Subgeometría de la geometría proyectiva
En aras de la simplicidad y la claridad, el grupo proyectivo que se menciona a continuación es un grupo directo, y la transformación proyectiva se refiere a una transformación directa, que analiza principalmente la situación en el plano.
En el plano afín extendido, la transformación proyectiva que mantiene la línea recta infinitamente larga □0=0 sin cambios es una transformación afín, que está representada por coordenadas no homogéneas. La ecuación de la transformación afín puede ser. escrito de la siguiente manera.
□ (8) El grupo afín formado por todas las transformaciones afines es un subgrupo del grupo proyectivo. Las transformaciones afines siguen siendo paralelas.
Toma dos puntos imaginarios conjugados □ 1 (0, 1, I) y □ 2 (0, 1, -I) en la recta infinita del plano afín extendido, donde i2=-1. La transformación afín que mantiene el par de puntos □1, I2 (es decir, □, □0=0) sin cambios se llama transformación de similitud. Sus ecuaciones se pueden escribir en la forma de (8), pero (□□□) es; una matriz cuadrada ortogonal Multiplica por una constante: □ Todas las transformaciones de similitud forman un grupo de similitud (también llamado grupo euclidiano o grupo métrico), que es un subgrupo del grupo afín y un subgrupo del grupo proyectivo. Con estos dos puntos □ 1 y □ 2, podemos usar el método proyectivo para introducir los conceptos de distancia y ángulo en el plano (ver forma absoluta), y transformar cada figura en una figura similar mediante transformación de similitud, es decir, todos La longitud cambia proporcionalmente, el ángulo sigue siendo el mismo. En este momento, el plano ampliado se puede llamar plano euclidiano ampliado y todos los círculos en él pasan por □1□, □2. Estos dos puntos se llaman puntos infinitos.
En la transformación de similitud, si los coeficientes □□□ forman un cuadrado ortogonal (es decir, □□ = 1), se llama transformación congruente (o movimiento donde det (□□□)); = 1 se llama Para el movimiento normal, det(□□=-1 se llama movimiento anormal. Este último es el producto del movimiento normal y la reflexión en líneas rectas. La transformación congruente convierte cada gráfica en una gráfica que es congruente con la gráfica original. Los grupos de transformación congruencial (o grupos cinemáticos) son subgrupos de grupos proyectivos, grupos afines y grupos de similitud.
Dado un espacio □ y un conjunto de transformaciones que actúan sobre él, podemos determinar qué propiedades gráficas en □. En □ si □ 1 es □ la geometría proyectiva y la geometría afín pertenecen al grupo proyectivo y al grupo afín a su vez, mientras que la geometría euclidiana puede considerarse como un grupo similar, pero en parte congruente porque estudia figuras similares y figuras euclidianas. la geometría es una subgeometría de la geometría afín, y tanto ella como la geometría afín son subgeometría de la geometría proyectiva porque estudia las propiedades métricas de los gráficos (longitud, ángulo, área, ...), también se llama geometría métrica; <. /p>
Cuanto más grande es el grupo, menor es la invariancia y más fuerte es la universalidad. Cuanto más pequeño es el grupo, más ricas y específicas son las propiedades invariantes. De esta manera, podemos comprender la relación entre diferentes. grupos. La relación entre diferentes figuras geométricas.
Los gráficos en el espacio también se pueden clasificar según grupos de transformación: todos los gráficos que se pueden transformar entre sí mediante transformaciones se clasifican en la misma clase de equivalencia. Los rangos (es decir, cónicas que contienen puntos reales) son equivalentes en proyección, es decir, pertenecen a la misma clase de proyección, pero se dividen en tres clases afines: aquellas que no se cruzan con infinitas rectas (en puntos reales). una elipse, la tangente es una parábola, y la que intersecta en dos (puntos reales) es una hipérbola. Las curvas cuadráticas en cada clase afín se pueden dividir en innumerables clases métricas, por ejemplo, todas son elipses, la longitud de; los dos semiejes si las proporciones son diferentes, no son similares. Si las longitudes de los dos semiejes no son iguales, no son iguales.
Dos geometrías no euclidianas, es decir, elípticas. la geometría y la geometría hiperbólica son subgeometría de la geometría proyectiva, todas las transformaciones proyectivas que transforman curvas cuadráticas virtuales en sí mismas forman un subgrupo del grupo proyectivo, llamado grupo elíptico (dinámico), la geometría que le pertenece es geometría elíptica, y el plano proyectivo con curvas cuadráticas invariantes se llama plano elíptico. Por otro lado, la transformación proyectiva de la cónica real □ a sí misma y su interior (es decir, el conjunto de puntos de □) al interior también constituye un subgrupo de las. grupo proyectivo, llamado grupo hiperbólico (movimiento); la geometría que le pertenece es geometría hiperbólica; el interior de una curva cuadrática es un plano hiperbólico. Los conceptos de longitud y ángulo en el plano no euclidiano también se pueden introducir mediante proyectivo. métodos.
Otra subgeometría importante de la geometría proyectiva es la geometría de Minkowski. Todas las transformaciones proyectivas que convierten los pares de puntos (0, 1, 1) y (0, 1, -1) (es decir, □) en sí mismos constituyen el grupo de Lorentz, y la geometría que les pertenece es la geometría de Minkowski. La geometría proporciona una interpretación geométrica natural de la relatividad especial de cuatro dimensiones. La geometría de Minkowski es el espacio-tiempo de cuatro dimensiones (ver Espacio de Minkowski
Cada subgrupo del grupo proyectivo mencionado anteriormente tiene un gráfico invariante (algunos son imágenes virtuales), como □0 = 0 del grupo afín, □0 del grupo de similitud, □0 del grupo elíptico. etc. Este gráfico invariante se llama forma absoluta del subgrafo correspondiente.
Las teorías anteriores se pueden extender a espacios tridimensionales o incluso de dimensiones arbitrarias. En el espacio tridimensional, la forma absoluta de la geometría euclidiana es □□, llamada círculo virtual infinito porque todas las superficies esféricas del plano euclidiano ampliado pasan a través de él; Las formas absolutas de la geometría elíptica espacial, la geometría hiperbólica y la geometría de Minkowski están en orden.