¿Qué debo aprender primero en geometría elemental?
La geometría más antigua pertenece a la geometría plana. La geometría plana es el estudio de la estructura geométrica y las propiedades métricas (área, longitud, ángulo) de líneas rectas y curvas cuadráticas (es decir, secciones cónicas, es decir, elipses, hipérbolas y parábolas) en el plano.
Varios teoremas famosos de la geometría plana
1. Teorema de Pitágoras (Teorema de Pitágoras) 2. Teorema de proyección (Teorema de Euclidiana) 3. Las tres líneas medias de un triángulo se cortan en un punto por el cual cada línea media se divide en dos partes de 2:1. 4. La línea que conecta los centros de los dos lados del cuadrilátero se cruza en un punto con la línea que conecta los centros de las dos diagonales. 5. El centro de los dos triángulos que conectan los lados del hexágono a intervalos regulares es 6. Las bisectrices perpendiculares de cada lado de un triángulo se cortan en un punto. 7. Las tres rectas de un triángulo se cortan en un punto. 8. Sea O el centro exterior del triángulo ABC, H el centro vertical, dibuje una línea vertical de O a BC y sea L el cateto vertical, entonces AH=2OL 9. El centro exterior, el centro vertical y el centro de gravedad de un triángulo están en la misma línea recta (línea de Euler). 10. Triángulo (círculo de nueve puntos o círculo de Euler o círculo de Feuerbach), el centro de los tres lados se dibuja desde cada vértice hasta el pie vertical del lado opuesto, conectando el centro del pie vertical y el punto medio de cada vértice. Estos nueve puntos apuntan en el mismo círculo. 11. Teorema de Euler: el centro exterior del triángulo, el centro de gravedad, el centro del círculo de nueve puntos y el centro vertical están ubicados en la misma línea recta (línea de Euler). 12. Teorema de Coolidge: (Un círculo de nueve puntos inscrito en un cuadrilátero) Hay cuatro puntos en la circunferencia, tres de ellos son triángulos y los centros de nueve puntos de estos cuatro triángulos están en la misma circunferencia. 13. Las bisectrices de los tres ángulos internos del triángulo (interior) se cruzan en un punto. La fórmula del radio del círculo inscrito es: r=(s-a)(s-b)(s-c)s, S es la media circunferencia del triángulo. , 14; (cerca del centro) Una bisectriz del ángulo interior de un triángulo intersecta las bisectrices de los ángulos exteriores de los otros dos vértices en un punto, 15 Teorema del valor medio: (Teorema de Babbs) Supongamos que el punto medio del lado BC de el triángulo ABC es p, entonces AB2+AC2=2 (AP2+BP2) 16. Teorema de Stewart: p divide el lado BC del triángulo ABCD en m:n, entonces hay n×AB2+m×AC2 = (m+n )AP2+MNM+NBC 217, Boromir y muchos teoremas: dentro de un círculo. La recta que une el punto medio M de Ab y el punto de intersección E de la diagonal es perpendicular a CD 18. Teorema de Apolonio: El punto P con relación constante m:n (el valor no es 1) se sitúa en el punto interior que divide el segmento de recta AB en m:n En un círculo fijo con C y el punto externo D como ambos extremos del diámetro, teorema de Ptolomeo: Supongamos un cuadrilátero AB. Entonces tenemos AB×CD+AD×BC=AC×BD 20. Tomando los lados BC, CA y AB de cualquier triángulo △ABC como bases, haz isósceles △BDC, △CEA y △AFB con ángulos de base de 30 grados. hacia afuera respectivamente, entonces △DEF es un triángulo equilátero, 21 y Teorema 1 de Elk: Si △ 22. Teorema 2 de Ercos: Si △ABC, △DEF y △GHI son todos triángulos equiláteros, entonces el triángulo compuesto por el centro de gravedad del triángulo △ADG, △BEH y △CFI es un triángulo equilátero. 23. Teorema de Menelao: Supongamos que los puntos de intersección de los tres lados BC, CA, AB de △ABC o sus extensiones y una recta que no pasa por ninguno de sus vértices son P, Q y R respectivamente, entonces BPPC × CQQA × ARBB = 1 24. El teorema inverso del teorema de Menelao: (omitido) 25. Aplicación del teorema de Menelao Teorema 1. 26. Aplicación del teorema de Menelao Teorema 2: Si hay tres vértices A y B de cualquier △ABC, C es tangente a su circunferencia circunstante y se cruza con las líneas de extensión de BC, CA y AB respectivamente en los puntos P, Q y R, entonces los tres puntos P, Q y R son colineales. 27. Teorema de Ceva: Supongamos que los tres vértices A, B y C de △ABC no están en los lados del triángulo o en sus lados. Si la línea recta corta los lados BC, CA, AB o sus extensiones en los puntos P, Q, R, entonces BPPC×CQQA×ARRB()=1. Teorema de aplicación del teorema de Heseva: Supongamos paralelo a los lados BC y Los puntos de intersección. de las rectas de los dos lados AB y AC son D y E respectivamente. Supongamos que BE y CD se cruzan en S, entonces AS debe pasar por el centro M de BC 29. Recíproco del teorema de Sevier: (omitido) 30. Recíproco del teorema de Sevier. teorema El teorema de aplicación 1 de: Las tres líneas medias de un triángulo se cortan en un punto 31, y el teorema de aplicación del teorema inverso del Teorema 2 de Sevier: Sea el círculo inscrito de △ABC y los lados BC, CA y AB tangentes a los puntos R, S y T respectivamente. 32. Teorema de Simonson: Tome cualquier punto P en la circunferencia circunscrita de △ABC y dibuje una perpendicular a los tres lados BC, CA, AB o sus extensiones Supongamos que las perpendiculares son D, E, R, entonces D, E, R son colineales. (esta línea recta se llama línea de Simonson) 33. Inverso del teorema de Simonson: (omitido) 34. Teorema de Steiner: Conjuntos. 35. Aplicación del teorema de Steiner: El punto de simetría del punto P en la circunferencia circunstante de △ABC con respecto a los lados BC, CA y AB está en línea recta (paralela a la línea de Simpson) con el ortocentro H de △ABC. Esta línea recta se llama línea especular del punto P con respecto a △ABC. 36. Teorema de Boulanger y Tengxia: Supongamos que los tres puntos de la circunferencia circunscrita de △ABC son P, Q y R, entonces las condiciones necesarias y suficientes para que P, Q y R se intersequen en un punto son: arco AP + arco BQ + arco CR = 0 (mod2∏).
37. Corolario de los teoremas de Bralang y Tengxia 65438+. Luego, las rectas de Simpson sobre los puntos A, B y C de △PQR se cruzan en el mismo punto que antes. 38. Corolario 2 del teorema de Polanjie y Tengxia: En el Corolario 1, la intersección de las tres rectas de Simpson está formada por el centro vertical del triángulo formado por los tres puntos A, B, C, P, Q y R y el otro tres puntos. El punto medio de la línea que conecta los centros verticales de un triángulo. 39. Corolario 3 del teorema de Bolanger y Tengxia: Examina la recta de Simpson del punto P en el círculo circunscrito de △ABC alrededor de △ABC. Si QR es la cuerda del bolígrafo circunscrito perpendicular a esta recta de Simpson, entonces las rectas de Simpson alrededor de △ABC se cortan en un punto 40 en los tres puntos P, Q y R. Corolario 4 del teorema de Bolanger y Tengxia: del vértice de △ABC a BC y las aristas de BC. Y suponiendo que los puntos medios de los lados BC, CA y AB son L, M y N respectivamente, entonces los seis puntos de D, E, F, L, M y N están en el mismo círculo, entonces los puntos de L , M y N son aproximadamente △ Las líneas ABC de Simpson se cruzan en un punto. 41. Teorema 1 sobre la recta de Seymour: Los dos puntos finales P y Q del círculo circunscrito de △ABC son perpendiculares entre sí con respecto a la recta de Seymour del triángulo, y su intersección está en el círculo de nueve puntos. 42. Teorema 2 de la recta de Simpson (teorema de la paz): Hay cuatro puntos en un círculo, tres de ellos son triángulos y luego los puntos restantes son las rectas de Simpson alrededor del triángulo, y estas líneas de Simpson se cruzan en un punto. 43. Teorema de Carnot: Por el punto P del círculo circunscrito de △ABC se introducen las rectas PD, PE y PF con la misma dirección y ángulos iguales que los tres lados BC, CA y AB de △ABC. Los puntos con los tres lados son D, E y F, entonces los tres puntos D, E y F son colineales. 44. Teorema de Obel: Dibuja tres líneas paralelas desde los tres vértices de △ABC, y sus puntos de intersección con la circunferencia circunstante de △ABC son L, M y N respectivamente. Si se toma un punto P del círculo circunscrito de △ABC, entonces los puntos de intersección de PL, PM, PN y BC, CA, AB o sus extensiones son D, E, F respectivamente. Entonces los tres puntos D, E y F son colineales. 45. Teorema de Qinggong: Sean P y Q dos puntos de la circunferencia circunstante de △ABC que son diferentes de A, B y C. Los puntos de simetría del punto P con respecto a los tres lados BC, CA y AB son U, V y W respectivamente. En este momento, los puntos de intersección de la curvatura, y los lados BC, CA y AB o sus líneas de extensión son D, CA y AB respectivamente. Entonces los tres puntos D, E y F son colineales 46. Otros teoremas: supongamos que P y Q son un par de antípodas del círculo circunscrito de △ABC, y los puntos de simetría del punto P con respecto a los tres lados BC, CA y AB son U, V y W respectivamente. En este momento, si los puntos de intersección de la curva, , y los lados BC, CA, AB o sus extensiones son ED, E, F respectivamente, (puntos inversos: p, q son respectivamente los dos puntos del radio OC de la círculo O y su extensión Si OC2=OQ×OP, entonces los dos puntos p y q se dicen antipuntos relativos al círculo o)47. Teorema de Langerhans: Hay puntos a 1b 1c 1d 14 en el mismo círculo, y tres de ellos son triángulos. 48. Teorema del círculo de nueve puntos: Los puntos medios de los tres lados de un triángulo, los tres pies verticales de tres alturas y los tres puntos de Euler [los puntos medios de los tres segmentos de línea que conectan el vértice del triángulo y el centro vertical] son los nueve puntos de un círculo [este círculo se suele llamar [círculo de nueve puntos], o círculo de Euler o círculo de Feuerbach. 49. Hay n puntos en un círculo y el centro de gravedad de cualquier n-1 punto está en este círculo. 50. Teorema 1 de Cantor: Hay n puntos en un círculo y las líneas verticales trazadas desde el centro de gravedad de n-2 puntos cualesquiera hasta los otros dos puntos son comunes. 51. Teorema 2 de Cantor: Si hay cuatro puntos A, B, C, D y dos puntos M y N en un círculo, entonces los puntos M y N están relacionados con los dos Simpson de cada uno de los cuatro triángulos. △BCD, △CDA, △DAB y △ABC están en la misma línea recta. Esta línea recta se llama línea de Cantor alrededor de los puntos M y N del cuadrilátero ABCD. 52. Teorema 3 de Cantor: Si hay cuatro puntos A, B, C, D y tres puntos M, N, L en un círculo, entonces la recta de Cantor del cuadrilátero ABCD en M y N, alrededor de L y N Las rectas de Cantor del cuadrilátero ABCD se cortan en un punto en M y L. Este punto se llama punto de Cantor de M, N, L con respecto al cuadrilátero ABCD. 53. Teorema 4 de Cantor: Si hay cinco puntos A, B, C, D y E y tres puntos M, N y L en un círculo, entonces los tres puntos M, N y L son relativos a los cuadriláteros BCDE y CDEA Cada punto de Cantor en DEAB y EABC está en línea recta. Esta recta se llama línea de Cantor 54 de M, N, L con respecto al pentágono A, B, C, D, e. Teorema de Feuerbach: La circunferencia de nueve puntos de un triángulo es tangente a la circunferencia inscrita y a la circunferencia circunscrita. 55. Teorema de Morley: si los tres ángulos interiores de un triángulo se dividen en tres partes iguales y las dos bisectrices cercanas a un lado obtienen una intersección, entonces esas tres intersecciones pueden formar un triángulo equilátero. Este triángulo a menudo se llama triángulo equilátero de Morley. 56. Teorema 1 de Newton: El punto medio del segmento de recta conectado por la intersección de las líneas de extensión de los dos lados opuestos del cuadrilátero es colineal con el punto medio de las dos diagonales. Esta línea recta se llama línea del cuadrilátero de Newton. 57.Teorema 2 de Newton: Los puntos medios de las dos diagonales de un cuadrilátero que circunscribe un círculo son colineales con el centro del círculo. 58. Teorema 1 de Girard Desargues: Hay dos triángulos △ABC y △DEF en el plano. Suponga que las líneas que conectan sus vértices correspondientes (A y D, B y E, C y F) se cruzan en un punto. En este momento, si los bordes correspondientes o sus extensiones se cruzan, los tres puntos de intersección son colineales. 59. Teorema 2 de Girard Desargues: Hay dos triángulos △ABC y △DEF en planos diferentes.
Suponga que las líneas que conectan sus vértices correspondientes (A y D, B y E, C y F) se cruzan en un punto. En este momento, si los bordes correspondientes o sus extensiones se cruzan, los tres puntos de intersección son colineales. 60. Teorema de Briansson: Si los vértices A y D, B y E, C y F del hexágono ABCDEF tangente a la circunferencia están conectados, entonces estas tres rectas son comunes. 61. Teorema de Basija: El lado opuesto AB del hexágono del círculo inscrito ABCDEF es colineal con las intersecciones de DE, BC y EF, CD y FA (o líneas de extensión).