Demuestre: Los recíprocos de las longitudes de dos radios focales en una cuerda focal en una elipse suman un valor constante.

Supongamos que F es el foco, L es la directriz correspondiente y AB es la cuerda de foco. AP, BQ y FR son perpendiculares a L y los pies verticales son P, Q y R.

Basado en la definición de secciones cónicas, AF = e * AP, BF = e * BQ.

En el trapecio ABQP, si se conoce el ratio AF/BF, podemos encontrar:

FR = AF/AB * BQ + BF/AB * AP

= AF/(AF+BF) / e * BF + BF/(AF+BF) / e * AF

= 2AF*BF/(AF+BF) / e

Entonces 2/(e*FR) = 1/AF + 1/BF

Método 2: Utilice la fórmula de coordenadas polares: r = ep/(1-e*cosθ).

Los radios focales r1 y r2 corresponden respectivamente a θ y θ+pi

Entonces 1/r1 + 1/r2 = (1-e*cosθ)/ep + (1+e*cosθ) /ep = 2/ ep

p se define como la distancia del foco a la directriz, consistente con lo anterior