Por qué los vectores propios con diferentes valores propios deben ser ortogonales

Los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios de una matriz simétrica son ortogonales entre sí.

La proposición debería ser que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios de una matriz simétrica real son ortogonales entre sí. La evidencia es la siguiente:

Supongamos que λ1 y λ2 son valores propios diferentes de dos A, α1 y α2 son sus vectores propios correspondientes respectivamente, donde

A * α1 = λ1 * α1 , A * α2 = λ2 *α2

Transponer respectivamente, multiplicar ambos lados por α2 y α1 respectivamente, y obtener

α1′* A′*α2 =λ2 *α1′*α2 , α2′* A′*α1 =λ1 *α2′*α1?

Resta correspondiente y observe que α2‘* a‘*α1 = (α2‘* a‘*α1)‘=α1‘* a‘*α2?

Entonces (λ1-λ2)α1′*α2 =α1′* a′*α2-α2′* a′*α1 =α1′*α2-α65438.

Y λ1-λ2≠ 0, entonces α1‘*α2 = 0.

Es decir, α1 y α2 son ortogonales.

Datos extendidos:

Encontrar valores propios

Supongamos que A es una matriz cuadrada de orden n si el número λ y el vector columna de n dimensiones distinto de cero. X hace que Ax = λx se establezca, entonces dicho número λ se llama valor propio de la matriz A, y el vector X distinto de cero se llama vector propio de A correspondiente al valor propio λ. La fórmula Ax=λx también se puede escribir como (A-λE)X = 0. Este es un sistema lineal homogéneo de ecuaciones con n incógnitas yn ecuaciones. La condición necesaria y suficiente para que tenga solución distinta de cero es que el coeficiente determinante | A-λE|=0. ?

Supongamos que a es una matriz de orden n en el campo numérico p y λ es un número desconocido.

El coeficiente determinante |A-λE| se llama polinomio característico de A, ¿te acuerdas? (λ) = |λE-A|, es un polinomio de enésimo grado en p, y E es la matriz identidad.

(λ) = |λE-A | =λ+A 1λ+…+an = 0 es una ecuación algebraica de n-ésimo grado, llamada ecuación característica de A. ¿Ecuación característica? La raíz de (λ) = |λE-A| = 0 (como λ0) se llama raíz característica (o valor propio) de A. Una ecuación algebraica de grado n tiene sólo n raíces en el campo de números complejos, pero no necesariamente tiene raíces en el campo de números reales. Por lo tanto, el número y la existencia de raíces características no solo están relacionados con A, sino también con el campo de números. pag.