¿El Presidente del Gobierno español es elegido por el Parlamento?

Sí.

Según la Enciclopedia Baidu, el Primer Ministro de España es el jefe de gobierno del Reino de España. Como es habitual, tras las elecciones parlamentarias, el Rey de España convoca al líder del partido mayoritario, lo nombra Primer Ministro y autoriza la formación de un gabinete. El primer ministro propone una lista de miembros del gabinete entre los miembros de su partido y pide al rey que los nombre. Una vez que el rey acepta el nombramiento, el primer ministro puede formar un nuevo gabinete.