¿Qué significa no linealidad? ¿Cuál es la diferencia entre lineal y no lineal?
¿Qué es la no linealidad?
La no linealidad, es decir, la relación matemática entre variables que no es una línea recta sino una curva, superficie o propiedad incierta, se llama no linealidad. La no linealidad es una de las características típicas de la complejidad en la naturaleza. En comparación con la linealidad, la no linealidad está más cerca de la esencia de las cosas objetivas y es uno de los métodos importantes para la investigación cuantitativa y la comprensión del conocimiento complejo. Cualquier relación que pueda describirse mediante no linealidad generalmente se denomina relación no lineal.
En un sentido estricto, la no linealidad se refiere a relaciones cuantitativas desproporcionadas y no lineales que no pueden expresarse en forma lineal, como curvas, superficies, etc. Las variables independientes en un sentido amplio cambian de una forma especial, que es diferente de las relaciones cartográficas tradicionales, como las funciones de relaciones iterativas. El mapeo del cálculo anterior es la variable independiente del siguiente cálculo, que obviamente no puede describirse ni describirse mediante funciones lineales ordinarias. Obviamente, las leyes cambiantes de las cosas naturales no son como una simple imagen funcional y no existe una correspondencia uno a uno entre ellas. Si las relaciones lineales son independientes y no están correlacionadas, entonces las relaciones no lineales reflejan interacciones. Es esta interacción la que hace que el todo ya no sea simplemente igual a la suma de sus partes, sino que pueda tener ganancias y pérdidas que son diferentes de la "superposición lineal".
La diferencia entre lineal y no lineal
En comparación con la linealidad, la no linealidad es la negación de la linealidad y la linealidad es un caso especial de no linealidad. Por lo tanto, para comprender el concepto de no linealidad y aclarar qué es la no linealidad, primero debemos aclarar qué es la linealidad y luego debemos elaborar la definición de no linealidad tanto a partir de expresiones matemáticas como de significados físicos, para que podamos comprender mejor la no linealidad. . concepto.
(1) Linealidad
La definición de linealidad generalmente se realiza desde dos perspectivas interrelacionadas: En primer lugar, se establece el principio de superposición: ¿Y si? yo,? 2 son las dos soluciones de la ecuación, entonces, ¿qué pasa con a? l+b? 2 también es una solución. En otras palabras, la superposición de dos estados sigue siendo un estado. ? El principio de superposición significa que no existen interacciones no lineales entre los subsistemas del sistema en estudio. En segundo lugar, la relación funcional entre variables físicas es una línea recta y la tasa de cambio entre variables es constante, lo que significa que la pendiente de la función existe en todas partes y es igual dentro de su dominio de definición. todo el dominio de la variable.
②No linealidad
Después de definir el significado de linealidad, el concepto no lineal correspondiente es fácil de definir:
¿Qué? ,?Defina el operador no lineal n(?) para algunos a, b o? ,? ¿No está satisfecho con el operador L(a?+b?)=aL(?)+bL(?)? Es decir, ¿no se cumple el principio de superposición, es decir? ¿Qué usar? Hay acoplamiento entre ellos. ¿La operación to (a? + b?) significa que están separados. Entonces qué. Además de la operación, agregue ¿verdad? ¿Qué usar? ¿La operación de términos cruzados (términos de acoplamiento), o? ,? Es discontinuo (con mutaciones o rupturas) y no diferenciable (con puntos de inflexión).
En segundo lugar, ¿como equivalente? Con esta formulación, podemos entender la no linealidad desde otra perspectiva: ¿en la descripción? Entre un determinado conjunto de variables físicas de un sistema, ¿cuál es el sistema? El cambio inicial en una variable provoca un cambio correspondiente en esta variable u otras variables que es desproporcionado. En otras palabras, la tasa de cambio entre variables no es constante y la pendiente de la función no existe o no es igual dentro de su dominio. . En resumen, las relaciones incrementales de primer orden entre variables físicas son asimétricas dentro del dominio de las variables. Se puede decir que esta ruptura de simetría es la manifestación más básica de las relaciones no lineales y la fuente de la complejidad de los sistemas no lineales.
Estas dos expresiones del concepto no lineal son en realidad equivalentes. El fracaso del principio de superposición conducirá inevitablemente a la asimetría de la relación entre sus dos variables físicas; por otro lado, si la relación entre las variables físicas es asimétrica, entonces el principio de superposición no se cumple; La razón por la que se utilizan dos expresiones es que son convenientes para diferentes objetos en diferentes ocasiones. Por ejemplo, el primero facilita el examen de la relación entre el sistema completo y sus partes y las propiedades de las ecuaciones diferenciales, mientras que el segundo facilita el examen de la relación entre variables específicas (incluido el comportamiento temporal de las variables).
En cuanto al concepto de no linealidad, cabe destacar que la formulación de linealidad o no linealidad es relativa a variables físicas. En otras palabras, solo se puede utilizar la relación entre variables físicas para determinar si es no lineal. Según esto, la relación entre variables no físicas no puede utilizarse como criterio de no linealidad.
Las variables físicas mencionadas aquí se refieren a aquellas variables que son observables, interesantes y significativas para los humanos. Por ejemplo, en la teoría de los fractales, la dimensión fractal d de un fractal simple es una constante. En el intervalo libre de escala lnN=DlnL, la relación entre lnN y lnL es lineal, pero obviamente no se puede concluir que los fractales simples sean lineales. Las variables físicas aquí son N y L, no nN e lnL después de la transformación logarítmica, es decir, N y L son observables, interesantes y significativas para los humanos, no lnN e lnL. La relación entre N y L no es lineal, por lo que se puede concluir que el fractal no es lineal. Para poner otro ejemplo, la relación directa entre precio y tiempo (menor que la naturaleza libre de escala del índice de precios del algodón calculado por Mandbrolt) es exactamente lo que interesa a la gente y es significativo. La relación entre ellos no es lineal, por lo que el cambio en el precio. a lo largo del tiempo es un fenómeno no lineal.
Naturaleza de la no linealidad
La ciencia no lineal está en proceso de desarrollo. Las clases universales no lineales que estudia en la ciencia concreta ya se han formado (como el caos, los fractales, los solitones), se están formando (como la adaptabilidad, el comportamiento espontáneo) y se formarán, por lo que las propiedades de la no linealidad aún no se han formado por completo. presentado aquí también Es imposible discutir completamente la naturaleza de la no linealidad. ¿Solo desde abajo? ¿Relaciones lineales y no lineales? ,?Mecanismo físico no lineal? Entonces qué. ¿No linealidad y estabilidad? Inicialmente se exploraron tres aspectos.
La relación entre no linealidad y linealidad
La no linealidad y la linealidad son conceptos relativos y contradictorios. Por un lado, pueden transformarse uno en otro hasta cierto punto; por otro, son esencialmente diferentes y ambos existen al mismo tiempo. En este sistema, se especifican las propiedades de los aspectos correspondientes del sistema.
①La estrecha relación entre no linealidad y linealidad
En primer lugar, algunas ecuaciones lineales se pueden convertir matemáticamente en ecuaciones no lineales para resolverlas. Algunos problemas no lineales en física también se pueden estudiar transformándolos en ecuaciones lineales mediante transformación matemática. Por ejemplo, la ecuación no lineal de KdV se convierte en una ecuación lineal integrable mediante el método de inversión de dispersión, obteniendo así una solución analítica precisa. Algunos problemas débilmente no lineales se pueden convertir en algunos problemas lineales mediante aproximación lineal, y la aproximación lineal se ha utilizado ampliamente en diversas disciplinas, y bastante efectivas.
En segundo lugar, en algunos casos, la solución analítica obtenida de la ecuación no puede proporcionar más información y ayudar a comprender mejor el comportamiento del sistema, pero a partir de la forma no lineal de la solución, podemos obtener fácilmente propiedades importantes. del sistema en estudio. Por ejemplo, considere una ecuación simple: d2X/dt2+X=0, cuya solución es X=Acos(t)+Bsin(t). A partir de esta forma no lineal, sabemos fácilmente que es una función periódica y satisface cos(t+2?)=cos(t), sin(t+2?)=sin(t). Sin embargo, a partir de cos(t ) y sin(t), es extremadamente difícil demostrar que tienen la importante propiedad de la periodicidad. Por lo tanto, es inexacto pensar que las ecuaciones lineales pueden obtener soluciones analíticas, mientras que las ecuaciones lineales son difíciles de obtener soluciones analíticas, por lo que el desempeño lineal brinda información más útil que el desempeño no lineal. Esto significa que estudiar ciertos problemas desde una perspectiva no lineal no sólo es posible, sino necesario.
Por lo tanto, la linealidad y la no linealidad se pueden transformar entre sí hasta cierto punto, lo que indica que existe una estrecha relación entre la linealidad y la no linealidad.
②La diferencia esencial entre no lineal y lineal.
Aunque la no linealidad y la linealidad pueden transformarse entre sí mediante transformaciones matemáticas y tienen ciertas conexiones matemáticas, bajo la misma perspectiva, nivel y sistema de referencia, existe una diferencia esencial entre no linealidad y linealidad.
Matemáticamente, las relaciones funcionales lineales son líneas rectas y las relaciones funcionales no lineales son líneas no rectas, incluidas varias curvas, polilíneas, líneas discontinuas, etc. Las ecuaciones lineales satisfacen el principio de superposición, pero las ecuaciones no lineales no. Las ecuaciones lineales son fáciles de obtener soluciones analíticas, mientras que las ecuaciones no lineales generalmente no se pueden resolver analíticamente.
En física, un problema aproximadamente lineal (no lo que llamamos un problema no lineal) se puede resolver con cierta precisión utilizando el método de aproximación lineal, es decir, de acuerdo con los requisitos de precisión del problema específico, varios Los problemas lineales se resuelven en secuencia y se superponen para obtener una buena solución aproximada. Sin embargo, para problemas no lineales, el método de aproximación lineal fallará debido a la lenta divergencia y convergencia de parámetros pequeños. Especialmente para situaciones no lineales como movimientos a alta velocidad, interacción fuerte y comportamiento dinámico a largo plazo, el método de aproximación lineal será el más adecuado. completamente impotente.
Estas limitaciones de los métodos de aproximación lineal conducen a la irremplazabilidad de los métodos no lineales, que sólo pueden usarse en lugares fuertemente no lineales que los métodos lineales no pueden manejar. La aproximación lineal no siempre es válida. Esto no es sólo una cuestión metodológica, sino también una cuestión de perspectiva natural. Hay cambios tanto cuantitativos como cualitativos en la naturaleza, y en los cambios cualitativos, la naturaleza tiene que pasar por saltos o transiciones que la linealidad no puede tolerar.
③El papel de la no linealidad y la linealidad en el mismo sistema
La no linealidad y la linealidad están relacionadas y son esencialmente diferentes. A menudo existen en un sistema al mismo tiempo, lo que estipula las propiedades de diferentes aspectos del sistema. Un sistema suele tener propiedades tanto lineales como no lineales. Primero, en un sistema no lineal dado, sus propiedades no lineales determinan si existe y dónde existe su estructura de equilibrio o mecanismo estabilizador. En segundo lugar, las propiedades lineales del sistema determinan la pequeña ley de vibración del sistema alrededor de su punto de equilibrio (estructura estable), es decir, las propiedades de expansión lineal del sistema cerca del punto estable.