Fórmula de Taylor
f(x)= f(x .)+f '(x .)(x-x .)+f ' '(x .)/2! ? (x-x.)^2,+f''(x.)/3! ? (x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n! ? (x-x.)^n+Rn
Donde Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)! ? (x-X.) (n+1), donde ξ está entre X y X, este resto se llama resto lagrangiano.
(Nota: f(n) (x.) es la derivada de orden n de F (x.), no el producto de f(n) y x.)
Prueba: Sabemos que f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α (el teorema del incremento finito derivado del teorema del valor medio de Lagrange es lim δ x→ 0f (x.+ δ x)-f (x.) = f' (x.) δ x), donde está el error. Por lo tanto, necesitamos un polinomio que sea lo suficientemente preciso para estimar el error:
p(x)=aa1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x. )^ n
Aproxima la función f(x) y escribe la expresión específica de su error f(x)-P(x). Supongamos que la función P(x) satisface p (x.) = f (x .), p' (x.) = f' (x .), p' (x.) = f'' (x .), . ., p (n) (x.) = f (n). Obviamente, P(x.)=A0, entonces A0 = F(x.); P'(x.)=A1, a 1 = f '(x.); A2, A2=f''(x.)/2! ...P(n)(x.)=n! An, An=f(n)(x.)/n! . Hasta ahora, se han calculado los coeficientes de muchos términos, que son: p(x)= f(x .)+f '(x .)(x-x .)+f ' '(x .)/2! ? (x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n! ? (x-x.)^n.
A continuación, se necesita una expresión específica del error. Sea Rn(x)=f(x)-P(x), entonces rn (x) = f (x)-p (x) = 0. Entonces se puede concluir que rn (x.) = rn' (x.) = rn'' (x.) =...= rn (n) (x.) = 0. Según el teorema del valor medio de Cauchy, podemos obtener Rn(x)/(x-x .)(n+1)= Rn(x)-Rn(x .)/(x-x .)(n+1)-0 = Rn ' (ξ6544 ;Continúe usando el teorema del valor medio de Cauchy, Rn '(ξ1)-Rn '(x .)/(n+1)(ξ1-x .)n-0 = Rn ' '(9582)/n(n+) Rn(x) /(x-x .)(n+1)= Rn(n+1)(ξ)/(n+1)continuamente usando n+65438 donde ξ está entre x y x . )(x )= f(n+1)(x)-P(n+1)(x), porque P(n)(x)=n! An, n! 1)(x )=0, por lo que obtenemos RN(n+1)(x)= f(n+1)(x). En resumen, el resto rn(x)= f(n+1)(ξ). /(n. +1)! ? (x-x.)^(n+1). En términos generales, al expandir una función, X suele tomar un valor fijo y Rn(x) también se puede escribir como Rn.
Expansión de Maclaurin: Si la función f(x) tiene una derivada de orden hasta n+1 en el intervalo abierto (a, b), cuando la función está en este intervalo, se puede expandir a una función sobre x La suma de un polinomio y un resto:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2! ? x^2,+f'''(0)/3! ? x^3+……+f(n)(0)/n! ? x^n+Rn
Donde Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)! ? X (n+1), donde 0
demuestra que si quieres usar el polinomio p (x) = AA1X+A2X 2+ para aproximarte a la función f (x) ...+Anx N y consígalo Para la expresión específica del error, podemos reescribir la fórmula de Taylor en una forma más simple, es decir, la forma especial cuando x = 0:
f(x)=f(0)+f '(0)x +f''(0)/2! ? x^2,+f'''(0)/3! ? x^3+……+f(n)(0)/n! ? x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)! ? x^(n+1)
Dado que ξ está entre 0 y x, se puede escribir como θx, 0
Aplicación de la expansión de MacLaughlin:
1 , expande las funciones trigonométricas y=senx, y=cosx.
Solución: Según la tabla de derivadas: f(x) = sinx, f' (x) = cosx, f'' (x) =-sinx, f'' (x) =-cosx, f ( 4) (x) = sinx...
Esto lleva a la ley periódica. Calcular f(0)=0, f' (0) = 1, f'' (x) = 0, f'' (0) =-1, f (4) = 0...
Finalmente disponible: sinx = x-x 3/3! +x^5/5! -x^7/7! +x^9/9! -...(Esto está escrito en forma de una serie infinita.)
Del mismo modo, y=cosx también se puede expandir.
2. Calcula el valor aproximado e = lim x→∞ (1+1/x) x.
Solución: Aplicar la expansión de maclaurin a la función exponencial y = e x, y descartar el resto:
e^x≈1+x+x^2/2! +x^3/3! +……+x^n/n!
Cuando x=1, e≈1+1+1/2! +1/3!+……+1/n!
Si n=10, se puede calcular el valor aproximado e≈2.7182818.
3. Fórmula de Euler: e ix = cosx+isinx (I es la raíz de -1, que es la unidad imaginaria).
Demostración: Esta fórmula escribe números complejos como exponentes de potencia, lo que en realidad se demuestra usando la expansión de Maclaurin o la serie de Maclaurin. No escribiré el proceso en detalle, pero hablemos primero de la idea: primero expanda la función exponencial e z y luego escriba z en cada término como ix. Debido a la periodicidad potencial de I, los términos que contienen tierra I en los coeficientes se pueden escribir juntos usando métodos de multiplicación, división y distribución, y los términos restantes también se escriben juntos. Esta es exactamente la expansión de cosx, senx SINX. Luego multiplique sinx por el I sugerido para derivar la fórmula de Euler. Si estás interesado, puedes probarlo tú mismo.
Edite la expansión de Taylor en este párrafo.
El descubrimiento de E partió del cálculo diferencial. Cuando H se acerca gradualmente a cero, el valor calculado se acerca infinitamente a un cierto valor 2,71828..., y este valor fijo fue descubierto por primera vez por el famoso matemático suizo E. Euler. Le puso su nombre a este número irracional, con el prefijo e minúscula.
Calcule la derivada de la función logarítmica y encuentre que cuando a=e, la derivada de es 0, así que use e como base. el logaritmo es más razonable y se llama logaritmo natural.
Si la función exponencial ex es una expansión de Taylor, entonces
Coloque x=1 en la fórmula anterior.
Esta serie converge rápidamente, y el valor de e aproximado a 40 decimales es
Cuando la función exponencial ex se extiende al número complejo z=x+yi, se determina mediante la siguiente fórmula
A través de esta serie de cálculos, podemos obtener
A partir de esto, podemos derivar fácilmente el teorema de Demore, la fórmula del ángulo suma-diferencia de funciones trigonométricas, etc. .
Por ejemplo, z1 = x1+y1i, z2 = x2+y2i,
Por otro lado,
Entonces,
No sólo podemos demostrar que e es un número irracional, pero también es un número trascendental, es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Este resultado fue obtenido por Hermite en 1873.
a) Diferencia.
Considere una función discreta (secuencia) R, cuyo valor u(n) en n se denota como un. Generalmente escribimos esta función como OR (un). La diferencia de la secuencia U sigue siendo una secuencia, y su valor en n se define como
En el futuro, recordemos la simplicidad
(ejemplo): la secuencia 1, 4, 8, 7, 6, La secuencia diferencial de -2,... es 3, 4, -1, -1, -8. ...
Nota: Decimos que "serie" es "una función definida en puntos discretos". Esta afirmación era una mierda en la escuela secundaria, pero encaja aquí porque tiene una analogía completamente paralela a las funciones continuas.
Propiedades de los operadores en diferencias
(1) [llamados colectivamente lineales]
(ii) (constante) [teorema fundamental de las ecuaciones en diferencias]
㈢
Entre ellos, (n(k) se llama secuencia de permutación.
(4) se llama serie geométrica natural.
( iv) 'La secuencia diferencial (es decir, "función derivada") de la secuencia exponencial general (secuencia geométrica) es rn(r-1)
(2) y la integral
da uno. Números de serie (un). El problema de suma y división consiste en calcular la suma. Obtenemos los siguientes resultados importantes:
Teorema 1 (Teorema fundamental de diferencia y división) Si podemos encontrar una secuencia. (vn), Entonces
Las sumas y fracciones también tienen propiedades lineales:
a) Diferencia
Dada una función f, si el límite del cociente de Newton (o cociente de diferencias), entonces llamamos a este valor límite f la derivada del punto x0, denotado como f'(x0) o Df(x), es decir.
Si la derivada de f existe en cada punto de la región definida, se llama función diferenciable. La llamamos función derivada de f, pero operador diferencial.
Propiedades de los operadores diferenciales:
(1) [llamados colectivamente lineales]
(ii) (constante) [teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales]
p>
(3)Dxn=nxn-1
Dex = ex
(iv)'La función derivada de la secuencia exponencial general ax es
(b) Puntos.
Supongamos que f es una función definida en [a, b] y que el problema integral es calcular el área de sombra. Nuestro método es dividir [a, b]:
; en segundo lugar, tomar un punto de muestra [xi-1, Xi] para cada segmento pequeño, luego encontrar la suma aproximada y finalmente tomar el límite (sea; cada segmento pequeño La longitud se acerca a 0).
Si este límite existe, recordaremos que el significado geométrico es la zona de sombra.
(De hecho, la continuidad es "casi" una condición necesaria para la existencia de una integral).
El operador integral también tiene propiedades lineales:
Teorema 2 Si F es una función continua, existe. (De hecho, la continuidad también es una condición necesaria para la existencia de una integral).
Teorema 3 (Teorema fundamental del cálculo) Supongamos que F es una función continua definida en el intervalo cerrado [a, b], y queremos obtener la integral. Si podemos encontrar otra función G tal que g'=f, entonces
Nota: aunque las dos fórmulas (1) y (2) son analogías, hay una diferencia, es decir, tenga cuidado con la límite superior de la suma!
El Teorema 1 y el Teorema 3 anteriores básicamente hablan de diferencia y división. Diferencial e integral son dos operaciones recíprocas, al igual que la suma, la resta, la multiplicación y la división son operaciones recíprocas.
Todos sabemos que las operaciones de diferencias y diferenciales son mucho más sencillas que las operaciones de sumas, fracciones e integrales. El Teorema 1 y el Teorema 3 anteriores nos dicen que para calcular la suma y fracción de (un) y la integral de F, solo necesitamos encontrar otro (vn) y G para satisfacer G' = F (este es un problema de diferencia y diferencial ) y luego sustituya vn y G en los límites superior e inferior para obtener la respuesta. En otras palabras, podemos usar algo más simple.
a) Fórmula de expansión de Taylor
Existen analogías discretas y continuas respectivamente. Es un caso especial de la importante idea de "aproximación" en matemáticas.
La idea de la aproximación es la siguiente: dada una función F, queremos estudiar su comportamiento, pero F en sí puede ser complejo y difícil de manejar, por lo que intentamos encontrar una función G más simple que la haga "cerca" de F. y luego usamos G en lugar de F, nuevamente para simplificar la complejidad.
Dos preguntas: ¿Cómo elegir funciones simples y escalas aproximadas?
(1) En el caso de un mundo continuo, la idea de aproximación de la expansión de Taylor es seleccionar una función polinómica como una función simple y utilizar la "tangencia" local como escala de aproximación. Más específicamente, dada una función f que es diferenciable de orden n, necesitamos encontrar una función polinómica de orden n g tal que tenga "tangencia" de orden n con f en el punto x0, es decir, la respuesta es
Esta fórmula se llama expansión de Taylor de orden N de f en el punto x0.
G está muy cerca de F cerca del punto x0, por lo que usamos G para reemplazar localmente a F, por lo que podemos usar G para encontrar algunos comportamientos cualitativos locales de F, por lo que la expansión de Taylor es solo una aproximación local. Cuando F es una función suficientemente buena, también conocida como función analítica, F se puede expandir a una serie de Taylor, y esta serie de Taylor es igual a la propia F.
Vale la pena señalar que en el caso especial de la expansión de Taylor de primer orden, la gráfica de g(x)=f(xf'(x0)(x-x0)) es solo una línea que pasa por el punto ( La gráfica de x0, f(x0)) es una línea recta tangente a f. Por lo tanto, la importancia de la expansión de Taylor de primer orden de f en el punto x0 es que ya hemos utilizado el punto (x0).
Usar la expansión de Talor puede ayudarnos a hacer muchas cosas, como determinar los valores máximos y mínimos de funciones, encontrar aproximaciones de integrales y hacer tablas de funciones (como tablas de funciones trigonométricas, tablas logarítmicas). De hecho, podemos calcular "consistentemente" utilizando la idea de aproximación.
Muchas veces, notamos que elegimos funciones polinómicas como funciones de aproximación simple por una sencilla razón: entre muchas funciones elementales, como funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones polinómicas, etc. , desde un punto de vista aritmético, las funciones polinomiales son las más simples, porque para calcular el valor de una función polinómica, solo se requieren cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Otras funciones no son tan simples.
Por supuesto, desde otras perspectivas analíticas, existen otras funciones sencillas que resultan más útiles e importantes en algunos casos. Por ejemplo, los polinomios trigonométricos, combinados con algunas escalas de aproximación, nos dan expansiones en series de Fourier, que juegan un papel importante en las matemáticas aplicadas. (De hecho, la expansión de la serie de Fourier es una escala de aproximación con varianza mínima, que a menudo aparece en matemáticas avanzadas y también se usa en estadística).
Nota: tomando el caso especial de x0=0 como ejemplo, En este momento, la expansión de Taylor también se llama expansión de Maclaurin. Sin embargo, siempre que pueda expandir el caso especial y desee una expansión general de Taylor, simplemente haga la traducción (o sustitución de variables). Entonces solo podemos realizar la expansión de Taylor en el punto x=0 desde el principio.
(2) Para el caso discreto, la expansión de Taylor es:
Dada una secuencia, necesitamos encontrar una secuencia polinómica de grado n (gt) tal que gt y ft sean En Cuando t = 0, existe una "aproximación de diferencia" de orden n. La llamada aproximación de diferencia de orden 0 y orden n se refiere a:
La respuesta es que esta fórmula es la fórmula de Maclaurin en el caso discreto.
b) Analogía entre fórmula integral parcial y fórmula abeliana de suma parcial
(1) Fórmula integral parcial:
Supongamos u (x) y v (x) es continua en [a, b], entonces
(2) Fórmula de suma parcial abeliana:
Supongamos que (UN) y (V) son dos secuencias, por lo que Sn = U1+.. .+UN, entonces
Las dos fórmulas anteriores son la fórmula derivada de Leibniz D (uv) = (Du) v + u (Dv) y la fórmula de diferencia de Leibniz. Tenga en cuenta que una de las dos fórmulas de Leibniz es muy simétrica, mientras que la otra no lo es.
(D) Interés compuesto e interés compuesto continuo (esta también es la analogía entre discreto y continuo respectivamente)
(1) El problema del interés compuesto es este: hay un principal y0 , y la tasa de interés anual R, el interés se capitaliza anualmente. Pregunte acerca de la suma de capital e intereses yn después de N años = Obviamente, esta secuencia satisface la ecuación en diferencias yn+1=yn(1+r).
Según (2) de (C), sabemos que yn=y0(1+r)n es la fórmula del interés compuesto.
(2) Si el interés compuesto se considera M veces por año, la suma del capital y el interés después de T años está en el orden
, y se obtiene el concepto de interés compuesto continuo En este momento, la suma del capital y los intereses es La suma es y(t) = yoert.
En otras palabras, el principal y el interés en el momento t y y(t)=yoert son las soluciones de la ecuación diferencial y'=ry.
Como se puede ver en lo anterior, el problema de interés compuesto discreto se describe mediante ecuaciones en diferencias, mientras que el problema de interés compuesto continuo se describe mediante ecuaciones diferenciales. Para ecuaciones en diferencias lineales y ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el objetivo de resolver las ecuaciones es el principio de superposición, por lo que el método de solución tiene una analogía completamente paralela.
(e) Teorema de puntos y sumas múltiples de Fubini y teorema de integrales múltiples de Fubini (también una analogía entre discreto y continuo).
(1) Teorema de la doble suma de Fubini: Dada una serie de números (ars) con exponentes dobles, queremos sumar r = 1 a M, S = 1 a N (ars), entonces la suma puede obtenerse mediante: iluminar con R, luego con S (o viceversa). Es decir, tenemos.
(2) Teorema integral pesado de Fubini: supongamos que f(x, y) es una función integrable definida en, entonces
Por supuesto, hay varias variables que son iguales.
El concepto de integral de Lebesgue
(1) Caso discreto: Dada una secuencia (an), se debe estimar la suma. La idea de Lebesgue es que, independientemente del orden de los indicadores de datos en esta pila, solo dividimos las pilas según el tamaño de los valores, las dividimos en pilas del mismo valor y luego tomamos un valor de cada pila y lo multiplicamos por el número de la pila, obtenemos la suma total.
(2) Caso continuo: Dada una función f, necesitamos definir el área encerrada por la curva y=f(x) y el eje X de A a b.
Lebe La idea de la cuadrícula es dividir el dominio de sombra de F:
Reúna x con valores de función entre yi-1 e yi para convertirlo en 0, dividiendo así [a, b] en puntos de muestreo, suma aproximada.
Si el límite de la suma aproximada anterior existe, se llama integral de Lebesgue de f en [a, b].
El resto de la fórmula de Taylor
El resto de Taylor se puede escribir de las siguientes formas diferentes:
1. Resto de A'tun;
2. Resto de Shile Resto de Suiger-Michel-Roche;
3. Resto lagrangiano;
4. Resto de Cauchy;
5. Resto entero.
Acerca de Taylor
Brooke Taylor, matemática británica, una de las más destacadas representantes de la escuela newtoniana británica de principios del siglo XVIII, nació en Middlesex en agosto de 1865. de Edmonton. . Después de 1709, se mudó a Londres y obtuvo una maestría en derecho. Fue elegido miembro de la Royal Society en 1712 y se doctoró en derecho dos años después. Ese mismo año (1714) se convirtió en secretario de la Royal Society, pero dimitió cuatro años después por motivos de salud. En 1717 utilizó el teorema de Taylor para comprender las ecuaciones numéricas. Finalmente murió en Londres el 29 de febrero de 1731.
La principal obra de Taylor es "El método de los incrementos positivos y negativos" publicado en 1715. En el libro, expone el famoso teorema, el teorema de Taylor, que propuso por primera vez en una carta a su maestro (un matemático y astrónomo) en julio de 1712: donde V es el incremento de la variable independiente y es el número de flujos. Supone que z varía uniformemente con el tiempo, por lo que es una constante. La fórmula anterior se expresa en su forma moderna de la siguiente manera: Esta fórmula se desarrolla a partir de la fórmula de interpolación de Gregory-Newton y cuando x = 0, se denomina teorema de Maclaurin. En 1772, Lagrange enfatizó la importancia de esta fórmula y la llamó teorema fundamental del cálculo diferencial, pero Taylor no consideró la convergencia de la serie en su demostración, haciendo que la prueba fuera floja. Cauchy no completó este trabajo hasta la década de 1820.
El teorema de Taylor creó la teoría de las diferencias finitas, permitiendo que cualquier función de una variable se expandiera a una serie de potencias; al mismo tiempo, Taylor se convirtió en el fundador de la teoría de las diferencias finitas. Taylor también analizó la aplicación del cálculo a una variedad de problemas físicos, entre los que eran particularmente importantes los resultados de las vibraciones transversales de las cuerdas. Derivó la fórmula de la frecuencia fundamental resolviendo ecuaciones y fue pionero en el estudio de la vibración de las cuerdas. Además, este libro también incluye otros trabajos creativos en matemáticas, como discutir soluciones singulares a ecuaciones diferenciales ordinarias, estudiar problemas de curvatura, etc.
En 1715 se publicó otro famoso libro "La teoría de la perspectiva lineal", e incluso hubo una segunda edición de "Los principios de la perspectiva lineal" (1719).
Desarrolló su sistema de perspectiva lineal de forma muy estricta. Su contribución más destacada fue la introducción y utilización del concepto de "punto de fuga", que tuvo cierta influencia en el desarrollo de la cartografía fotogramétrica. Además, existe un legado filosófico publicado en 1793.