Correspondencia proyectiva y transformación proyectiva de la geometría proyectiva
Utilice {p} para representar la secuencia de puntos en la línea recta L, donde p representa cualquier punto en la secuencia de puntos. Supongamos que S es un punto que no está en L, dibuje una línea recta p = SP, luego cuando P cambie en L, obtendremos una viga {p} centrada en S, que se llama proyección de la secuencia de puntos {p} , {p} se llama silueta de la viga {p}, y P y P se llaman elementos correspondientes (Figura 2).
Supongamos que S1 es un punto cuyo espacio no está en el plano {p}, y hacemos un plano π que pasa por S1 y P, podemos obtener el paquete de superficies {π} con SS1 como eje, que es {p } es la proyección de {p} es la silueta de {π}, y P y π son los elementos correspondientes (Figura 3). Después de una serie de proyecciones y siluetas, de una forma básica unidimensional a otra forma básica unidimensional, estas dos formas básicas se denominan correlaciones proyectivas, y la correspondencia entre sus elementos se denomina correspondencia proyectiva. Las dos transformaciones incluidas en la correspondencia proyectiva se denominan transformaciones proyectivas y son transformaciones recíprocas.
En el espacio, a través de la proyección y la silueta, el campo de puntos y el controlador de línea, el campo de línea y el controlador de superficie se pueden transformar entre sí, por lo que el campo de puntos, el controlador de línea, el campo de línea y el controlador de superficie también se pueden transformar en entre sí. En cuanto a otras transformaciones entre primitivas bidimensionales, como la transformación entre campos de puntos y campos de líneas, se pueden determinar mediante el método algebraico que se describe a continuación. De manera similar, las transformaciones entre formas básicas tridimensionales también deben realizarse algebraicamente. En resumen, puede haber correspondencias proyectivas y transformaciones proyectivas entre dos formas elementales bidimensionales o entre dos formas elementales tridimensionales.
Señala cómo establecer un sistema de coordenadas homogéneo en secuencia de puntos, campo de puntos, espacio de puntos, campo de líneas y espacio de superficie. De hecho, las coordenadas homogéneas (o proyectivas) se pueden establecer de cualquier forma básica en una, dos o tres dimensiones (ver coordenadas proyectivas). De esta manera, la correspondencia proyectiva o la transformación proyectiva se pueden representar mediante una transformación lineal homogénea de rango completo entre coordenadas homogéneas. Por ejemplo, (x) y () son las coordenadas homogéneas de dos campos de puntos, y la transformación proyectiva (x)→() puede utilizar la transformación lineal homogénea de tres variables.
(2)
Donde det representa el determinante; ρ es una constante de proporcionalidad distinta de cero. Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos la ecuación de transformación inversa (x')→(x).
Una de las propiedades básicas de la transformación proyectiva es preservar la correlación, lo que significa que convierte elementos linealmente relacionados en elementos linealmente relacionados. Por ejemplo, la transformación (2) entre campos de puntos convierte una secuencia de puntos en una secuencia de puntos, es decir, una línea recta se convierte en una línea recta, por lo que también convierte un mazo de cables en un mazo de cables. Se puede ver que cada teorema que solo involucra correlación (como el teorema de Dezag) debe expresar una propiedad proyectiva, es decir, una propiedad que permanece sin cambios después de la transformación proyectiva. En otras palabras, este teorema es un teorema proyectivo.
Existe un teorema básico sobre la correspondencia proyectiva. Si unidimensional, bidimensional y tridimensional se resumen juntos, es decir, si un grupo de n + 2 elementos se especifica en la forma básica de dos N dimensiones (n = 1, 2, 3), cada n +1 en cada grupo Si todos los elementos son linealmente independientes, entonces existe una correspondencia proyectiva única entre las dos formas básicas, dando así dos conjuntos de elementos. De hecho, este teorema se aplica a correspondencias proyectivas de cualquier dimensión. Los llamados "linealmente independientes" se pueden ilustrar con ejemplos: dos puntos linealmente independientes no coinciden, tres puntos linealmente independientes no son colineales y cuatro puntos linealmente independientes no son coplanares.
La transformación proyectiva también puede actuar sobre el espacio ampliado, pero después de la transformación proyectiva, los elementos infinitos pueden convertirse en elementos no infinitos y los elementos no infinitos pueden convertirse en elementos infinitos (por ejemplo, los planos paralelos pueden convertirse en no infinitos). elementos paralelos, no infinitos) Los planos paralelos pueden volverse paralelos). Por lo tanto, las transformaciones proyectivas no son completamente uno a uno en el espacio afín o euclidiano no expandido.