(2014? Se conoce la secuencia positiva {an}, y sus primeros n términos y Sn satisfacen 8Sn=an2+4. ...

Obtener 8sn-1 = an-12+4an-1+3(N≥2, n∈N) ②.

①-②De:8an =(an-an-1)(an+an-1)+4an-4an-1,

Ordenados: (an-an-1 - 4)(an+an-1)= 0(N≥2, n∈N),

∫{ an } es una secuencia positiva,

∴ an+an-1 > 0, entonces an-an-1=4(n≥2, n∈N)

∴{an} es una secuencia aritmética con un error de 4,

Por 8a 1 = a 12+4a 1+3, obtenemos a1=3 o a1=1.

Cuando a1=3, a2=7 y a7=27, no se cumple el requisito de que a2 sea la mediana geométrica de a1 y a7.

Cuando a1=1, a2=5, a7=25, entonces a2 es la mediana proporcional de a1 y a7.

∴an=1+(n-1)×4=4n-3;

(ii) De an=4n-3, bn=[log2(

An + 3

四

)]=[log2n],

El símbolo [x] representa el entero más grande que no excede el número real x Cuando 2m ≤ n < 2m+1, cuando [log2n]=m,

Supongamos que s = b 1+B2+B3+…b2n =[log21]+[log22]+…[log22n]

= 1+1+2+…+3+…+4+…+n-1+…+n

∴s=1×21+2×22+3 ×23+ 4×24+(n-1)×2n-1+n

①

2S = 1×22+2×23+3×24+4×25 +(n -1)×2n+2n

②

①-② Obtener:

-S = 2+22+23+24+…+ 2n-1 -(n-1)2n-n

=

2(1-2n-1)

1-2

- (n-1)2n-n=(2-n)2n-n-2

∴S=(n-2)2n+n+2,

Es decir b 1+B2+B3+…B2N =(n-2)2n+n+2.