¡Se necesita con urgencia el Concurso de Matemáticas de la Escuela Secundaria de Taiyuan 2003! ! ! ! ! ! !
1. Preguntas de opción múltiple (***5 preguntas, cada pregunta vale 6 puntos, con una puntuación total de 30 puntos. Se dan cuatro preguntas en inglés para cada pregunta). a continuación. Conclusión, una y solo una de ellas es correcta. Coloque el código de la conclusión correcta entre paréntesis después de la pregunta. Se otorgarán cero puntos si no completa la respuesta, completa más o completa. la respuesta incorrecta)
1. Si 4x -3y-6z = 0, x+2y-7z = 0 (XYZ ≠ 0), el valor es igual a ().
(A) (B) (C) (D)
2. Al enviar cartas ordinarias a través de este puerto, la tarifa postal es de 0,80 yuanes cuando el peso de cada carta no lo hace. excede los 20 g, y el franqueo no excede los 20 g. Cuando excede los 40 g, es 1,60 yuanes, y así sucesivamente. Por cada 20 g adicionales, el envío es de 0,80 yuanes (la calidad de la carta está dentro de los 100 g). Si el peso de una carta enviada es de 72,5 g, se pagarán los portes ().
(1) 2,4 yuanes (2) 2,8 yuanes (3) 3 yuanes (4) 3,2 yuanes.
3. Como se muestra en la siguiente figura≈A+≈b+≈C+≈D+≈E+≈F+≈G =()
360 (B) 450 (C) 540 (D ) 720
4. Las longitudes de los cuatro segmentos de línea son respectivamente 9, 5, x, 1 (donde x es un número real positivo). Úselos para formar dos triángulos rectángulos, AB y CD son dos. de los segmentos de línea (como se muestra en la imagen de arriba), entonces el número de valores aceptables de x es ().
2 (B) 3 (C) 4 (D) 6.
5. Un total de 100 estudiantes y profesores de las dos promociones de la escuela secundaria de una determinada escuela tomaron fotografías de sus fotos de graduación en los escalones. Los fotógrafos deben organizarse en una fila trapezoidal con más al frente y menos atrás (número de filas ≥ 3. El número de personas en cada fila debe ser un número natural continuo, de modo que todos los de la última fila puedan permanecer en el espacio). entre los dos de la primera fila. Entonces, el esquema de disposición que cumple con los requisitos anteriores es ().
(A) 1 especie (B) 2 especies (C) 4 especies (D) 0 especies.
2. Complete los espacios en blanco (***5 preguntas, cada pregunta vale 6 puntos, la puntuación total es 30 puntos)
6.
7. Si los números reales x, y, z satisfacen, entonces el valor de xyz es.
8.Observa la siguiente figura:
① ② ③ ④
Según las reglas de las figuras ①, ② y ③, el número de triángulos en la figura ④ es .
9. Como se muestra en la figura, el poste telefónico AB está parado en el suelo y su sombra simplemente brilla.
En la pendiente CD de la pendiente del suelo y el terreno BC, ¿qué pasa si CD es 45? ,∠A=60? ,
CD=4m, BC= m, entonces la longitud del poste telefónico AB es _ _ _ _ _ _ m.
10. imagen de un número entero) pasa por el punto A (-1, 4) y el punto B (2, 1) y tiene dos puntos de intersección diferentes con el eje X, por lo que el valor máximo de b+c es.
3. Responda las preguntas (***4 preguntas, cada pregunta tiene 15 puntos, la puntuación total es 60 puntos)
11. AB es el diámetro de ⊙O, y BC es La recta tangente de ⊙O, OC, es paralela a la cuerda AD, pasa por el punto d, forma DE⊥AB en el punto e, conecta AC y corta a DE en el punto p. ¿Son iguales EP y PD? Justifica tu conclusión.
Solución:
12. Alguien alquila un coche de la ciudad A a la ciudad B. Las ciudades por las que puede pasar en el camino y el tiempo que tarda en viajar entre las dos ciudades (unidad). : horas) son los siguientes: imagen. Si la velocidad media de un coche es de 80 km/h, el coste medio de un coche por 1 km es de 1,2 yuanes. Intente señalar la ruta más corta para esta persona desde la ciudad A a la ciudad B (debe haber un proceso de razonamiento)
Solución:
13B.. Como se muestra en la figura, en △ABC , ∠ ACB = 90.
(1) Cuando el punto D está dentro de la hipotenusa AB, demuestra:.
(2) Cuando el punto D coincide con el punto A, ¿existe la ecuación del punto (1)? Por favor explique por qué.
(3) Cuando el punto D está en la línea de extensión de BA, ¿existe la ecuación del punto (1)? Por favor explique por qué.
14B.. Se sabe que los números reales A, B y C satisfacen: a+b+c=2, abc=4.
(1) Encuentre el valor máximo y mínimo entre A, B y C
(2) Encuentre el valor mínimo.
Nota: 13B y 14B son preguntas más fáciles que 13A y 14A a continuación. 13B y 14B y las 12 preguntas anteriores conforman la prueba. Las siguientes dos páginas son 13A y 14A.
13A..Como se muestra en la figura, la longitud del diámetro ⊙O es la raíz entera más grande de la ecuación cuadrática alrededor de x (k es un número entero). P es un punto fuera de ⊙ o, y la tangente PA y la secante PBC de ⊙O pasan por el punto P, donde A es el punto tangente y los puntos B y C son las intersecciones de la recta PBC y ⊙O
Solución:
14A..Hay algunos números en la circunferencia. Si hay cuatro números A, B, C y D conectados en secuencia y la desigualdad > 0, entonces las posiciones de b y c se pueden intercambiar. Esto se llama operación.
(1) Si hay números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en la circunferencia del círculo, pregunta: Después de un número finito de operaciones, los cuatro números A, B, C , y D conectados en secuencia en el círculo Finalmente, ¿puede todo ser ≤0? Por favor explique por qué.
(2) Si hay 2003 enteros positivos 1, 2,..., 2003 en la circunferencia de pequeño a grande en el sentido de las agujas del reloj, pregunte: A, B, C, D están conectados en secuencia en la circunferencia ¿Todos los números son ≤ 0 después de un número finito de operaciones? Por favor explique por qué.
Solución: (1)
(2)
En 2003, "¿En serio?" "Copa Xinli" Respuestas y puntuaciones de referencia del concurso nacional de matemáticas de escuelas secundarias Estándares
1. Preguntas de opción múltiple (cada pregunta tiene 6 puntos, la puntuación total es 30 puntos)
1.D
Puedes obtenerla sustituyendo en la solución
2.D
Porque 20× 3
3.C
Como se muestra en la figura, ∠ B+∠ BMN+ ∠ E+∠ G = 360, ∠ FNM+∠ F+∠ A+∠ C = 360,
Y ∠ BMN+∠ FNM = ∠ D+180, entonces
∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F+∠ G=540
4.D
Obviamente AB es el más largo de los cuatro segmentos de línea, por lo que AB=9 o AB = X.
(1) Si AB=9, cuando CD=x,,;
Cuando CD=5,,;
Cuando CD=1,...
(2) Si AB=x, cuando CD=9,...,;
Cuando CD=5,,;
Cuando CD=1, ...
Por lo tanto, x El número de valores es 6.
5.B
Supongamos que hay k personas en la última fila y * * hay n filas, entonces el número de personas en cada fila de atrás hacia adelante es k, k +1, k+2,…,k+(n-1), podemos saberlo por el significado de la pregunta
Debido a que k y n son números enteros positivos y n≥3, n
6
= .
7.1.
Por lo tanto, se obtiene la solución
Por lo tanto,
Entonces
8.161.
Según las leyes ①, ② y ③ en la figura, el número de triángulos en la figura ④ es
1+4+3×4++ = 1+4+12+36+108 = 161 (piezas).
Como se muestra en la figura, AD El plano de tierra se extiende hasta e, pasando por d tal que DF⊥CE hasta f.
Dado que ∠ DCF = 45, ∠ A = 60, CD=4m,
entonces CF=DF= m, ef = df tan 60 = (m).
Porque, entonces
10.-4.
Debido a la función cuadrática la imagen pasa por el punto A (-1, 4) y el punto B (21), así es
Debido a que la imagen de la función cuadrática tiene dos puntos de intersección diferentes con el eje X,
En otras palabras, debido a que a es un entero positivo,
Entonces ≥2, y debido a que b+c =-3a+2 ≤-4, y cuando a=2, B =-3, cuando C =-1, se satisface el significado de la pregunta, entonces el valor máximo de b. +c es -4.
3. Responda las preguntas (***4 preguntas, cada pregunta tiene 15 puntos, la puntuación total es 60 puntos)
11. AB es el diámetro de ⊙O, y BC es La recta tangente de ⊙O, OC, es paralela a la cuerda AD, pasa por el punto d, forma DE⊥AB en el punto e, conecta AC y corta a DE en el punto p. ¿Son iguales EP y PD? Justifica tu conclusión.
Solución: DP=PE. La evidencia es la siguiente:
Debido a que AB es el diámetro ⊙O y BC es la recta tangente,
Entonces AB⊥BC.
De Rt△AEP ∽Rt△ABC, obtenemos ①...(6 puntos)
AD‖OC, entonces ∠DAE=∠COB, entonces Rt△AED∽Rt△OBC.
Entonces ②...(12 puntos)
ED=2EP se deriva de ① y ②.
Entonces DP = PE...(15 puntos)
12. Alguien alquiló un coche desde la ciudad A hasta la ciudad B, las ciudades que pueden pasar en el camino, y
El tiempo necesario para viajar entre las dos ciudades (unidad: horas) es el que se muestra en la figura. Si el automóvil está conduciendo, la velocidad promedio del automóvil es de 80 km/h y el costo promedio del automóvil es de 1 km.
Por 1,2 yuanes. Intente señalar la ruta más corta para esta persona desde la ciudad A a la ciudad B (se requiere razonamiento) y averigüe cuál es el costo mínimo.
Solución: La ruta de la ciudad A a la ciudad B se divide en las dos categorías siguientes:
(1) Partiendo de la ciudad A a la ciudad B, pasando por la ciudad O, porque desde ciudad A Para llegar a la ciudad O,
El tiempo más corto requerido es 26 horas, y el tiempo más corto requerido desde la ciudad O hasta la ciudad b.
22 horas.
Por lo tanto, el tiempo más corto requerido para este tipo de ruta es 26+22=48 (horas)...(5 minutos)
(2) Partiendo de la ciudad A a la ciudad B sin pasar por la ciudad o, this Al viajar de la ciudad A a la ciudad B, debes pasar por las ciudades C, D y E o por las ciudades F, G y H. El tiempo requerido es de al menos 49 horas... (10 minutos)
En resumen, de la ciudad A a El tiempo más corto para llegar a la ciudad B es de 48 horas, y la ruta que se toma es la siguiente:
A → F → O → E → B...(12 minutos)
El costo mínimo requerido es:
80×48×1.2=4608(yuanes)...(14 puntos)
Respuesta: El más corto La ruta para esta persona de la ciudad A a la ciudad B es A→F →O→E→B, el costo mínimo es 4608 yuanes...(15 puntos).
13B..Como se muestra en la figura, en △ABC, ∠ ACB = 90.
(1) Cuando el punto D está dentro de la hipotenusa AB, demuestra:.
(2) Cuando el punto D coincide con el punto A, ¿existe la ecuación del punto (1)? Por favor explique por qué.
(3) Cuando el punto D está en la línea de extensión de BA, ¿existe la ecuación del punto (1)? Por favor explique por qué.
Solución: (1) es DE⊥BC, y el pie vertical es e, que se deriva del teorema de Pitágoras.
Entonces.
Porque DE‖AC.
Por lo tanto...(10 puntos)
(2) Cuando el punto D coincide con el punto A, la ecuación en el subtérmino de (1) sigue siendo válida. En este momento, AD=0, CD=AC, BD=AB.
Entonces,.
Por lo tanto, la ecuación en el subtérmino de (1) se cumple...(13 puntos)
(3) Cuando el punto D está en la línea de extensión de BA, ( 1) La ecuación del subtérmino no se cumple.
Para DE⊥BC, la línea de extensión de BC está en el punto e, entonces
Y,
Por lo tanto... (15 puntos)
[Explicación] Siempre que la respuesta a la subpregunta (3) no sea verdadera (no se deducirán puntos si el motivo no está claro).
14B.. Se sabe que los números reales A, B y C satisfacen: a+b+c=2, abc=4.
(1) Encuentre el valor máximo y mínimo entre A, B y C
(2) Encuentre el valor mínimo.
Solución: (1) Sea A el mayor de A, B y C, es decir, a≥b, a≥c. De esto podemos ver que a & gt0,
.y b +c=2-a,.
Entonces byc son dos raíces reales de una ecuación cuadrática, ≥0,
≥0, ≥0. a ≥ 4...(8 puntos)
Cuando a=4, b=c=-1, se cumple el significado de la pregunta.
Por tanto, el valor mínimo del valor máximo entre A, B y C es 4... (10 puntos).
(2) Porque abc y gt0, A, B y C son todos mayores que 0 o uno más dos menos.
1) Si A, B y C son todos mayores que 0, entonces de (1) se puede ver que el mayor entre A, B y C no es menor que 4, lo cual es inconsistente con a+b+c=2.
2) Si cualquiera de A, B y C es positivo y dos son negativos, sea A > 0, b & lt0, c & lt entonces, 0
,
Se puede ver en (1) que a≥4, entonces 2a-2≥6. Cuando a = 4, b = c = -1, se cumplen las condiciones para plantear el problema y se mantiene el signo igual de desigualdad. Por tanto, el valor mínimo es 6...(15 puntos).
13A..Como se muestra en la figura, la longitud del diámetro ⊙O es la raíz entera más grande de la ecuación cuadrática alrededor de x (k es un número entero). P es un punto fuera de ⊙ o, y la tangente PA y la secante PBC de ⊙O pasan por el punto P, donde A es el punto tangente y los puntos B y C son las intersecciones de la recta PBC y ⊙O
Solución: Sean las dos raíces de la ecuación,,≤. Se obtiene de la relación entre raíces y coeficientes.
- ①, - ②
Por la pregunta y ①, sabemos que es un número entero. De ①, ②, eliminando k, obtenemos,
.
Se puede ver en la fórmula anterior que cuando k = 0, la raíz entera más grande es 4.
Entonces el diámetro de ⊙O es 4, por lo que BC≤4.
Porque BC = PC-Pb es un entero positivo, entonces BC=1, 2, 3 o 4...(6 puntos)
Conecta AB y AC porque ∠PAB= ∠ PCA, entonces PAB∽△PCA,
Por lo tanto, ③...(10 puntos)
(1) Cuando BC=1, se deriva de ③, entonces, a ¡contradicción!
(2) Cuando BC=2, se deriva de ③, ¡así que es una contradicción!
(3) Cuando BC=3, se obtiene de ③, entonces,
Debido a que PB no es un número complejo, solo es posible.
, ,
Resolver.
Esta vez.
(4) Cuando BC=4, se deriva de ③, por lo que es contradictorio.
En resumen...(15 puntos)
14A..Hay unos números en la circunferencia del círculo.
Si hay cuatro números A, B, C y D conectados en secuencia y la desigualdad > 0, entonces las posiciones de b y c se pueden intercambiar. Esto se llama operación.
(1) Si hay números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en la circunferencia del círculo en secuencia, pregunta: Los cuatro números A, B, C y D conectados en La secuencia en la circunferencia se ha procesado un número finito de veces. Finalmente, ¿puede ser todo ≤0? Por favor explique por qué.
(2) Si hay 2003 enteros positivos 1, 2, ..., 2003 en la circunferencia de pequeño a grande en el sentido de las agujas del reloj, pregunte: A, B, C, D están conectados en secuencia en la circunferencia ¿Son todos los números ≤ 0 después de un número finito de operaciones? Por favor explique por qué.
Respuesta: (1) La respuesta es sí. Las operaciones concretas son las siguientes:
....(5 puntos)
(2) La respuesta es sí. Supongamos que la suma de los productos de dos números adyacentes para este número de 2003 es P..... (7 puntos).
Al principio, = 1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1. Después de k (k≥0) operaciones, la suma de los productos de dos números adyacentes de estos 2003 números es. En este momento, si los cuatro números A y B están conectados uno tras otro en el círculo, es 0, es decir, A b+ CD > Ac+bd. Después de intercambiar las posiciones de byc, los dos números adyacentes de estos números de 2003 La suma de los productos es, y.
Así que para cada operación, la suma de los productos de dos números adyacentes se reducirá al menos en 1. Debido a que el producto de dos números adyacentes siempre es mayor que 0, después de un número finito de operaciones, debe haber ≤ 0... (15 puntos) para cuatro números cualesquiera conectados consecutivamente A, B, C, D.