Cómo encontrar ángulos diédricos (cuanto más detallado, mejor)

Una recta en el plano divide el plano en dos partes. Cada parte se llama semiplano. La figura compuesta por dos semiplanos que parten de una recta se llama ángulo diédrico (esta recta). línea Las aristas se llaman diédricos y cada semiplano se llama cara diédrica). El tamaño del ángulo diédrico se puede medir por su ángulo plano. El ángulo plano del ángulo diédrico es de cuántos grados tiene el ángulo diédrico. Un ángulo diédrico cuyo ángulo plano es recto se llama ángulo diédrico recto.

Tomando como punto final cualquier punto de la recta común del ángulo diédrico, se trazan dos rayos perpendiculares a la recta común en los dos planos. El ángulo formado por estos dos rayos se llama ángulo plano. ángulo diédrico. El tamaño del ángulo diédrico se puede expresar mediante el ángulo plano.

Un ángulo diédrico cuyo ángulo plano es recto se llama ángulo diédrico recto.

La definición de dos planos son perpendiculares: si dos planos se cruzan y el ángulo diédrico que forman es un ángulo diédrico rectilíneo, se dice que los dos planos son perpendiculares entre sí.

0≤θ≤π (no menos de 0°, no más de 180°)

(Nota: Dado que el ángulo diédrico es una figura tridimensional en el espacio, podemos convertir 180° a 360 El otro lado de ° se considera 0°~180°)

Existen seis métodos comúnmente utilizados para calcular el ángulo plano del ángulo diédrico:

1 ¿Método de definición?: Tómelo en el punto del borde A y luego dibuje perpendiculares a través del punto A en el borde en dos planos. A veces también puedes dibujar las líneas verticales de los bordes en dos planos y luego dibujar la línea paralela de la otra línea vertical a través de uno de los pies verticales.

2. ¿Método del plano vertical?: Dibujar un plano perpendicular al borde, entonces el ángulo formado por la intersección del plano vertical y el ángulo diédrico es el ángulo plano del ángulo diédrico.

3. Teorema de proyección de área: El coseno de un ángulo diédrico es igual a la relación entre el área de un determinado semiplano proyectado sobre otro semiplano y el área del propio plano. Es decir, la fórmula cosθ=S'/S (S' es el área proyectiva, S es el área de la pendiente). La clave para utilizar este método es encontrar el polígono de pendiente y su proyección en el plano relevante de la figura, y sus áreas son fáciles de encontrar.

4. El teorema de las tres perpendiculares y su método inverso: primero encuentra la perpendicular de un plano, luego pasa el pie perpendicular para hacer la línea vertical del borde, conecta los dos pies perpendiculares para obtener el ángulo del plano. del ángulo diédrico.

5. Método vectorial: Calcula los vectores normales de los dos semiplanos respectivamente y obtenlos a partir de la fórmula del ángulo vectorial. El ángulo diédrico es el ángulo incluido o su ángulo suplementario.

6. Método de transformación: Encuentre un punto P en uno de los semiplanos α del ángulo diédrico α-l-β, y encuentre la distancia h de P a β y la distancia d de P a l, entonces arcsin(h/d) (el ángulo diédrico es un ángulo agudo) o π-arcsin(h/d) (el ángulo diédrico es un ángulo obtuso) es el tamaño del ángulo diédrico.

7. Método del teorema del coseno del ángulo triédrico: consulte las entradas relacionadas para obtener más detalles.

8. Método del teorema de los tres senos: consulte las entradas relacionadas para obtener más detalles.

9. Método de la distancia de rectas de diferentes caras: Sea el ángulo diédrico C-AB-D, donde AC y BD son rectas de diferentes caras y AC⊥AB, BD⊥AB (es decir , AB es una recta de diferentes caras) la perpendicular común de las rectas AC y BD). Supongamos AB=d, CD=l, AC=m, BD=n, y según

, encuentre el ángulo θ formado por rectas en diferentes planos. Para utilizar este método para encontrar θ, primero debes determinar si el ángulo diédrico es agudo u obtuso a partir de la imagen. Si es un ángulo agudo, toma el signo positivo; si es un ángulo obtuso, toma el signo negativo. Después de encontrar θ, si el ángulo diédrico es agudo, entonces el tamaño del ángulo diédrico es θ; si es un ángulo obtuso, entonces el tamaño del ángulo diédrico es π-θ;

Entre ellos, los puntos (1) y (2) se utilizan principalmente para encontrar el ángulo plano del ángulo diédrico según la definición, y luego utilizan las leyes del seno y el coseno del triángulo para comprender el triángulo. .

El ángulo diédrico se sitúa generalmente en la línea de intersección de dos planos, tomando los puntos adecuados, a menudo los puntos extremos y los puntos medios. Dibuja las perpendiculares de las líneas que se cruzan en los dos planos que pasan por este punto, y luego coloca las dos perpendiculares en un triángulo y considéralas. En ocasiones también es habitual hacer rectas paralelas entre dos perpendiculares para que formen un triángulo más ideal.

Método geométrico

(1) Determinar el ángulo plano del ángulo diédrico

A: Usar el punto medio de la base de un triángulo isósceles (incluido el equilátero) para calcular el ángulo plano;

B: usa la línea perpendicular de la superficie (el teorema de las tres perpendiculares o su teorema inverso) para hacer el ángulo plano;

C: usa la línea recta perpendicular al borde, haciendo que el borde El plano vertical se use como ángulo plano;

D: Use dos líneas paralelas sin ángulo diédrico de borde como ángulo plano.

(2) Demuestra que el ángulo es un ángulo plano

(3) Resume el cálculo del ángulo en triángulos