¡Geometría proyectiva! ! ! urgente
Introducción al desarrollo de la geometría proyectiva
En el siglo XVII, cuando salió la geometría analítica fundada por Descartes y Fermat, apareció otra geometría frente a la gente al mismo tiempo. Esta geometría está estrechamente relacionada con la pintura, y algunos de sus conceptos han atraído la atención de algunos estudiosos ya en la antigua Grecia. El surgimiento de la perspectiva durante el Renacimiento europeo preparó condiciones suficientes para el surgimiento y crecimiento de esta geometría. Esta geometría es geometría proyectiva.
A partir de las necesidades de la cartografía y la arquitectura, los geómetras griegos antiguos comenzaron a estudiar la perspectiva, es decir, la proyección y la silueta. Apolonio estudió el cono como parte de un cono recto ya alrededor del año 200 a.C. El teorema de Papus apareció en los escritos de Papus en el siglo IV.
Durante el Renacimiento, la gente daba gran importancia al arte de la pintura y la arquitectura, y trabajaban duro para estudiar cómo expresar gráficos físicos en una superficie plana. En ese momento, la gente descubrió que cuando un pintor dibuja un objeto en el lienzo, es como usar sus propios ojos como centro de proyección para proyectar la sombra del objeto en el lienzo y luego dibujarlo. En este proceso, el tamaño relativo y la relación posicional de cada elemento en la imagen representada cambia, mientras que otros elementos permanecen sin cambios. Esto impulsó a los matemáticos a estudiar las propiedades de los gráficos bajo proyección central, lo que gradualmente produjo muchos conceptos y teorías nuevos que no estaban disponibles en el pasado, formando el tema de la geometría proyectiva.
La geometría proyectiva se convirtió verdaderamente en una materia independiente y una rama importante de la geometría, principalmente en el siglo XVII. A principios del siglo XVII, Kepler introdujo por primera vez el concepto de infinito. Posteriormente, dos matemáticos franceses, Gerard Desargues y Pascal, hicieron importantes contribuciones al establecimiento de esta disciplina.
Girard Desargues fue un matemático autodidacta. Había sido oficial del ejército en su juventud. Posteriormente estudió ingeniería y se convirtió en ingeniero y arquitecto. No estaba de acuerdo con hacer teoría por la teoría y estaba decidido a utilizar nuevos métodos para demostrar el teorema de la sección cónica. En 1639 publicó su obra principal "Un borrador preliminar sobre los resultados de la intersección de secciones cónicas y planos", en el que introdujo muchos conceptos geométricos nuevos. Sus amigos Descartes, Pascal y Fermat elogiaron sus obras, incluso Fermat lo consideró el verdadero fundador de la teoría de la sección cónica.
En su obra, Dishag consideraba la línea recta como un círculo de radio infinito y la tangente de una curva como el límite de la secante. Estos conceptos son la base de la geometría proyectiva. El teorema de Dishag que lleva su nombre: "Si dos triángulos corresponden a vértices que conectan * * * puntos, entonces los lados correspondientes cruzan * * * líneas y viceversa" es un teorema básico de la geometría proyectiva.
Pascal también hizo importantes contribuciones a los primeros trabajos sobre geometría proyectiva. En 1641, descubrió un teorema: "La intersección de tres pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una curva cuadrática". Este teorema se llama teorema del hexágono de Pascal y también es un teorema importante en geometría proyectiva. En 1658 escribió "La teoría de las cónicas", en la que muchos teoremas trataban sobre la geometría proyectiva. Dishag y He eran amigos y una vez lo instaron a investigar sobre la perspectiva y le sugirieron que simplificara muchas propiedades de las secciones cónicas en unas pocas proposiciones básicas como objetivo. Pascal aceptó estas sugerencias. Posteriormente escribió numerosos folletos sobre geometría proyectiva.
Pero estos teoremas de Decharg y Pascal sólo implican propiedades relevantes, no propiedades de medición (longitud, ángulo, área). Pero en su demostración utilizaron el concepto de longitud en lugar del método proyectivo estricto. No se dieron cuenta de que la dirección de su investigación conduciría a un nuevo sistema geométrico: la geometría proyectiva. Utilizan métodos sintéticos. Con el establecimiento de la geometría analítica y el cálculo, el método sintético dio paso al método analítico y se interrumpió la discusión sobre la geometría proyectiva.
El principal fundador de la geometría proyectiva fue Poncelet en el siglo XIX. Fue alumno de Gaspard Monge, el fundador de la geometría pictórica. Gaspard Monge inspiró a muchos de sus estudiantes a adoptar un enfoque integral en el estudio de la geometría. Debido a que el trabajo de Dishag y Pascal había sido descuidado durante tanto tiempo, no sabían mucho sobre el trabajo de sus predecesores y tuvieron que hacerlo todo de nuevo.
En 1822, Poncelie publicó el primer trabajo sistemático sobre geometría proyectiva. Fue el primer matemático en reconocer que la geometría proyectiva era una nueva rama de las matemáticas. Usó métodos geométricos para introducir puntos virtuales en el infinito, estudió la correspondencia polar y la utilizó para establecer el principio de dualidad. Más tarde, Steiner investigó métodos para generar figuras más complejas a partir de figuras simples y también introdujo el concepto de cónicas lineales. Para deshacerse de la dependencia del sistema de coordenadas del concepto de medición, Stout estableció un sistema de coordenadas de puntos en una línea recta mediante un dibujo geométrico, haciendo así que la relación cruzada sea independiente del concepto de longitud. Ignorando la necesidad del axioma de continuidad, su método para establecer un sistema de coordenadas no fue perfecto, pero dio un paso decisivo.
Por otro lado, se han logrado grandes avances en el estudio de la geometría proyectiva mediante métodos analíticos. Primero, Möbius creó un sistema de coordenadas homogéneo, clasificó las transformaciones en congruentes, similares, afines, directas y otros tipos, y dio una fórmula de medición para la relación de intersección de cuatro líneas en un mazo de cables. A continuación, Plucker introdujo otro sistema de coordenadas homogéneo y obtuvo la ecuación de una línea recta infinitamente larga en el plano y las coordenadas de un punto infinito.
También introdujo el concepto de coordenadas lineales, por lo que naturalmente obtuvo el principio de dualidad desde un punto de vista algebraico y obtuvo algunos conceptos sobre las curvas primas lineales generales.
En la investigación geométrica de la primera mitad del siglo XIX, el debate entre el método sintético y el método analítico fue extremadamente feroz; algunos matemáticos negaban por completo el método sintético y creían que no tenía futuro, mientras que algunos matemáticos negaban por completo el método sintético y creían que no tenía futuro. Algunos geómetras, como Schaller, Stordy y Steiner, insistieron en el método integral y rechazaron el método analítico. También hay algunas personas, como Peng Serie, que siempre utilizan el método integral para demostrar en sus trabajos, aunque admiten que el método integral tiene sus limitaciones y que el álgebra se utiliza inevitablemente en el proceso de investigación. Sus esfuerzos han formado un hermoso sistema de geometría proyectiva integral. ¿El método integral es realmente vívido y algunos problemas se demuestran directamente? ¿Yo? En 882, Pasch estableció el primer sistema deductivo riguroso de geometría proyectiva.
El desarrollo de la geometría proyectiva está estrechamente relacionado con el desarrollo de otras ramas de las matemáticas, especialmente después de que surgió el concepto de "grupo", que también se introdujo en la geometría proyectiva, lo que impulsó la investigación de esta. geometría.
Fue Klein quien utilizó grupos de transformación para conectar varias geometrías. Propuso este punto de vista en el "Programa de Erlangen" y consideró varias geometrías clásicas como subgeometría de la geometría proyectiva, dejando muy clara la relación entre estas geometrías. Este espectáculo tuvo un gran impacto. Pero algunas geometrías, como la geometría de Riemann, no pueden clasificarse en esta categoría. Posteriormente, Gatan et al. hicieron nuevas contribuciones al ampliar el método de clasificación geométrica.
Contenidos de la geometría proyectiva
En términos generales, la geometría proyectiva es una rama importante de la geometría. Es una ciencia que estudia la relación posicional de los gráficos y analiza la invariancia de los gráficos cuando los puntos se proyectan sobre líneas rectas o planos.
En geometría proyectiva, el infinito se considera el "punto ideal". Una recta normal más un punto en el infinito es una recta infinita. Si dos rectas en un plano son paralelas, entonces las dos rectas se cortan en un punto en el infinito de las dos rectas. Todas las rectas que pasan por el mismo punto en el infinito son paralelas.
Después de la introducción de infinitos puntos e infinitas líneas rectas, la relación de combinación original entre puntos ordinarios y líneas rectas ordinarias aún se mantiene. En el pasado, la restricción de que el punto de intersección solo se podía encontrar cuando las dos rectas. las lineas no eran paralelas desaparecieron.
Dado que las rectas que pasan por un mismo punto infinito son paralelas, se puede unificar proyección central y proyección paralela. Una proyección paralela puede considerarse como una proyección central a través del infinito. De esta manera, cualquier mapeo que mapee una figura a otra usando proyecciones centrales o paralelas puede denominarse transformación proyectiva.
La transformación proyectiva tiene dos propiedades importantes: primero, la transformación proyectiva cambia la secuencia de puntos en una secuencia de puntos, la línea recta en una línea recta y el conjunto de líneas en un conjunto de líneas. La combinación de puntos y rectas. líneas es la invariancia de la transformación proyectiva; en segundo lugar, bajo la transformación proyectiva, la relación cruzada permanece sin cambios. La relación cruzada es un concepto importante en geometría proyectiva, que puede usarse para explicar la correspondencia proyectiva entre dos puntos en el plano.
En geometría proyectiva, los puntos y las líneas rectas se denominan elementos duales, y "trazar una línea recta a través de un punto" y "tomar un punto en una línea recta" se denominan operaciones duales. En dos gráficos, si ambos están compuestos de puntos y líneas rectas, si cada elemento en un gráfico se reemplaza por su elemento dual y cada operación se reemplaza por su operación dual, el resultado será otro gráfico. Estas dos gráficas se llaman gráficas duales. El contenido descrito por una proposición trata únicamente de la posición de puntos, líneas y superficies. Cada elemento puede convertirse en su elemento dual, y cuando cada operación se convierta en su operación dual, se obtendrá como resultado otra proposición. Estas dos proposiciones se llaman proposiciones duales.
Este es el principio de dualidad único de la geometría proyectiva. En el plano proyectivo, si una proposición es verdadera, entonces su proposición dual también lo es. A esto se le llama principio de dualidad plana. De manera similar, en el espacio proyectivo, si una proposición es verdadera, entonces su proposición dual también lo es. Éste es el llamado principio de dualidad espacial.
El estudio de las propiedades de invariancia de las curvas cónicas bajo transformación proyectiva también es una parte importante de la geometría proyectiva.
En lo que respecta al contenido de la geometría, la geometría proyectiva
En 1872, el matemático alemán Klein propuso en la Universidad de Erlangen el famoso Plan de Erlangen. Se propone utilizar la transformación. grupos para clasificar la geometría, es decir, cada transformación puede formar un "grupo". En cada geometría se estudia principalmente la invariancia y la invariancia bajo la transformación correspondiente.