Problemas de cálculo de funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas.
Aunque el conocimiento trigonométrico se originó en la antigüedad, fue impartido por primera vez por Euler (1707-1783) en su libro "Introducción al análisis de los infinitesimales". Antes de Euler, el estudio de funciones trigonométricas se realizaba principalmente dentro de un círculo de cierto radio. Por ejemplo, Ptolomeo de la antigua Grecia fijó el radio en 60; el indio Ayabatha (aproximadamente 476-550) tenía un radio de 3438; el matemático alemán Joanus (1436-1476) una vez fijó el radio en 60 para poder calcular con precisión el valor. de funciones trigonométricas. El radio es 600.000. Más tarde, para hacer una tabla de senos más precisa, el radio se fijó en 107. Entonces, las funciones trigonométricas en ese momento eran en realidad las longitudes de ciertos segmentos de línea dentro del círculo.
El matemático italiano Lettix (1514-1574) cambió la práctica anterior, es decir, en el pasado, AB se llamaba generalmente seno. El seno y el círculo están firmemente conectados, pero Lettix lo llamó ∠ AOB seno. hace que el valor del seno esté directamente vinculado al ángulo y el círculo O se vuelve subordinado.
No fue hasta que Euler fijó el radio de un círculo en 1, es decir, colocando los ángulos dentro del círculo unitario, que se definieron las funciones trigonométricas como la relación entre el segmento de recta correspondiente y el radio. del círculo.
Seno y coseno
El teorema del seno fue descubierto y demostrado por primera vez por el famoso astrónomo iraní Abrewefa (940-998). Alberta Rooney (973-1048+05), de Asia Central, demostró el teorema del seno del triángulo.
Algunas personas dicen que la prueba del teorema del seno fue la primera vez que Hilding discutió la trigonometría como un tema independiente en "Sobre los cuadriláteros perfectos" en el siglo XIII, y la primera vez que demostró claramente el teorema del seno. teorema. También señaló que de los tres ángulos de un triángulo esférico salen tres lados, o de los tres lados salen tres ángulos. Este es un signo importante que distingue los triángulos esféricos y los triángulos planos. En este punto, la trigonometría comenzó a separarse de la astronomía y emprendió el camino del desarrollo independiente.
El primer volumen de la "Obra maestra de la astronomía" de Clodio Ptolomeo contiene no sólo algunos datos astronómicos importantes, sino también la tabla de acordes mencionada anteriormente. Da la longitud de la cuerda subtendida por todos los ángulos centrales desde (1/2) hasta 180. El radio de un círculo se divide en 60 partes iguales con cuerdas de igual longitud.
Por ejemplo, crd 36 = 37p4'55", lo que significa que la cuerda con un ángulo central de 36° es igual al radio (o 37 partes pequeñas), más una parte pequeña, más una parte pequeña parte. En la figura siguiente se puede ver que la tabla de cuerdas es equivalente a la tabla de funciones sinusoidales.
A principios del siglo VI d.C., el matemático indio Aryabhata hizo una tabla de senos con un intervalo de 3°. 45' en el primer cuadrante. Según la costumbre de los babilonios y griegos, el círculo se divide en 360 grados, cada grado es de 60 minutos, y el círculo completo tiene 265,438+0,600 partes. = 3.438. Una unidad mide el radio y la circunferencia, dando origen al concepto más antiguo del sistema en radianes. Al calcular el valor del seno, tomó la longitud de media cuerda del arco opuesto al ángulo central, que está más cerca del concepto del seno moderno. los griegos tomaron la longitud completa de la cuerda. También se utilizan vectores senos y cosenos, y se dan algunas fracciones aproximadas de funciones trigonométricas
2. Tangentes y cotangentes
El famoso astrónomo y matemático sirio. Al-Ba (850-929) hizo una tabla [cotangente] con un intervalo de 1 de 0 a 90 alrededor del año 920.
En el año 727 d.C., el emperador Xuanzong de la dinastía Tang instruyó a los monjes y su séquito. compilar ". "Calendario de navegación". Para encontrar la duración de los términos solares en cualquier lugar del país en un año, un grupo de personas compiló una tabla de correspondencia entre la distancia al cenit solar y la longitud de la sombra del sol utilizando un polo de ocho pies. La relación entre la distancia al cenit del sol y la longitud de la sombra del sol es una función tangente. Battani compiló una tabla de funciones cotangentes, y la altura del sol es una función tangente. A mediados del siglo XIV, Arub (1393-1449), de Asia Central, que originalmente era descendiente de Genghis Khan, organizó un estudio astronómico a gran escala, observaciones y cálculos de tablas matemáticas. Su tabla de senos tenía una precisión de 9 decimales. También hizo 65440 entre 30 y 45.
En Europa, el matemático británico y arzobispo de Canterbury (1290?-1349-Primero introdujo las tangentes y cotangentes en sus cálculos trigonométricos.
3. Secante y cotangente
﹝secante﹞y﹝cosecante El concepto de ﹞ fue propuesto por primera vez por Abre-Wefa.
La abreviatura de sec es 1626, el número holandés Kirader+0595-1630.
Durante el período del "Renacimiento" europeo (siglo XIV al siglo XVI), el gran astrónomo Copérnico (1473-1543) defendió la teoría del movimiento sísmico. Su alumno Litex vio que en esa época las observaciones astronómicas se convertían. Cada vez se hacían más precisas y se hacían tablas de seno, tangente y secante cada 10". En aquella época no había logaritmos, mucho menos calculadoras. La tarea era pesada. Littix y sus ayudantes trabajaron duro y con perseverancia durante 12 años. Desafortunadamente, no completó este trabajo hasta 1596. Se completó y publicó en Heidelberg ese año, 161515665438+
En los tiempos modernos, la expansión en serie de Taylor generalmente se usa dependiendo de cuántos decimales se necesitan para ser precisos. , cuantos más elementos expandas, más preciso será
arcsin x=∑(n=~∞. )[(n)! *(n+)]
arctan x=∑(n=~∞)[(-)^n]x^ (n+)/(n+)