¿Cómo calcular pi?
El historial de cálculo de π
Han Xuetao
El perímetro es un número extremadamente maravilloso. Este número ha intrigado tanto a la gente común como a los eruditos desde el comienzo de la historia registrada. Como constante muy importante, π se utilizó por primera vez para resolver problemas de cálculo relacionados con círculos. Sólo por esta razón, es extremadamente urgente encontrar la aproximación más precisa posible. De hecho, ha sido el objetivo de los matemáticos durante miles de años, y generaciones de matemáticos nacionales y extranjeros han dedicado su sabiduría y su trabajo a este fin. Mirando hacia atrás en la historia, el proceso de comprensión humana de π refleja el desarrollo de las matemáticas y la tecnología informática desde un lado. El estudio de π refleja, en cierta medida, el nivel de matemáticas en esa región o época. El historiador alemán de las matemáticas Cantor dijo: "La precisión del cálculo de π de un país en la historia puede utilizarse como un indicador del nivel de desarrollo matemático del país en ese momento. Hasta principios del siglo XIX, encontrar el valor de pi se consideraba un número". un problema en matemáticas. Para encontrar el valor de π, la humanidad ha recorrido un camino largo y sinuoso, y su historia es muy interesante. Podemos dividir este viaje informático en varias etapas.
Etapa experimental
Estimar el valor de π mediante experimentos es la primera etapa para calcular π. Este método de estimación del valor de π se basa básicamente en la observación o experimentación, y se basa en mediciones reales de la circunferencia y el diámetro de un círculo. En el mundo antiguo, el valor π = 3 se utilizó durante mucho tiempo. Los primeros registros escritos son pasajes de la Biblia cristiana donde se considera que la circunferencia de un círculo es 3. Este pasaje describe eventos que ocurrieron alrededor del 950 a.C. Otros países, como Babilonia, India, China, etc., ya han adoptado 3 como un valor práctico aproximado y simple. Antes de Liu Hui en China, circulaba ampliamente el dicho "un círculo con un diámetro de uno y una circunferencia de tres". En el primer "Zhou Bi Suan Jing" de mi país, se registra que la conclusión de "tres diámetros de un círculo es uno". En China, los carpinteros han transmitido desde la antigüedad dos lemas: "Tres diámetros son uno, y los cuadrados son cinco y siete". Esto significa que la circunferencia de un círculo con un diámetro de uno es tres y la longitud diagonal de un cuadrado. con una longitud de lado de cinco es siete. Esto refleja la estimación aproximada de los primeros días de los dos números irracionales ππ y √2. Durante la dinastía Han del Este, π se estipuló oficialmente como 3 como estándar para calcular el área. Las generaciones posteriores lo llamaron "Gu Su".
En los primeros días se utilizaron otros métodos toscos. Por ejemplo, los antiguos egipcios y griegos utilizaban granos colocados en un círculo, contaban el número de granos y lo comparaban con el número cuadrado para obtener el valor numérico. O use una tabla de madera bien proporcionada para cortar en círculo y cuadrado para pesar y comparar el valor... A partir de esto, el valor numérico de pi es ligeramente mejor. Por ejemplo, los antiguos egipcios aplicaron 4 (8/9)2 = 3,1605 durante unos cuatro mil años. En la India, en el siglo VI a.C., se tomó π = √10 = 3,162. En el cambio de las dinastías Han del Este y del Oeste en China, Wang Mang de la Nueva Dinastía ordenó a Liu Xin que fabricara un instrumento de medición: Lu Jia Liang Hu. En el proceso de fabricación de contenedores estandarizados, Liu Xin necesitaba utilizar el valor π. Con este fin, obtuvo aproximadamente algunas aproximaciones no uniformes sobre π a través de experimentos. Los cálculos ahora derivados de las inscripciones son 3.1547, 3.1992, 3.1498, 3.2031. El método para calcular el diámetro de un círculo ha mejorado en comparación con el antiguo pi. Este resultado de la exploración humana no tiene mucho impacto en la producción cuando se trata de estimar el área de un campo circular, pero no es adecuado para la fabricación de embarcaciones u otros cálculos.
Método geométrico
El método experimental para calcular el valor de π, ya sea una conjetura intuitiva o una medición física, ha producido resultados bastante aproximados.
La primera contribución para establecer verdaderamente el cálculo de π sobre una base científica hay que atribuirla a Arquímedes. Fue el primero en realizar un estudio científico de esta constante y el primero en proponer un método para determinar el valor de π con precisión arbitraria mediante un proceso matemático en lugar de una medición. A partir de aquí comienza la segunda etapa del cálculo de π.
La circunferencia de un círculo es mayor que el cuadrilátero inscrito y menor que el cuadrilátero circunscrito, por lo que 2√2 < π < 4.
Por supuesto, esto es sólo un mal ejemplo. Se dice que Arquímedes utilizó un polígono regular de 96 lados para calcular su rango de valores.
El método de Arquímedes para encontrar una aproximación más precisa de π se refleja en uno de sus artículos, "Determinación del círculo". En este libro, Arquímedes usó límites superior e inferior para establecer el valor aproximado de π por primera vez. Usó métodos geométricos para demostrar que "la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es menor que 3 (1/7). y mayor que 3 (10/71) " y proporciona una estimación del error. Es importante destacar que este enfoque conduce teóricamente a valores más precisos de π. Alrededor del año 150 d.C., el astrónomo griego Ptolomeo llegó a π = 3,1416, un enorme avance desde Arquímedes.
Pi. Utilice constantemente el teorema de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de polígonos regulares de N lados.
En China, el matemático Liu Hui ideó por primera vez un pi más preciso. Alrededor del año 263 d.C., Liu Hui inventó la famosa tecnología pi y ideó π = 3,14, comúnmente conocida como "tasa Hui". Aunque propuso pi un poco después que Arquímedes, su método es ciertamente más hermoso que el de Arquímedes. Pi solo usa polígonos ortogonales conectados internamente para determinar los límites superior e inferior de pi, lo cual es mucho más simple que el uso que hace Arquímedes de polígonos ortogonales conectados internamente y cortados externamente. Además, algunas personas creen que Liu Hui proporcionó un método inteligente para organizar pi, de modo que al realizar un promedio ponderado simple de varias aproximaciones aproximadas cortadas en 192 lados, en realidad obtuvo un pi con cuatro cifras significativas. 3.1416. Y este resultado, como señaló el propio Liu Hui, si desea obtener este resultado, debe calcular el pi cortando 3072 lados. Los resultados de este método de acabado son sorprendentes. Esta maravillosa técnica de acabado es la mejor parte de la tecnología tangencial, pero lamentablemente ha estado enterrada durante mucho tiempo por falta de comprensión de la misma.
Probablemente estemos más familiarizados con la contribución de Zu Chongzhi. Respecto a esto, "Sui Shu - Lü Li Zhi" tiene el siguiente registro: "Al final de la dinastía Song, el sur de Xuzhou estaba involucrado en el método secreto Duo Kai de Zu Chong. El diámetro de un círculo es de 100 millones de pies, la circunferencia es tres pies, un pie y cuatro pulgadas, un minuto y cinco centímetros y nueve milisegundos, dos Siete flautas en un segundo, tres pies en meningitis, cuatro pulgadas en un pie, un minuto, cinco centímetros y nueve milisegundos, seis aletas en dos segundos , el resto y la meningitis son números positivos". Meningitis: el diámetro de un círculo es 113, pi es 355. La proporción aproximada es siete de diámetro y veintidós de circunferencia. "
Este registro señala las dos contribuciones principales de Zu Chongzhi a π. La primera es encontrar π
3.1415926