Categoría de evaluación de modelado matemático: modelo Topsis
Existe un tipo de problema muy común en la modelización matemática: la selección de la solución óptima, lo que se denomina problema de evaluación. Por ejemplo: Ctrip, Meituan y Fliggy, ¿cuál de las tres plataformas de viaje es más adecuada para que viajen los principiantes? ¿Cuál de Suzhou, Hangzhou o Nanjing es más adecuado para viajar al Dragon Boat Festival? Qué compañero de la clase ganó la beca, etc. Para tomar una decisión, primero necesita saber qué indicadores de evaluación existen. Siguiendo tomando como ejemplo la elección de un destino turístico, puede buscar artículos relevantes en CNKI o realizar una lluvia de ideas en grupo o utilizar los recursos de los motores de búsqueda de Internet para obtener los criterios. a tener en cuenta a la hora de elegir un destino turístico: paisajes, humanidades, aglomeración, etc. Calificar el plan en cada dimensión de los indicadores de evaluación, estableciendo una puntuación total de 5. "Arriba está el cielo y abajo están Suzhou y Hangzhou". Se puede decir que el paisaje de Suzhou y Hangzhou es muy bueno, por lo que reciben 5 puntos por el paisaje. En términos de cultura, Nanjing recibe 5 puntos por el paisaje. su rico patrimonio histórico como antigua capital de seis dinastías. Los datos de puntuación de cada plan en este tipo de pregunta de evaluación se dan por sí mismos en función de los datos, lo que es más adecuado para el proceso de jerarquía analítica. La obtención de una beca se puede evaluar en función de los puntajes en cada materia. Si los datos existen objetivamente, puede utilizar el método topsis que se menciona a continuación.
El método TOPSIS (Técnica de preferencia de orden por similitud con la solución ideal) se puede traducir como el método de clasificación de soluciones ideales aproximadas y, a menudo, en China se lo denomina método de distancia de solución superior e inferior. El método TOPSIS es un método comúnmente utilizado para la evaluación integral utilizando datos originales. Su principio básico es ordenar detectando la distancia entre el objeto de evaluación y la solución óptima y la peor solución si el objeto de evaluación está más cerca de la solución óptima. la peor solución al mismo tiempo. Si está lejos de la peor solución, es la mejor; de lo contrario, no es la mejor. Cada valor de índice de la solución óptima alcanza el valor óptimo de cada índice de evaluación. Cada valor de índice de la peor solución alcanza el peor valor de cada índice de evaluación. Tomando las becas como ejemplo, supongamos que obtener una beca solo está relacionado con sus puntajes en tres materias: chino, matemáticas e inglés. Sus puntajes son 80, 90 y 100, y sus mejores puntajes son 100, 100 y. 100, y tus peores puntuaciones son 50, 60, 50. Entonces, ¿la distancia entre usted y la solución óptima es?; la distancia entre usted y la peor solución es.
paso1: Indicador positivo.
Los indicadores específicos que se encontrarán durante la evaluación se pueden dividir en cuatro categorías ① Indicadores muy grandes, también conocidos como indicadores de beneficios. Cuanto mayor sea el valor, mejor, incluidos el rendimiento, los ingresos, etc. Indicadores muy pequeños, también conocidos como Es un indicador basado en costos, cuanto menor sea el valor, mejor, incluidos gastos, número de víctimas, etc. ③ Indicador intermedio, el valor tiene un punto óptimo intermedio, como cuanto más cerca esté el pH El valor es 7, mejor y cuanto más cerca esté la presión arterial de la presión arterial ideal (presión arterial sistólica de 120 mmHg, presión arterial diastólica (presión arterial diastólica de 80 mmHg), mejor ④Índice de tipo de intervalo, el valor es mejor dentro un intervalo. Por ejemplo, el tamaño de población óptimo de una ciudad está entre 10 y 12 millones (las cifras se utilizan sólo como ejemplos y no tienen importancia práctica).
Es necesario reenviar diferentes tipos de indicadores de acuerdo con diferentes fórmulas, es decir, todos los indicadores se convierten a tamaños extremadamente grandes.
La conversión muy pequeña es la más fácil, simplemente use max-x directamente. Si la variable x es un número positivo, también puede tomar el recíproco directamente. Por ejemplo, el costo máximo es 3000 y el costo correspondiente a la variable x es 1000. El valor convertido debe ser 3000-1000 = 2000, o tomar directamente el recíproco a 1/1000.
La fórmula de conversión intermedia es. Tomando como ejemplo el valor del pH, la solución óptima es 7. Un conjunto de datos tiene tres variables 7, 8 y 9, entonces , , . entonces . Tome i = 2, los datos originales son 8 y el bit convertido es 1- (8-7) / 2 = 1/2.
La conversión de intervalos es más complicada. Si { } es un conjunto de secuencias de indicadores intermedios y el mejor intervalo es [a, b], entonces la fórmula de reenvío es la siguiente:
Tomando como ejemplo la temperatura del cuerpo humano, los datos originales son 35,2, 35,8, 36,6, 37,1, 37,8, 38,4. El intervalo óptimo es 36 a 37, luego a=36, b=37, M=max(36-35.2, 38.4-37)=1.4. Sustituya en la fórmula anterior para obtener los datos convertidos.
paso 2: estandarización de la matriz directa
Suponiendo que hay n objetos para evaluar y m indicadores de evaluación directa, se puede construir una matriz directa. es la puntuación del primer objeto después del reenvío en el segundo índice de evaluación.
Denote la matriz normalizada como Z, entonces cada elemento en ella es igual al valor del elemento en la matriz correspondiente X dividido por la suma cuadrada del elemento en la columna, es decir,.
paso3: Calcular puntuaciones y normalizar
La matriz estandarizada de n objetos de evaluación y m indicadores de evaluación es la siguiente:
Defina el valor máximo como elemento en cada columna El conjunto de valores máximos
Defina el valor mínimo como el conjunto de valores mínimos de los elementos en cada columna
Entonces la distancia entre el i-ésimo objeto de evaluación y el El valor máximo es la distancia calculada entre j indicadores y el valor máximo. Suma posterior:
De manera similar, la distancia entre el i-ésimo objeto de evaluación y el valor mínimo es la suma después de calcular las distancias entre j indicadores y. el valor mínimo respectivamente:
Entonces, la distancia entre el i-ésimo objeto de evaluación y el valor mínimo es La puntuación no normalizada de i objetos de evaluación es, es decir, la distancia entre z y el valor mínimo dividido por la suma de la distancia entre z y el valor máximo y la distancia entre z y el valor mínimo. Debido a que la distancia no es negativa, es obvio que el valor está entre 0 y 1. Cuanto mayor sea el valor, mayor será el valor y más cerca de la solución óptima.
La puntuación después de la normalización es , que debería satisfacer .
La normalización y la estandarización tienen como objetivo esencialmente eliminar la influencia de las dimensiones. Como resultado, es más fácil comparar tamaños después de la normalización.
Después de obtener las puntuaciones de todas las soluciones, se recomienda mostrar visualmente las puntuaciones ordenadas y se puede utilizar Excel para dibujar un gráfico de columnas.
Como se muestra en la figura anterior, la opción 5 tiene la puntuación más alta, por lo que se debe seleccionar la opción 5.
El proceso anterior es el modelo de topsis básico. Este modelo tiene por defecto el mismo peso de todos los indicadores. El proceso de jerarquía analítica o el método de peso de entropía se pueden utilizar para determinar el peso del indicador y construir un modelo de topsis ponderado. .
Fuente de información:
La información anterior proviene de la estación b (propietario superior: intercambio de aprendizaje de modelos matemáticos)/video/BV1gJ411k7X4from=searchamp=6343799996011307859.
Gracias al propietario de Up por organizarlo. El video es muy detallado y adecuado para que los principiantes comiencen~