Contenidos de geometría proyectiva
En geometría proyectiva, el punto del infinito se considera el "punto ideal". Una línea recta euclidiana más un punto infinito es una línea recta en geometría proyectiva. Si dos líneas rectas son paralelas en un plano, entonces las dos líneas rectas se cruzarán en el punto infinito de las dos líneas rectas. Todas las rectas que pasan por el mismo punto en el infinito son paralelas.
Después de la introducción de infinitos puntos e infinitas líneas rectas, la relación de combinación original entre puntos ordinarios y líneas rectas ordinarias aún se mantiene. En el pasado, la restricción de que el punto de intersección solo se podía encontrar cuando las dos rectas. las lineas no eran paralelas desaparecieron.
Dado que las rectas que pasan por un mismo punto infinito son paralelas, se puede unificar proyección central y proyección paralela. Una proyección paralela puede considerarse como una proyección central que pasa por un punto en el infinito. De esta manera, cualquier mapeo que utilice proyección central o proyección paralela para mapear un gráfico en otro gráfico puede denominarse transformación proyectiva.
La transformación proyectiva tiene dos propiedades importantes: primero, la transformación proyectiva cambia una secuencia de puntos en una secuencia de puntos, una línea recta en una línea recta y un mazo de cables en un mazo de cables. La combinación de puntos y rectas. líneas es la invariancia de la transformación proyectiva; en segundo lugar, bajo la transformación proyectiva, la relación cruzada permanece sin cambios. La relación cruzada es un concepto importante en geometría proyectiva, que se puede utilizar para ilustrar la correspondencia proyectiva entre dos puntos planos.
En geometría proyectiva, los puntos y las líneas rectas se denominan elementos duales, y "trazar una línea recta a través de un punto" y "tomar un punto en una línea recta" se denominan operaciones duales. En dos figuras, si ambas están compuestas de puntos y rectas, si cada elemento de una figura se cambia a su elemento dual, y cada operación se cambia a su operación dual, se obtendrá la otra figura. Estas dos figuras se llaman figuras duales. El contenido descrito en una proposición trata únicamente de las posiciones de puntos, rectas y planos. Cuando cada elemento se cambia a su elemento dual y cada operación se cambia a su operación dual, el resultado es otra proposición. Estas dos proposiciones se llaman proposiciones duales. Punto Una línea recta pasa por... Una línea recta que conecta dos puntos La intersección de dos líneas rectas *** punto *** línea tangente punto tangente trayectoria envolvente... Este es el principio de dualidad exclusivo de la geometría proyectiva. En el plano proyectivo, si una proposición es verdadera, entonces su proposición dual también lo es. A esto se le llama principio de dualidad plana. De manera similar, en el espacio proyectivo, si una proposición es verdadera, entonces su proposición dual también es verdadera, lo que se denomina principio de dualidad espacial.
El estudio de las propiedades invariantes de las curvas cónicas bajo transformación proyectiva también es una parte importante de la geometría proyectiva.
En 1872, el matemático alemán F. Klein (Felix Klein) propuso en la Universidad de Erlangen el famoso "Plan de Erlangen", que proponía utilizar grupos de transformación para clasificar la geometría, es decir, para cualquier tipo de transformación. , todos sus componentes pueden formar un "grupo", y habrá una geometría correspondiente. En cada tipo de geometría, el estudio principal son las invariantes y la invariancia bajo la transformación correspondiente.