Cómo entender el gran significado histórico de...
Una rama de la geometría.
En el siglo III a. C., el antiguo matemático griego Euclides utilizó algunos conocimientos geométricos bien conocidos como definiciones y axiomas, estudió las propiedades de los gráficos, derivó una serie de teoremas, formó un sistema deductivo y escribió el Elementos de la teoría geométrica que forman la geometría euclidiana.
En su sistema de axiomas, el más importante es el axioma de las paralelas. Diferentes interpretaciones de este axioma han llevado al surgimiento de la geometría no euclidiana.
Según los gráficos de la pregunta, se denominan "geometría plana" y "geometría sólida" en el plano o en el espacio respectivamente.
La geometría euclidiana se refiere a la geometría construida en base a los "Elementos de Geometría" de Euclides.
La geometría euclidiana en ocasiones también hace referencia a la geometría en el plano, es decir, la geometría plana.
La geometría euclidiana en el espacio tridimensional suele denominarse geometría sólida.
Para situaciones de alta dimensión, consulte Espacio euclidiano.
Matemáticamente, la geometría euclidiana es una geometría común en planos y espacios tridimensionales, basada en las suposiciones de puntos, líneas y superficies.
Los matemáticos también utilizan este término para referirse a geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares.
Descripción del axioma
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La descripción tradicional de la geometría euclidiana es un sistema de axiomas, y todas las "proposiciones verdaderas" están dadas por Probado por el axioma finito.
Los cinco axiomas de la geometría euclidiana son:
Dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una línea recta.
Cualquier segmento de recta se puede extender infinitamente hasta formar una línea recta.
Dado un segmento de línea arbitrario, puedes usar uno de sus extremos como centro y el segmento de línea como radio para hacer un círculo.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Si dos rectas cortan a una tercera recta y la suma de los ángulos interiores de un mismo lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas deben cortarse de ese lado.
El quinto axioma se llama axioma de las paralelas, el cual se puede derivar de la siguiente proposición:
Por un punto que no está en línea recta pasa una y sólo una recta recta que no corta a la recta.
El axioma de las paralelas es menos obvio que los otros axiomas.
Muchos geómetras han intentado demostrar este axioma utilizando otros axiomas, pero han fracasado.
En el siglo XIX, mediante la construcción de una geometría no euclidiana, se demostró que el axioma de las paralelas no se puede demostrar.
(Si eliminas el axioma de las paralelas del sistema de axiomas anterior, puedes obtener una geometría más general, es decir, geometría absoluta.
)
En Por otra parte, los cinco axiomas de la geometría euclidiana no están completos.
Por ejemplo, hay un teorema en esta geometría: cualquier segmento de recta es parte de un triángulo.
Utiliza el método habitual de construcción: tomando el segmento de recta como radio, tomando los dos extremos del segmento de recta como centro del círculo y tomando la intersección de los dos círculos como tercer vértice. del triángulo.
Sin embargo, sus axiomas no garantizan que los dos círculos se crucen.
Como resultado, se propusieron muchas versiones modificadas de sistemas de axiomas, incluido el sistema de axiomas de Hilbert.
Euclides también propuso cinco "conceptos generales" que también pueden usarse como axiomas.
Por supuesto, también utilizó posteriormente otras propiedades de la cantidad.
Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales.
Cosas iguales más cosas iguales siguen siendo cosas iguales.
Cosas iguales menos cosas iguales siguen siendo iguales.
Si una cosa coincide con otra, son iguales.
El todo es mayor que las partes.
El establecimiento de la geometría euclidiana
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La geometría euclidiana es la abreviatura de la geometría euclidiana y su fundador El hombre fue Euclides, el gran antiguo Matemático griego del siglo III a.C.
Antes de él, los antiguos griegos habían acumulado una gran cantidad de conocimientos geométricos y comenzaron a utilizar el razonamiento lógico para demostrar las conclusiones de algunas proposiciones geométricas.
El gran arquitecto geométrico Euclides dispuso las proposiciones geométricas de acuerdo con un sistema lógico basado en los materiales de "madera, piedra y ladrillo" preparados por sus predecesores, y construyó un imponente edificio geométrico. Escribió la gloriosa obra. "Elementos de la Geometría" en la historia de las matemáticas.
La publicación de este libro marcó el establecimiento de la geometría euclidiana.
Este trabajo científico es el libro de mayor distribución y uso.
Posteriormente fue traducido a varios idiomas, contando con más de 2.000 versiones.
Su aparición es un acontecimiento de gran alcance en la historia del desarrollo de las matemáticas y un hito en la historia de la civilización humana.
Durante más de dos mil años, este libro ha ocupado una posición dominante en la enseñanza de la geometría, y su estatus no ha cambiado hasta el día de hoy. Muchos países, incluida China, todavía lo utilizan como libro de texto de geometría.
Monumento Inmortal
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Euclides recopiló muchos de los primeros teoremas que no estaban conectados y no habían sido probados rigurosamente, y escribió el libro "Elementos de la Geometría" convirtió la geometría en un monumento inmortal basado en el razonamiento lógico.
Esta obra que hizo época está dividida en 13 volúmenes y 465 proposiciones.
Hay ocho volúmenes sobre geometría, incluida la geometría plana y la geometría sólida, que actualmente se enseñan en las escuelas intermedias.
Sin embargo, la importancia de los "Elementos" no se limita de ninguna manera a la importancia de su contenido o sus excelentes demostraciones de teoremas.
Lo realmente importante es un método llamado axiomática creado por Euclides en su libro.
Al demostrar proposiciones geométricas, cada proposición siempre se deriva de la proposición anterior, y la proposición anterior se deriva de la proposición anterior.
Esto no lo podemos deducir infinitamente, debemos partir de algunas proposiciones.
Estas proposiciones evidentes que se reconocen como punto de partida de los argumentos se denominan axiomas, como por ejemplo "dos puntos determinan una línea recta" que los estudiantes han aprendido.
Del mismo modo, existen algunos conceptos primitivos que no están definidos, como puntos y rectas.
En un sistema teórico matemático, utilizamos la menor cantidad posible de conceptos originales y algunos axiomas no probados, y utilizamos razonamiento lógico puro para convertir el sistema en un sistema deductivo. Este método es el método axiomático.
Euclidean utilizó este método.
Primero expuso los axiomas, postulados y definiciones, y luego demostró sistemáticamente una serie de proposiciones desde simples hasta complejas.
Con axiomas, postulados y definiciones como elementos, demostró por primera vez que la primera proposición es conocida.
Luego prueba la segunda proposición sobre esta base, y así sucesivamente hasta demostrar un gran número de proposiciones.
Sus maravillosos argumentos, su meticulosa lógica y su rigurosa estructura son sorprendentes.
Él entretejió con éxito teorías matemáticas dispersas en un sistema, desde supuestos básicos hasta las conclusiones más complejas.
Por lo tanto, en la historia del desarrollo de las matemáticas, se considera que Euclides fue la primera persona en aplicar con éxito y sistemáticamente el método axiomático, y su trabajo es reconocido como el primero en utilizar el método axiomático Build. Modelos de sistemas matemáticos deductivos.
Es en este sentido que los "Elementos de geometría" de Euclides tuvieron un impacto significativo y de gran alcance en el desarrollo de las matemáticas y establecieron un monumento inmortal en la historia del desarrollo de las matemáticas.
La perfección de la geometría euclidiana
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El método axiomático ha penetrado en casi todos los campos de las matemáticas y ha tenido un profundo impacto en la desarrollo de las matemáticas. La estructura axiomática se ha convertido en la característica principal de las matemáticas modernas.
Los elementos geométricos, como el primer modelo para completar una estructura axiomática, todavía tienen muchas deficiencias en el rigor lógico cuando se miden con estándares modernos.
Por ejemplo, un sistema de axiomas tiene algunos conceptos primitivos (o conceptos indefinidos), como puntos, líneas y superficies.
Euclide definió todos estos, pero las definiciones en sí son vagas.
Además, su sistema de axiomas es incompleto y muchas pruebas deben confiar en la intuición.
Además, los axiomas individuales no son independientes, es decir, pueden derivarse de otros axiomas.
Estos defectos fueron corregidos en 1899 cuando el matemático alemán Hilbert publicó su "Geometría Fundamental".
En esta obra maestra, Hilbert estableció con éxito un sistema completo y riguroso de axiomas geométricos euclidianos, el llamado sistema de axiomas de Hilbert.
El establecimiento de este sistema ha convertido la geometría euclidiana en un sistema geométrico muy completo, riguroso y con una estructura lógica.
También marcó el fin de la perfección de la geometría euclidiana.
La importancia de la geometría euclidiana
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La geometría europea, debido a su vívida intuición y su riguroso método de deducción lógica, se ha convertido en una buena Material didáctico para cultivar y mejorar la capacidad de pensamiento lógico de los adolescentes en la práctica a largo plazo.
No sé cuántos científicos a lo largo de la historia se han beneficiado del estudio de la geometría y han hecho grandes contribuciones.
Cuando era adolescente, Newton compró una copia de Geometry en un club nocturno cerca de la Universidad de Cambridge. Al principio, pensó que el contenido del libro no excedía el alcance del sentido común, por lo que no lo leyó en serio, sino que estaba muy interesado en la "Geometría coordinada" de Descartes y lo leyó con atención.
Más tarde, Newton suspendió el examen de beca en abril de 1664. El Dr. Barrow, el examinador en ese momento, le dijo: "Debido a que tu conocimiento básico de geometría es tan pobre, no puedes hacerlo por mucho que lo intentes". Esta conversación sorprendió mucho a Newton.
Luego, Newton estudió los "Elementos de la Geometría" de principio a fin, sentando una sólida base matemática para futuros trabajos científicos.
Einstein, la superestrella científica de la física moderna, también era un científico que dominaba la geometría y utilizaba métodos de pensamiento geométrico para crear su propio trabajo de investigación.
Cuando Einstein recordó el camino que había recorrido, mencionó específicamente que cuando tenía doce años, "la claridad y confiabilidad de la geometría dejaron en mí una impresión indescriptible".
Más tarde , el método del pensamiento geométrico realmente inspiró su trabajo de investigación.
Ha propuesto repetidamente que en la investigación física el razonamiento lógico también debería realizarse basándose en varios supuestos básicos de los llamados axiomas.
En la teoría especial de la relatividad, Einstein utilizó esta forma de pensar para basar toda la teoría en dos axiomas: el principio de la relatividad y el principio de la velocidad constante de la luz.
En la historia del desarrollo de la geometría, los "Elementos" de Euclides jugaron un papel histórico importante.
Este papel se reduce a un punto, que es proponer los "fundamentos" de la geometría y su estructura lógica.
En sus Elementos utilizó cadenas lógicas para llevar la geometría de aquí a allá, algo que nunca antes se había hecho.
Sin embargo, en la larga historia del conocimiento humano, por muy brillantes que sean sus predecesores y las celebridades, es imposible resolver todos los problemas.
Debido a las limitaciones de las condiciones históricas, los problemas "básicos" de la geometría planteados por Euclides en "Elementos de geometría" no se han resuelto por completo y su sistema teórico no es perfecto.
Por ejemplo, la definición de línea recta es en realidad una definición desconocida que explica otra definición desconocida. Dicha definición no juega ningún papel en el razonamiento lógico.
Para otro ejemplo, Euclides utilizó el concepto de "continuidad" en el razonamiento lógico, pero nunca lo mencionó en "Elementos de geometría".
Métodos modernos
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La geometría euclidiana actual generalmente no se construye utilizando métodos axiomáticos, sino que se construye utilizando geometría analítica.
De esta manera, los axiomas de la geometría euclidiana (o no euclidiana) pueden demostrarse como teoremas.
Aplicaciones modernas
¡El siglo XXI utiliza principalmente la geometría europea! La geometría euclidiana se ha convertido en una geometría matemática obvia para la gente moderna.
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Otras respuestas*** 1 Hay un río mundialmente famoso en el noreste de África: el río Nilo.
Atraviesa el desierto del Sahara en el norte de África y desemboca en el mar Mediterráneo. Las estrechas franjas a ambos lados del estrecho se convierten en fértiles oasis.
Donde el río discurre aguas abajo nació Egipto, una de las civilizaciones más antiguas.
El Delta del Nilo es rico en una planta acuática llamada papiro.
Los antiguos egipcios cortaban los tallos de papiro en finas rodajas capa por capa y luego las pegaban una por una para hacer papel de escribir.
Muchos papiros del antiguo Egipto se han conservado hasta nuestros días y se han convertido en materiales preciosos para que podamos investigar la historia y la cultura de Egipto.
Los egipcios escribieron alrededor del 3500 a.C.
El papiro más antiguo conservado que registra el conocimiento matemático se encuentra ahora en el Museo Británico.
Este papiro fue escrito por Amós, que vivió entre el 1600 y el 1800 a.C.
Según él, el contenido de los papiros fue transcrito de documentos antiguos que datan del 2200 a.C.
En este papiro se encuentran descripciones de las fracciones y las cuatro operaciones de la aritmética, así como las reglas de medición.
El emperador del antiguo Egipto era llamado "Faraón", y la famosa pirámide era la tumba del Faraón.
Hoy en día, hay más de 70 pirámides repartidas por el sur del delta del Nilo.
La más grande de ellas es la Pirámide del Rey Qi: la torre tiene 146,5 metros de altura; cada lado de la base de la torre tiene aproximadamente 240 metros de largo y rodea la torre durante aproximadamente un kilómetro. Hay túneles, escalones de piedra y tumbas dentro de la torre.
La pirámide fue construida en el año 2800 a.C. y siguió siendo el edificio más alto del mundo durante más de 4.600 años antes de que se completara la Torre Eiffel en París el 18 de agosto.
¡Esto es realmente un milagro asombroso! En el proceso de construcción de estos enormes edificios, los antiguos egipcios acumularon una gran cantidad de conocimientos geométricos.
Imaginamos que antes de construir una pirámide hay que trazar un plano.
Se estima que este cuadro fue pintado sobre una tablilla de arcilla, y probablemente sea la primera planta plana del mundo.
A partir del análisis, el dibujante debe saber que el patrón y el edificio terminado, aunque de diferente tamaño, tienen la misma forma.
Se puede juzgar que los egipcios de aquella época dominaban el conocimiento de la proporción y la semejanza.
Después de dibujar el plano de la planta, se debe nivelar un gran espacio abierto y colocar las dimensiones reales en el suelo para preparar la construcción.
Los materiales de construcción son piedras grandes que pesan varias toneladas, y una pirámide requiere muchas de estas piedras.
En aquella época no se había inventado el transporte y no había carreteras dignas. Las piedras sólo podían transportarse en barco lo más cerca posible del Nilo y luego transportarse hasta el lugar sobre troncos.
Cada piedra debe ser cincelada previamente hasta darle una forma determinada.
Cada esquina de la piedra debe corregirse repetidamente hasta formar un ángulo recto con una escuadra en T o escuadra.
Luego, coloca una capa de piedras enormes como base.
La segunda capa debe ser más pequeña según una cierta proporción, y cada capa debe colocarse en el medio de la siguiente.
De esta forma, sumamos capa a capa, restamos por igual en todos los lados y finalmente nos encontramos exactamente en la parte superior de la torre.
Se necesitan cientos de miles de personas y millones de piedras enormes para construir una pirámide sin cometer ningún error. ¡Ves lo inteligentes que eran los antiguos egipcios al diseñar, calcular, medir y construir!
Cómo dibujar con precisión ángulos rectos fue probablemente el mayor problema que tuvieron que resolver los antiguos egipcios.
Debido a que la base de la pirámide debe ser un cuadrado estricto y las cuatro esquinas deben ser ángulos estrictamente rectos; no importa qué ángulo esté ligeramente desviado, todo el edificio se deformará.
En aquella época aún no se habían inventado los instrumentos de medición, ¡y no era fácil hacer un cuadrado con una circunferencia de un kilómetro!
Probablemente resolvieron este problema clavando primero dos estacas de madera en el suelo y luego tensando la cuerda entre las estacas de madera para dibujar una línea recta que se convirtió en el borde de la pirámide.
Luego, ata una cuerda a cada una de las dos estacas de madera. La longitud de la cuerda debe ser más de la mitad de la distancia entre las dos estacas de madera.
Tensa el extremo de la cuerda, gírala con la estaca de madera como origen y dibuja dos arcos que se crucen.
Dibuja otra línea recta que pase por la intersección de estos dos arcos. Cuando corta a la primera línea recta, el ángulo es un ángulo recto exacto.
Esta última línea recta es el otro borde de la base.
Entonces, para comprobar si un lado de una pared o roca está en posición vertical, ¿cómo se forma un ángulo recto en el aire? Los antiguos egipcios utilizaban con destreza la alineación del martillo.
Este método todavía se utiliza en la actualidad.
El martillo se balancea libremente, dibuja un arco en el aire y está en ángulo recto con el suelo cuando se detiene.
Si la pared puede ser paralela a la línea del martillo, es perpendicular al suelo.
Ahora bien, todos sabemos que la forma más sencilla de dibujar un ángulo recto es utilizar un triángulo rectángulo.
Sin embargo, esto primero debe formar un triángulo rectángulo.
Los antiguos egipcios utilizaban cuerdas para medir la tierra.
El trabajo de un anudador profesional es hacer nudos a intervalos iguales en la cuerda de medir.
Quizás fueron los primeros en descubrir los triángulos formados por tres cuerdas de una determinada longitud, siendo el ángulo correspondiente al lado más largo un ángulo recto.
Uno de ellos consta de tres, cuatro y cinco nudos equidistantes; el otro está equidistante de 5, 12 y 13 nudos.
Corta las tiras estrechas de madera a esta longitud y conéctalas de extremo a extremo para crear un triángulo rectángulo.
Con este triángulo será más fácil medirlo y dibujarlo después.
Un granjero construye su propia cabaña y puede decir: "Mi casa tiene seis escalones de largo, cuatro de ancho y el techo es un roble más alto que mi cabeza".
Diseño una gran pirámide arquitectónica. Ese no puede ser el caso.
Debido a que hay miles de trabajadores, los pasos de cada uno son diferentes a los de los gusanos de seda tussah.
Por lo tanto, especificaban la longitud de una determinada persona: se decía que cierta parte del cuerpo del rey era la unidad estándar y luego, basándose en esta unidad estándar, se elaboraban barras de madera o metal de una determinada longitud; hecho como una herramienta de medición universal.
Este es el primer gobernante.
En Egipto, la principal unidad de longitud es el codo, que es la longitud desde el codo hasta la punta del dedo corazón.
Las unidades más pequeñas incluyen: una regla de palma, que equivale a un séptimo de una regla de muñeca; una regla, que equivale a un cuarto de una regla de palma.
Estas pequeñas unidades fueron muy útiles porque a los egipcios de la época les costaba entender qué significaban las fracciones.
Hoy en día la gente está muy familiarizada con las fracciones, pero por costumbre a todo el mundo le gusta utilizar unidades pequeñas.
Por ejemplo, los británicos y los estadounidenses siempre dicen siete pulgadas, no siete doceavos de pie.
En nuestro país hay quien dice medio pie, pero nadie dice cinco décimas de pie.
Cada temporada de cosecha, los monjes egipcios cobraban impuestos a los agricultores.
Los agricultores entregan principalmente sus propios productos agrícolas y necesitan unidades de peso estándar para pesar mijo, aceite, vino, etc. El monto del impuesto está determinado por la cantidad de terreno, para lo cual es necesario medir la superficie del terreno.
El método para encontrar el área probablemente lo aprendieron los artesanos cuando comenzaron a colocar pisos de baldosas cuadradas.
Descubrieron que si un terreno tiene tres ladrillos de largo y tres de ancho, es necesario pavimentar nueve ladrillos (3×3); para pavimentar Quince ladrillos (3×5).
De esta forma, para calcular el área de cuadrados y rectángulos, basta con multiplicar el largo por el ancho.
El problema es que no todos los terrenos son cuadrados o rectangulares.
Algunos terrenos parecen tener aristas y esquinas, y la forma es muy irregular, que se puede dividir fácilmente en triángulos.
¿Cómo encontrar el área de un triángulo? De hecho, una vez que dominas las soluciones para las áreas de rectángulos y cuadrados, no es difícil encontrar el área de un triángulo.
Una pieza cuadrada de lino se puede doblar en dos triángulos iguales, cada uno de los cuales tiene exactamente la mitad del área del cuadrado.
Se estima que a partir de esta sencilla pista, los antiguos egipcios aprendieron a encontrar el área de un triángulo: multiplicar el largo por el ancho, y luego dividir por dos.
Creo que inspeccionar el terreno es mucho trabajo.
Debido a que la tierra de Egipto se distribuye principalmente a lo largo del río Nilo, el río comienza a desbordarse a mediados de julio de cada año, sumergiendo una gran cantidad de tierra, y no comienza a retroceder hasta noviembre.
Después de que las inundaciones retrocedieron, quedó una capa de limo fértil en los campos, lo que ayudó a los agricultores a lograr una cosecha excelente; pero las inundaciones arrasaron los límites de la tierra y la tierra tuvo que volver a medirse cada año.
Por ello, la gente suele atribuir el origen de la geometría en Egipto a la crecida del río Nilo.
En una gran cantidad de trabajos de medición, los egipcios definitivamente se topaban con la figura "círculo", difícil de entender.
Lo que les resulta difícil es que el círculo no se puede dividir en muchos triángulos. Cada triángulo es un triángulo estándar compuesto por tres líneas rectas.
Así que los antiguos egipcios creían que el círculo era una figura sagrada dada a la gente por Dios.
Hoy en día, todos estamos familiarizados con los círculos y tratamos con ellos todos los días, pero no es fácil comprender y dominar la naturaleza de los círculos.
La práctica trae el verdadero conocimiento.
Los primeros egipcios debieron dibujar un círculo enrollando una cuerda alrededor de una estaca de madera.
Usaron una cuerda larga para dibujar un círculo grande y una cuerda corta para dibujar un círculo pequeño. Sabían que el área de un círculo está determinada por la distancia desde la circunferencia al centro de la misma. círculo.
Esto es lo que solemos llamar radio.
Hace unos 3.500 años, cuando las pirámides se habían convertido en monumentos antiguos, un documento egipcio llamado Ahmet anotó esta regla: el área de un círculo es muy cercana al área de un cuadrado con una Radio lateral de 1, 3 y 1/7 veces.
¡Este fue un gran descubrimiento en su momento!
Me temo que nunca sabremos cómo se le ocurrió a Ahmet este método para calcular el área de un círculo. Sólo podemos suponer que probablemente utilizó el método de dibujar un triángulo.
Sus papiros ahora están montados en un marco exquisito y colgados en el Museo Británico de Londres.
Si bien los manuscritos en papiro diseminados en museos de todo el mundo pueden ayudarnos a comprender las matemáticas del antiguo Egipto, la mayor parte de la información existente se obtiene de estudios de edificios antiguos a lo largo del río Nilo.
Algunas pirámides miran exactamente al este, oeste, norte y sur en todos sus lados, lo que demuestra que los antiguos egipcios eran muy inteligentes a la hora de determinar las direcciones.
Es posible que hayan determinado el este, el oeste, el norte y el sur basándose en la sombra de un alto pilar de piedra.
Se encuentran las ruinas de un gran templo, del que aún hoy se conserva una hilera de pilares.
Durante los 365 días del año, sólo la luz del sol de la mañana del solsticio de verano puede brillar sobre esta hilera de pilares.
Cuenta los días en que el sol entra en el templo dos veces a lo largo de este pilar. Ésta es la duración de un año.
En cuanto a la medición del tiempo, los egipcios también determinaban el tiempo basándose en las posiciones y sombras del sol, la luna y las estrellas.
Sin embargo, eran mucho más avanzados que los cazadores y recolectores primitivos.
Cuando los primitivos veían sombras largas por la mañana, sólo podían decir: "¡Aún es temprano!". Los egipcios tenían una regla diaria. Mirando las sombras sobre las barras de madera escamosas, se podía decir: ". ¡Temprano en la mañana!" ¡Ha llegado la segunda hora! " "
A partir de entonces, la gente tuvo ciencia real.
Sin embargo, muchas imágenes que quedan en el antiguo Egipto muestran escenas ajetreadas del Dios que controla el día y la noche.
Parece que llevan una carga muy pesada de superstición y avanzan a tientas por el camino de la ciencia.