¿Qué son los números dorados?
Hace más de dos mil años, el antiguo matemático griego Eudoxo descubrió que si un segmento de recta (AB) se divide en dos segmentos (AP y PB), si la recta pequeña segmento La relación entre la longitud y la longitud del segmento de línea grande es exactamente igual a la relación entre la longitud del segmento de línea grande y la longitud total, entonces esta relación es igual a 0,618..., expresada por la fórmula Pb/ AP = AP/AB = 0,665433. Curiosamente, este número se puede ver en todas partes en la naturaleza y en la vida de las personas: el ombligo es la sección áurea de la longitud total del cuerpo humano, y la relación de aspecto de puertas y ventanas también es 0,618. En algunos tallos de plantas, el ángulo entre dos pecíolos adyacentes divide el círculo en dos radios de 1:0,618. Y este ángulo tiene el mejor efecto de ventilación e iluminación para las plantas. También se descubrió que los temas de algunas pinturas, esculturas y fotografías famosas están en su mayoría en 0,618...
El número 0,618 es de gran preocupación para los matemáticos. Su aparición no sólo resuelve muchos problemas matemáticos, sino que también hace posibles métodos de optimización. El método de optimización es una forma de resolver problemas de optimización. Si es necesario agregar un elemento químico para aumentar la resistencia del acero al fabricar acero, se supone que la cantidad de elemento químico que se agregará por tonelada de acero está entre 1000 y 2000 gramos. Para encontrar la cantidad de adición más adecuada, es necesario realizar experimentos en el rango de 65.438+0.000 gy 2.000 g. Normalmente se toma el punto medio del intervalo (es decir, 1500 g) para realizar la prueba. Luego compárelo con los resultados de la prueba a 1000 gy 2000 g respectivamente y proceda en secuencia hasta obtener el mejor resultado. Este método de experimentación se llama método de dicotomía. Pero esta no es la forma más rápida de experimentar. Si el punto experimental se toma en 0,618 del intervalo, el número de experimentos se reducirá considerablemente. Este es el método de optimización unidimensional, también llamado método 0.618. Por eso, el gran pintor Leonardo da Vinci llamó al 0,618... el número áureo.
Números misteriosos en las plantas
El "club" de las cartas no es una flor de ciruelo, ni siquiera una flor, sino un trébol. En la historia occidental, el trébol es una planta muy simbólica. Se dice que la primera hoja representa la esperanza, la segunda hoja representa la fe y la tercera hoja representa el amor. Si encuentras un trébol de cuatro hojas, tendrás suerte y encontrarás la felicidad. Encontrar tréboles de cuatro hojas en la naturaleza es un juego de niños en Occidente, pero puede ser difícil encontrarlos. Se estima que hay un mutante de cuatro hojas por cada 10.000 tréboles.
En China, las flores de ciruelo tienen significados simbólicos similares. Según el folclore, los cinco pétalos de la flor del ciruelo representan las cinco bendiciones. Durante la República de China, la flor del ciruelo fue designada como flor nacional. Se afirmaba que los cinco pétalos de la flor del ciruelo simbolizaban la armonía de los cinco grupos étnicos y tenían el significado de fortalecer las cinco éticas, enfatizando las cinco constantes. y aplicar las cinco religiones. Sin embargo, las flores de ciruelo no son las únicas que tienen cinco pétalos. De hecho, el número de pétalos más habitual es cinco. Por ejemplo, otras especies pertenecientes a la familia de las Rosáceas como los melocotones, las ciruelas, los cerezos en flor, los albaricoques, las manzanas y las peras tienen cinco pétalos. El número común de pétalos es: 3, iris y lirio (parecen 6, pero en realidad son dos juegos de 3, delfinio 13, los pétalos de girasol son 21 y algunos son 34); Las margaritas tienen 34, 55 u 89 pétalos. Sin embargo, existen pocas flores con otros pétalos. ¿Por qué el número de pétalos no se distribuye aleatoriamente? 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... ¿qué tienen de especial estos números?
Sí, son números de Fibonacci. Fibonacci (1170-1240) fue un matemático italiano medieval. En lugar de contar el número de pétalos, descubrió la secuencia mientras resolvía un problema sobre la reproducción de los conejos. Supongamos que tienes un par de conejos recién nacidos, un macho y una hembra. Comienzan a aparearse cuando tienen un mes de edad. Al final del segundo mes, la coneja da a luz a otra pareja de conejos. Un mes después, también empiezan a reproducirse, y así sucesivamente. Cuando cada coneja comience a reproducirse, dará a luz un par de conejos cada mes. Suponiendo que no muera ningún conejo, ¿cuántas parejas de conejos habrá en un año?
A finales de enero se aparea la primera pareja de conejos, pero solo queda 1 pareja de conejos, a finales de febrero, la coneja da a luz a una pareja de conejos, y quedan 2; parejas de conejos. A finales de marzo, la coneja más grande dio a luz a un segundo par de conejos, haciendo un total de tres parejas de conejos. A finales de abril, la coneja más grande dio a luz a un tercer par de conejos, y la coneja nacida hace dos meses dio a luz a un par de conejos. Hay cinco parejas de conejos. ..... Si se calcula así, el logaritmo del conejo es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... ¿Ves las reglas? A partir del tercer número, cada número es la suma de los dos números anteriores.
Las plantas parecen fascinadas por Fibonacci. Los números de Fibonacci existen no sólo en las flores, sino también en características morfológicas como hojas, ramas, frutos y semillas. La filotaxia se refiere a la disposición de las hojas en el tallo. La más común es la filotaxia alterna, lo que significa que solo hay una hoja en cada nudo, que es alterna. Comenzando desde cualquier hoja, conecta el punto de aterrizaje de cada hoja con una línea hacia arriba. Se puede encontrar que se trata de una línea en espiral, que gira en espiral hacia arriba hasta que el punto de aterrizaje de la otra hoja de arriba coincide con el punto de aterrizaje de la hoja inicial, que es el punto final. El número de espirales alrededor del tallo desde la primera hoja hasta la última se llama filotaxis. La filotaxis puede ser diferente en diferentes plantas y el número de hojas también puede ser diferente.
Por ejemplo, la filotaxia del olmo es 1 (es decir, 1 alrededor del tallo) y tiene 2 hojas; la filotaxia de la morera es 1 y tiene 3 hojas; la filotaxia del durazno es de 2 hojas y 5 hojas; la filotaxia de la pera es de 3 hojas y 8 hojas; el albaricoque, la filotaxia es de 5, y tiene 13 hojas; la filotaxia del pino es de 8, y hay 21 hojas... Expresado por la fórmula (el número de. las hojas alrededor del tallo es el numerador y el número de hojas es el denominador), respectivamente 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/20.
Si observas el disco floral de un girasol, encontrarás que sus semillas están dispuestas para formar dos conjuntos de espirales incrustadas, una en el sentido de las agujas del reloj y otra en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cuente el número de estas espirales, aunque las diferentes variedades de girasoles serán diferentes, los números de estos dos conjuntos de espirales son generalmente 34 y 55, 55 y 89 o 89 y 144. El primer conjunto de números está en el sentido de las agujas del reloj. es en sentido antihorario y cada grupo de números son dos números adyacentes en la secuencia de Fibonacci. Observe la disposición de las escamas de las piñas y las piñas. Aunque no es tan complejo como el Disco Girasol, hay dos conjuntos similares de espirales, generalmente en número 8 y 13. A veces esta espiral no es tan obvia y requiere una observación cuidadosa, como ocurre con la coliflor. Si tomas una coliflor y la estudias detenidamente, encontrarás que la disposición de los floretes en la coliflor también forma dos conjuntos de espirales. Si contamos el número de espirales, ¿son también dos números de Fibonacci adyacentes, como 5 en el sentido de las agujas del reloj y 8 en el sentido contrario a las agujas del reloj? Rompe una pequeña flor y obsérvala con atención. En realidad, está formado por flores más pequeñas dispuestas en dos espirales cuyo número es también el número de dos números de Fibonacci adyacentes.
¿Por qué las plantas prefieren tanto los números de Fibonacci? Esto está relacionado con otro número "misterioso" que ha sido notado e incluso adorado ya en la antigua Grecia. Supongamos que existe un número φ, que tiene la siguiente relación matemática interesante:
φ^2 - φ^1 -φ^0 =0
Es decir:
φ^2 -φ -1 =0
Esta ecuación tiene dos soluciones:
(1 + √5) / 2 = 1.6180339887...(1 - √5) / 2 = - 0.6180339887 ...
Ten en cuenta que las partes decimales de estos dos números son exactamente iguales. La respuesta correcta (1.61803333865...) se llama número áureo o proporción áurea, generalmente representada por φ. Este es un número irracional (los decimales tienen un ciclo infinito y no se pueden expresar como fracciones) y es el número irracional más irracional. También es un número irracional. ππ se puede aproximar con precisión en 22/7, la constante natural E se puede aproximar con precisión en 19/7, √2 se puede aproximar con precisión en 7/5 y φ no se puede aproximar con precisión mediante una fracción con un denominador de un solo dígito.
Los números áureos tienen unas propiedades matemáticas maravillosas. Su recíproco es exactamente igual a su parte decimal, es decir, 1/φ = φ-1. A veces, este recíproco también se llama número áureo y proporción áurea. Si una recta AB se divide por el punto C, AB/AC = AC/CB, entonces esta relación es igual al número de la sección áurea, y el punto C se llama punto de la sección áurea. Si el ángulo del vértice de un triángulo isósceles es de 36 grados, entonces la relación entre su altura y la línea de la base es igual al número áureo. Un triángulo así se llama triángulo áureo. Si la relación de aspecto de un rectángulo es el número áureo, entonces corte un cuadrado del rectángulo cuyo largo de lado sea su ancho, y el pequeño rectángulo restante todavía tendrá el número áureo. Tal rectángulo se llama rectángulo áureo. Se puede cortar infinitamente usando el método anterior para obtener rectángulos áureos cada vez más pequeños. Si las esquinas opuestas de estos rectángulos áureos se conectan con arcos, se forma una curva logarítmica. Los periódicos, revistas, libros, papel, documentos de identidad y tarjetas de crédito comunes tienen una forma parecida al rectángulo dorado, lo que se dice que hace que las personas parezcan muy cómodas. De hecho, los números dorados están en todas partes de nuestras vidas. A la arquitectura, las obras de arte y las necesidades diarias les gusta usarlos en el diseño porque nos hacen sentir hermosos y armoniosos.
Entonces, ¿cuál es la relación entre los números áureos y los números de Fibonacci? Según la ecuación anterior: φ 2-φ-1 = 0, podemos obtener:
φ = 1 + 1/φ = 1 + 1/ (1 + 1/φ) = ...= 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...)))
De acuerdo con la fórmula anterior, puedes usar una calculadora para calcular φ: ingresa 1, toma el recíproco, y suma 1, toma el recíproco, suma 1, toma el recíproco,..., encontrarás que la suma se acerca cada vez más a φ.
Expresemos los pasos aproximados anteriores en términos de fracciones y decimales:
φ ≈ 1 φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/ 2 = 1,5φ ≈ 1 + 1/ (1+1/(1+1)) = 5/3 = 1,666667φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/ 5 = 1,6φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1,625φ ≈ 1 + 1/ (1+1/(1+ (1 +(1+(1+1))))) = 21/13 = 1.615385φ ≈ 1 + 1/(1+1/ (1+(1+(1+(1+(1+1))) ))) )) = 34/21 = 1.619048φ ≈ 1 + 1/(1+1/ (1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 55/34 = 1.617647φ ≈ 1 + 1/(1+1/ (1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))))) = 89/55 = 1.618182 .. .
¿Lo encontraste? El numerador y denominador de las fracciones anteriores son números de Fibonacci adyacentes. Resulta que la proporción de dos números de Fibonacci adyacentes es aproximadamente igual a φ. Cuanto mayor sea el número, más cerca estará. Cuando es infinito, la relación es igual a φ. Los números de Fibonacci están estrechamente relacionados con los números áureos. A las plantas les encantan los números de Fibonacci, pero en realidad les encantan los números áureos. ¿Por qué es esto? ¿Existe algún acuerdo mediante el cual Dios quiera que el mundo esté lleno de belleza y armonía?
Las ramas, hojas y valvas de las plantas tienen el mismo origen, y todas brotan y se diferencian del meristemo apical del vástago. El nuevo brote crece en una dirección diferente a la del brote anterior, girando en un ángulo fijo. Si desea aprovechar al máximo el espacio de cultivo, la dirección de crecimiento de los nuevos brotes debe estar lo más alejada posible de los viejos. Entonces, ¿cuál es el mejor ángulo? Podemos escribir este ángulo como 360 × n, donde 0 < n < 1. Debido a que un ángulo a la izquierda y a la derecha es el mismo (solo la dirección de rotación es diferente), por ejemplo, n = 0,4 y n = 0,6 en realidad tienen el mismo resultado, por lo que solo necesitamos considerar el caso de 0,5 ≤ n < 1. Si el nuevo brote quiere estar lo más alejado posible del anterior, debe crecer hacia el lado opuesto, es decir, n = 0,5 = 1/2, pero en este caso el segundo nuevo brote está en el mismo dirección que el brote viejo, y el tercer brote nuevo está en la misma dirección que el primer brote nuevo En la misma dirección..., es decir, solo se superpone aproximadamente 1 semana. ¿Qué pasa si 0,6 = 3/5? Habrá superposición después de tres rondas y solo hay cinco direcciones en total. De hecho, si n es una fracción propia p/q, significa que hay superposición alrededor de p, y * * * hay q direcciones de crecimiento.
Evidentemente, si n es un número irracional que no se puede expresar como fracción, sería mucho más "razonable". ¿Qué número irracional eliges? Pi, la constante natural e y √2 no son buenas opciones porque sus partes decimales están muy cercanas a 1/7, 5/7 y 2/5 respectivamente, es decir, se superponen alrededor de 1, 5 y 2 semanas respectivamente. , con un total de sólo 7, 7 y 5 direcciones. Así que la conclusión es que cuanto más irracionales sean los números, mejores y más "racionales" serán. Como se mencionó anteriormente, el número irracional menos razonable es el número áureo φ ≈ 1.438+08. Es decir, el valor óptimo de n es ≈0,618, es decir, el ángulo de rotación óptimo del nuevo brote es aproximadamente 360×0,618 ≈ 222,5 o 137,5.
Como hemos comentado anteriormente, las filotaxias más habituales son 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13 y 8/21, indicando cuántas hojas hay por semana. Si queremos convertirlos a n (que indica cuántas vueltas ha dado cada hoja), encontraremos. Son la proporción de dos números de Fibonacci adyacentes, que están cerca de 1/φ en diversos grados. En este caso, los cogollos de la planta pueden tener la mayor cantidad de direcciones de crecimiento y ocupar el mayor espacio posible. Para las hojas, significa recibir la mayor cantidad de luz solar posible para la fotosíntesis, o recibir la mayor cantidad de lluvia posible para irrigar el sistema de raíces, para las flores, significa mostrarse lo más posible para atraer la polinización de insectos para las semillas, significa organizarlas; lo más densamente posible. Todo esto es de gran beneficio para el crecimiento y reproducción de las plantas. Se puede ver que la razón por la que las plantas prefieren los números de Fibonacci es el resultado de la evolución bajo selección natural de supervivencia del más apto, lo cual no es un misterio.