
B
1
P
j( k)
m 1≤k≤n
Determinar las variables básicas
σ j ( t ) = m a x { σ j ( m 1), σ j (metro 2),. . . σj(n)} \sigma _ { j(t)} = max \ { \sigma _ { j(m 1)},\sigma_{j(m 2)},...\sigma_{j(n)} \}
σ
j(t)
=max{σ
j(m 1)
,σ
j(m 2)
,...σ
j(n)
}
Determinar variables básicas
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Se obtuvo una nueva matriz de base factible
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Método simplex basado en matriz inversa
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Pregunta central: ¿Cómo afianzarse en b? 1 B^{-1}B
1
cuenta como b? 1 ~ \tilde{B^{-1}}
B
1
~
. Estas dos matrices solo difieren en una columna, que es un problema de álgebra lineal y no tiene nada que ver con el contenido principal de este curso, por lo que no entraré en detalles aquí.
Resumen: 3 situaciones especiales que se pueden encontrar en el método simplex.
1. Problema de degradación: algunas variables básicas son 0.
El fenómeno del problema degenerado es que algunas variables básicas son cero. La esencia es que un vértice degenerado corresponde a múltiples matrices de bases factibles, lo que puede hacer que el método simplex no converja.
A la hora de seleccionar la variable base se debe seguir la regla de combinación, es decir, se debe seleccionar cada vez la variable base con el subíndice más pequeño.
2. No existe un ratio mínimo no negativo.
Al seleccionar variables básicas, es necesario seleccionar de acuerdo con el principio de relación mínima no negativa para garantizar la viabilidad. Si no existe una relación no negativa, significa que las variables pueden llegar al infinito y el problema no tiene un valor finito de función objetivo óptima.
3. El número de prueba de variables no básicas es 0.
Al seleccionar variables básicas, la función objetivo debe expresarse como una expresión de variables no básicas. Por ejemplo, si el valor objetivo es el mayor problema, entonces se debe seleccionar una variable no básica con un número de prueba mayor que 0 como base para mejorar el valor de la función objetivo.
Cuando los números de prueba de todas las variables no básicas son menores o iguales a 0, sin importar quién se elija para unirse a la base, la función objetivo empeorará y se alcanzará la condición óptima en este momento. tiempo.
En casos especiales, el número de prueba de variables no base es 0. Si seleccionamos variables como base, el valor de la función objetivo es el mismo que el del problema original, pero obtenemos otro conjunto de diferentes soluciones básicas factibles, es decir, el valor óptimo de la función objetivo corresponde a múltiples soluciones básicas factibles, lo que indica que el original problema tiene infinitas soluciones óptimas.
4. El número de pruebas para problemas de degradación y variables no básicas es 0.
El primero es un vértice correspondiente a múltiples matrices de bases factibles, y el segundo es el valor óptimo de la función objetivo correspondiente a múltiples vértices.
Lo primero puede hacer que el método simplex no converja, mientras que lo segundo indica que el problema tiene infinitas soluciones.
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