La hipótesis del continuo
La hipótesis del continuo significa que no hay otros números cardinales entre los números cardinales infinitos contables (como los números racionales) y los números cardinales reales incontables.
Para conjuntos finitos, puedes pensar en la cardinalidad como el número de elementos del conjunto.
Es imposible calcular el número de conjuntos infinitos. La gente define la cardinalidad de conjuntos infinitos estableciendo una correlación uno a uno.
Por ejemplo, todos los números naturales son conjuntos infinitos, y todos los números racionales también son conjuntos infinitos;
Porque los números racionales se pueden expresar como m/n (m y n son ambos enteros ), puedo usar 2 ^m x 3^n permite asignar números racionales a un subconjunto de todos los números naturales; por el contrario, todos los números naturales N se pueden asignar a N/1 (un subconjunto de números racionales);
Esto es Se puede demostrar que las bases de los números naturales y los números racionales son las mismas, y que las bases son infinitas contablemente.
Pero los números reales son incontables, podemos refutarlo;
Asumiendo que los números reales son contables, entonces podemos ponerlos en cola como números naturales,
Los números naturales los números se ponen en cola de la siguiente manera 1, 2, 3, 4,...n...
La cola de números reales es A1, A2, A3,...An...
Dado que los números reales se pueden escribir como decimales infinitos (a los decimales finitos se les pueden agregar ceros ilimitados), entonces la cola de números reales debe escribirse como:
A11 A12 A13...A1n.. .
A21 A22 A23... A2n...
A31 A32 A33...A3n...
...
An1 An2 An3...Ann...
...
p>
...
Entre ellos, A11 representa el el dígito más alto de A1, A12 representa el segundo dígito de A1, y así sucesivamente.
Ahora hago uno a mano. El número real Ak, sea Ak1≠A11, Ak2≠A22, Ak3≠A33...Akn. ≠Ann,
Entonces el número real Ak no es igual a todos los números reales en la cola, lo que significa que los números reales y los números naturales no se pueden establecer entre ellos. No se puede establecer un mapeo uno a uno, por lo que los números reales se dice que son incontables.
Mirando nuevamente la hipótesis del continuo, no hay otros números cardinales entre las bases de los números naturales y las bases de los números reales; Gödel y Cohen demostraron que la hipótesis del continuo y la teoría de conjuntos son independientes entre sí, es decir. Es decir, no importa quién comience, ninguno de los dos puede probar la exactitud del otro, pero muchas personas se muestran escépticas sobre la verdad de la hipótesis del continuo y han estado buscando axiomas que puedan reemplazarla.
El axioma de selección significa que si cualquier conjunto no vacío forma una familia de conjuntos, debe poder encontrar una manera de seleccionar un elemento de cada conjunto.
Al igual que la hipótesis del continuo, el axioma de elección es independiente;
Si no se utiliza el axioma de elección, muchas ramas de las matemáticas perecerán, e incluso la base teórica del cálculo desaparecerá. ser problemático;
Usar el axioma de elección producirá monstruos como la paradoja de Banach-Tarski (una bola cortada en pedazos finitos se puede volver a ensamblar en dos bolas del mismo tamaño que la bola original);
Por eso la gente siempre ha querido reemplazarlo, pero parece difícil en este momento.
Una introducción a los libros en este campo es la entrada especial en el Volumen de Matemáticas de la Enciclopedia de China;
Además, lo cubrirá un libro de texto universitario más completo de teoría de conjuntos;
Los libros especiales chinos incluyen "Continuum Hypothesis" de Zhang Jinwen (Liaoning Education Press) y "Axiom of Choice" de Zhao Xishun (People's Publishing House). Ambos libros suponen que usted ha estudiado lógica matemática y teoría de conjuntos. , y es mejor leerlos con especialización en matemáticas universitarias.