Usa números combinatorios para encontrar la suma cúbica de los primeros n números naturales

Se sabe que (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

Entonces

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

Y así sucesivamente, tenemos n^3-(n- 1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+ 3(n-2)+1

(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-3)^2+3(n-3)+1

... .........................................

3^3-2^3=3* 2^2+3*2+1

2^3-1^3=3*1^2+3*1+ 1

Convierte cada una de las n ecuaciones anteriores. Sumando los lados da:

(n+3)^3-1

=3(1^2+ 2^2+3^2+...... +n^ 2)

+3(1+2+3+……+n)

+(1 +1+……+ 1)

Entonces (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+ ......+n^2)+3n( n+1)/2 +n

Entonces

1^2+2^2+3^2+......+n^2=[(n^ 3+3n^2+ 3n)-3n(n+1)/2-n]/ 3

=(2n^3+3n^2+n)/6

=n(n+1 )(2n+1)/6