Conclusiones comunes sobre la usabilidad de la geometría plana de la escuela secundaria.
★1. Teorema de Pitágoras (Teorema de Pitágoras)
★2 Teorema de Proyección (Teorema de Euclidiana)
★3. se cruzan en un punto, y cada línea central se divide en dos partes de 2:1 por este punto.
4. La recta que une los centros de los dos lados del cuadrilátero y la recta que une los centros de las dos diagonales se cortan en un punto.
5. Los centros de gravedad de dos triángulos formados conectando los intervalos centrales de cada lado de un hexágono son coincidentes.
★6. Las bisectrices perpendiculares de cada lado del triángulo se cortan en un punto.
★7. Tres líneas verticales trazadas desde cada vértice de un triángulo hasta su lado opuesto se cortan en un punto.
8. Sea el circuncentro del triángulo ABC O y el centro vertical h. Si se traza una línea vertical de O a BC y el cateto vertical no es L, entonces AH=2OL.
9. El centro exterior, el centro vertical y el centro de gravedad del triángulo están en la misma recta.
10. Triángulo (círculo de nueve puntos o círculo de Euler o círculo de Feuerbach), el centro de los tres lados se dibuja desde cada vértice hasta el pie vertical del lado opuesto, conectando el centro del pie vertical. con cada uno El punto medio del vértice, estos nueve puntos están en el mismo círculo.
11. Teorema de Euler: El centro exterior, el centro de gravedad, el centro de nueve puntos y el centro vertical de un triángulo están ubicados en la misma línea recta (línea de Euler).
12. Teorema de Coolidge: (Un círculo inscrito en el círculo de nueve puntos de un cuadrilátero) Hay cuatro puntos en la circunferencia, tres de ellos cualesquiera son triángulos, y los centros de nueve puntos de estos cuatro los triángulos son iguales en la circunferencia. Al círculo que pasa por los cuatro centros de nueve puntos lo llamamos círculo de nueve puntos inscrito en el cuadrilátero.
★13. La fórmula para el radio del círculo inscrito cuando las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo (interno) se cortan en un punto:
s es la mitad de la perímetro del triángulo.
★14. (Porcentaje) La bisectriz del ángulo interior de un triángulo se corta en un punto con la bisectriz del ángulo exterior en los otros dos vértices.
15. Teorema del valor medio: (Teorema de Babbs) Supongamos que el punto medio del lado BC del triángulo ABC es p, entonces AB2+AC2=2(AP2+BP2).
16. Teorema de Stewart: p divide el lado BC del triángulo ABC en m y n, luego n×AB2+m×AC2=BC×(AP2+mn).
17. Boromir y muchos teoremas: Cuando las diagonales del cuadrilátero ABCD inscritas en un círculo son perpendiculares entre sí, la recta que conecta el punto medio M de AB y el punto de intersección E de las diagonales es perpendicular al CD.
18. Teorema de Apolonio: El punto P cuya distancia a dos puntos fijos A y B es una relación constante de m:n (el valor no es 1) se sitúa dentro del segmento AB dividido en m: n La bisectriz C y la bisectriz exterior D son círculos fijos en ambos extremos del diámetro.
★19. Teorema de Ptolomeo: Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia, entonces AB×CD+AD×BC=AC×BD.
★20 Tome los lados BC, CA y AB de cualquier triángulo ABC como bases y construya isósceles △BDC, △CEA y △AFB respectivamente con ángulos de base de 30 grados hacia afuera, entonces △DEF es. un triángulo equilátero.
21, Teorema 1 de Ercos: Si △ABC y △DEF son ambos triángulos equiláteros, entonces el triángulo formado por los centros de gravedad de los segmentos de línea AD, BE y CF también es un triángulo equilátero.
22. Teorema 2 de Ercos: Si △ABC, △DEF y △GHI son todos triángulos equiláteros, entonces el triángulo compuesto por el centro de gravedad del triángulo △ADG, △BEH y △CFI es un triángulo equilátero.
★23. Teorema de Menelios: Supongamos que los puntos de intersección de los tres lados BC, CA, AB de △ABC o sus extensiones y una recta que no pasa por ninguno de sus vértices son P y Q. respectivamente, R, entonces BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1.
★24. El inverso del teorema de Menelao: (omitido)
★25 Aplicación del teorema de Menelao Teorema 1: Sea la bisectriz del ángulo exterior de △ABC ∠A. las bisectrices de Q y ∠C se cruzan, AB cruza las bisectrices de R y ∠B, y CA corta a Q, entonces las líneas rectas de P, Q y R son * * *.
★26. Aplicación del teorema de Menelao Teorema 2: Si los tres vértices A, B y C de cualquier △ABC son tangentes a su círculo circunscrito, se cruzan con las líneas de extensión de BC, CA y AB respectivamente. En los puntos P, Q y R, los tres puntos P, Q y R son líneas * * *.
★27. Teorema de Ceva: Supongamos que las tres rectas o sus extensiones formadas por el punto S de la superficie conectora de los tres vértices A, B y C de △ABC que no están a cada lado del triángulo están conectados respectivamente con los lados BC, CA, AB o sus líneas extendidas se cruzan en los puntos P, Q, R, entonces BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1.
★28. Teorema de aplicación del teorema de Ceva: Supongamos que los puntos de intersección de la recta paralela al lado BC de △ABC y los dos lados AB y AC son D y E respectivamente, y sean BE y CD. se cruza con S, entonces AS debe pasar por el centro M del lado BC.
★29. Inverso del teorema de Ceva: (omitido)
★30 Aplicación del inverso del teorema de Ceva Teorema 1: Las tres líneas medias de un triángulo se cruzan en un punto.
★31. Aplicación del teorema inverso del teorema 2 de Ceva: Si la circunferencia inscrita de △ABC es tangente a los lados BC, CA y AB respectivamente con los puntos R, S y T, entonces AR, BS y CT se cruzan en un punto.
★32. Teorema de Simonson: Tome cualquier punto P en la circunferencia circunscrita de △ABC como la perpendicular a los tres lados BC, CA, AB o sus extensiones, y sean sus pies perpendiculares D , E respectivamente. , R, luego la línea de D, E, R***, (esta línea se llama línea de Simonson).
★33. El teorema inverso del teorema de Simonson: (omitido)
34. Teorema de Steiner: Sea H el centro vertical de △ABC y cualquier punto P de su círculo circunscrito. . En este momento, la recta de Simpson alrededor del punto P de △ABC pasa por el centro del segmento de recta pH.
35. Teorema de aplicación del teorema de Steiner: El punto de simetría del punto P en la circunferencia circunscrita de △ABC con respecto a los lados BC, CA y AB está en una línea recta (paralela a la recta de Simpson) con el ortocentro H de △ABC. Esta línea recta se llama línea especular del punto P con respecto a △ABC.
36. Teorema de Bolanger y Tengxia: Supongamos que los tres puntos del círculo circunscrito de △ABC son P, Q y R, entonces se cumplen las condiciones necesarias y suficientes para que P, Q y R se crucen con △ABC. en un punto son: :Arc AP+Arc BQ+Arc Cr = múltiplo de 360.
37. Protagonista y Corolario 1 del Teorema de Teng Xia: Sean P, Q y R los tres puntos del círculo circunscrito de △ABC. Si las rectas de Simonson de P, Q y R alrededor de △ABC se cortan en un punto, entonces las rectas de Simonson de A, B y C alrededor de △PQR también se cortan en el mismo punto que antes.
38. Corolario 2 del teorema de Bolanger y Tengxia: En el Corolario 1, la intersección de las tres rectas de Simpson es el centro vertical del triángulo dibujado por tres puntos cualesquiera A, B, C, P, Q. , R y los otros tres puntos. El punto medio de la línea que conecta los centros verticales del triángulo dibujado.
39. Corolario 3 del teorema de Bolanger y Teng Xia: Examina la recta de Simpson del punto P en la circunferencia circunscrita de △ABC alrededor de △ABC. Si QR es perpendicular a esta recta de Simpson, entonces las rectas de Simpson alrededor de △ABC en los tres puntos P, Q y R se cruzarán en un punto.
40. Corolario 4 del teorema de Bolanger y Tengxia: Traza una línea perpendicular desde el vértice de △ABC hasta los lados BC, CA y AB. Sean D, E y F respectivamente. Sean los lados BC, Los puntos medios de CA y AB son L, M y N respectivamente, entonces los seis puntos D, E, F, L, M y N están en el mismo círculo, y luego L, M,
41, sobre el teorema 1 de la línea de Seymour: Los dos puntos finales P y Q del círculo circunscrito de △ABC son perpendiculares entre sí con respecto a la línea de Seymour del triángulo, y su intersección es en el círculo de nueve puntos .
42. Teorema 2 de la recta de Simpson (Teorema de la paz): Hay cuatro puntos en un círculo, tres de ellos son triángulos y luego los puntos restantes son las rectas de Simpson alrededor del triángulo. Estas rectas de Simpson se cruzan. en un punto.
43. Teorema de Carnot: Por el punto P del círculo circunscrito de △ABC, pasan las rectas PD, PE y PF con la misma dirección y ángulos iguales que los tres lados BC, CA y AB de Se introducen △ABC, y los tres Los puntos de intersección de los lados son D, E y F respectivamente, luego los tres puntos D, E y F son líneas * * *.
44. Teorema de Obel: Dibuja tres líneas paralelas desde los tres vértices de △ABC, y sus puntos de intersección con el círculo circunscrito de △ABC son L, M y N respectivamente. Si se toma un punto P del círculo circunscrito de △ABC, entonces los puntos de intersección de PL, PM, PN y BC, CA, AB o sus extensiones son D, E, F respectivamente.
45. Teorema de Qinggong: Supongamos que P y Q son dos puntos del círculo circunscrito de △ABC, que son diferentes de A, B y C respectivamente. Los puntos de simetría del punto P con respecto a los tres lados. BC, CA y AB son U, V, W respectivamente.
En este momento, los puntos de intersección de flexión, y los lados BC, CA y AB o sus líneas de extensión son D, E y F respectivamente, entonces D, F
46. Supongamos que P y Q son aproximadamente △ Un par de antípodas del círculo circunscrito de ABC, y los puntos de simetría del punto P con respecto a los tres lados BC, CA y AB son U, V y W respectivamente. En este momento, si los puntos de intersección de curvatura, y los lados BC, CA, AB o sus extensiones son ED, E y F respectivamente, entonces D, E y F son tres puntos. (Antipuntos: pyq son el radio OC del círculo O y dos puntos en su línea de extensión respectivamente. Si OC2=OQ×OP, entonces se dice que los dos puntos pyq son antipuntos relativos al círculo o)
47. Teorema de Langerhans: Hay puntos a 1b 1c 1d 14 en la misma circunferencia. Tome tres puntos cualesquiera como un triángulo, elija un punto P en la circunferencia, dibuje una línea de Seymour alrededor de los cuatro triángulos en el punto P y luego dibuje una línea perpendicular desde P a las cuatro líneas de Seymour, luego los cuatro pies verticales están en el lo mismo En línea recta.
48.Traza una línea vertical desde el punto medio de cada lado del triángulo hasta la tangente del círculo circunscrito en el vértice de ese lado. Estas líneas verticales cruzan el centro del círculo de nueve puntos del triángulo.
49. Hay n puntos en un círculo. Las líneas verticales trazadas desde el centro de gravedad de cualquier n-1 punto hasta las tangentes de otros puntos del círculo se cruzan en un punto.
50. Teorema 1 de Cantor: Hay n puntos en un círculo y hay * * * líneas verticales trazadas desde el centro de gravedad de n-2 puntos cualesquiera hasta la línea que conecta los otros dos puntos.
51. Teorema 2 de Cantor: Si hay cuatro puntos A, B, C, D y dos puntos M y N en un círculo, entonces los puntos M y N están relacionados con cada uno de los cuatro triángulos. Los puntos de intersección △BCD, △CDA, △DAB y △ABC de dos triángulos de Simpson están en la misma línea recta. Esta línea recta se llama línea de Cantor alrededor de los puntos M y N del cuadrilátero ABCD.
52. Teorema 3 de Cantor: Si hay cuatro puntos A, B, C, D y tres puntos M, N, L en un círculo, entonces el teorema de Cantor sobre el cuadrilátero ABCD en M y N es el La recta de Cantor con respecto al cuadrilátero ABCD en L y N, la recta de Cantor con respecto al cuadrilátero ABCD en M y L se cortan en un punto. Este punto se llama punto de Cantor de M, N, L con respecto al cuadrilátero ABCD.
53. Teorema 4 de Cantor: Si hay cinco puntos A, B, C, D y E y tres puntos M, N y L en una circunferencia, entonces hay tres puntos M, N, y L. Los puntos se encuentran en línea recta con respecto a cada punto de Cantor en los cuadriláteros BCDE, CDEA, DEAB y EABC. Esta recta se llama línea de Cantor de M, N, L con respecto al pentágono A, B, C, D, e.
54. Teorema de Feuerbach: La circunferencia de nueve puntos de un triángulo es tangente a la circunferencia inscrita y a la circunferencia circunscrita.
55. Teorema de Morley: Si los tres ángulos interiores de un triángulo se dividen en tres partes iguales, y las dos bisectrices cercanas a un lado obtienen una intersección, entonces esas tres intersecciones pueden formar un triángulo equilátero. Este triángulo a menudo se llama triángulo equilátero de Morley.
56. Teorema 1 de Newton: El punto medio del segmento de recta conectado por el punto de intersección de las líneas de extensión de los dos lados opuestos de un cuadrilátero y los puntos medios de las dos diagonales es una recta de tres * *. Esta línea recta se llama línea del cuadrilátero de Newton.
57. Teorema 2 de Newton: El punto medio de las dos diagonales de un círculo que circunscribe un cuadrilátero, el centro del círculo y la recta de tres puntos*.
58. Teorema 1 de Girard Desargues: Hay dos triángulos △ABC y △DEF en el plano. Suponga que las líneas que conectan sus vértices correspondientes (A y D, B y E, C y F) se cruzan en un punto. En este momento, si los lados correspondientes o sus líneas de extensión se cruzan, los tres puntos de intersección son líneas * * *.
59. Teorema 2 de Girard Desargues: Hay dos triángulos △ABC y △DEF en planos diferentes. Suponga que las líneas que conectan sus vértices correspondientes (A y D, B y E, C y F) se cruzan en un punto. En este momento, si los lados correspondientes o sus líneas de extensión se cruzan, los tres puntos de intersección son líneas * * *.
60. Teorema de Briansson: Si los vértices A y D, B y E, C y F del hexágono ABCDEF tangente a la circunferencia están conectados, entonces estas tres rectas son * * * puntos.
61, Teorema de Basija: La línea de intersección (o línea de extensión) de los lados opuestos AB de los hexágonos ABCDEF y DE, BC y EF, CD y FA inscribe un círculo.