Método de diferencia de puntos de hipérbola en matemáticas de secundaria;
1
El maravilloso uso de la fórmula del método de diferencia de puntos en el problema de la cuerda del punto medio de una hipérbola
El problema de la cuerda del punto medio de una cónica La sección es un tipo de pregunta común en el examen de ingreso a la universidad. Las preguntas de opción múltiple, las preguntas para completar los espacios en blanco y las preguntas de respuesta son puntos calientes para las propuestas. Su
método general es: ecuaciones simultáneas de rectas y secciones cónicas, con ayuda del discriminante de las raíces de una ecuación cuadrática, la relación entre raíces y coeficientes,
punto medio coordenadas Resolver por método de fórmula y parámetro.
Si se conocen las coordenadas del punto de intersección (punto final de la cuerda) de la recta y la sección cónica, sustituir estos dos puntos en la ecuación de la sección cónica y hacer la diferencia entre los dos obtenidos ecuaciones
para obtener a y La fórmula relacionada con el punto medio de la cuerda
y su pendiente puede reducir en gran medida la cantidad de cálculos. A este método para marcar la diferencia lo llamamos
el "método de distribución"
, y su conclusión general se llama fórmula del método de distribución. Este artículo discutirá brevemente la utilidad de la fórmula del método de dispersión hiperbólica en el examen de ingreso a la universidad para beneficio de los lectores.
Teorema
En Hipérbola
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(
p>
a
b
), si la recta
l
Interseca a la hipérbola en dos puntos
M
y
N
, puntos
)
,
(
y
x
P
es el punto medio de la cuerda
MN
, la recta donde se encuentra la cuerda
MN
se encuentra
l La pendiente de
es
MN
k
, entonces
2
2
a
b
x
y
k
MN
.
Prueba: Supongamos
M
,
dos puntos Las coordenadas son
)
,
(
1
1
y
x
,
)
,
(
2
2
y
x
, entonces tenemos
)
2
(
.
1
)
1
(
p>
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
b
y
a
x
)
2
(
p>
)
1
(
, obtén
.
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
y
a
x
x
.
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
a
b
x
x
y
y
x
x
y
y
y
.
2
2
,
2
1
2
1
1
2
1
2
x
y
x
y<
/p>
x
x
y
y
x
x
y
y
k
MN
.
2
2
a
b
x
y
k
MN
De manera similar, en la hipérbola
1
2
2
2
2
b
x
a
y
(
a
>
b
>
), si la recta
l
p>interseca la hipérbola en dos puntos
M
y
N
,
punto
)
,
(
y
x
P
Es el punto medio de la cuerda
MN
, y la recta donde se encuentra la cuerda
MN
se encuentra
La pendiente de l
es
MN
k
, entonces
2
2
b
a
x
y
k
MN
.
Excelentes soluciones a problemas clásicos
Ejemplo
1
Hipérbola conocida
1
3
：
2
2
x
p>y
C
, punto pasado
)
1
,
p>2
(
P
Construir una línea recta
l
Hérbola de intersección
C
en
A
,
B
dos puntos
p>
2
(
1
.) Encuentra la cuerda
AB
La trayectoria del punto medio de p>M
;
(
2
) Si
P
es exactamente el punto medio de la cuerda
AB
, encuentra la recta
l
p>Ecuación
Solución:
(
1
)
p>
,
3
,
1
2
2
b
a
El enfoque es en el eje
y
Establece las coordenadas del punto
M
.ser
)
,
(
y
x
, dado por
2
2
b
a
x
y
k
AB
Obtener:
3
1
2
1
x
y
x
y
es ordenado:
.
3
2
3
2
2
2 p>
y
x
y
x
La ecuación de trayectoria requerida es
.
3
2
3
2
2
y
x
y
x
(
2
)
P
es exactamente el punto medio de la cuerda
AB
,
by
2
2
b
a
x
y
k
p>AB
Obtén:
,
3
1
2
1
AB
k
Eso es
.
3
2
AB
k
La ecuación de la recta
l
es
)
2
(
3
2
1
x
y
, es decir,
.
1
3
2
y
x
Ejemplo
2
Hipérbola conocida
2
2
：
2
2
y
x
C
y punto
).
2
,
1
(
P
(
1
) La pendiente es
k
La recta que pasa por el punto
P
l
y
C
Hay dos puntos *** comunes, encuentre el rango de valores de
k
;
(
2
) ¿Hay una cuerda que pasa por el punto
P
AB
tal que
¿El punto medio de AB
es
P
?
(
3
) Intenta juzgar con
)
1
,
1
(
Q
Si existe una cadena con el punto medio
.
Solución:
(
1
) La ecuación de la recta
l
es
)
1
(
2
x
k
y
, es decir
.
2
k
kx
y
Por
.
2
2
,
2
2
2
y
x
k
kx
y
Obtener
.
6
4
)
2
(
2
)
2
(
2
2
2
2
k
k
x
k p>
k
x
k
Línea recta
l
y
C
Hay dos puntos *** públicos,
obtener
.
)
6
4
)(
2
(
4
)
2
(
4
,
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
Solución:
k
p>＜
2
3
y
.
2
k
El rango de valores de k
es
).
2
3
,
2
(
)
2
,
2
(
)
2
,
(
(
2
) La ecuación estándar de la hipérbola es
.
2
,
1
,
1
2
2
2
2
2
b
a
y
x
Supongamos que hay una cuerda
AB
que pasa por el punto
P
, tal que
AB
El punto medio de p>es
P
, entonces
2
2
a
b
x
y
k
AB
Obtenemos:
.
1
,
2
2
k
p>
k
De (
1
) podemos saber que
1
k< Cuando /p>
, la recta
l
y
C
tienen dos puntos en común,
Existe tal cadena
.
En este momento, la ecuación de la recta la línea
l
es
.
1
x
y
3
(
3
) Supongamos
)
1
,
1
(
Q
es el punto medio de la cadena, entonces
2
>2
a
b
x
y
k
AB
Obtener:
.
2
,
2
1
k
k
De (
1
) podemos saber que,
2
k
, la recta
l
y
C
no Dos puntos en común,
Supongamos
)
1
,
1
(
Q
El acorde con el punto medio no existe
.
Ejemplo
3
Para pasar
)
,
2
(
M
Construye una línea recta
l
Interseca la hipérbola
1
：
2
2
y
x
C
y
A
,
B
Se conocen dos puntos
OB
OA
OP
(
O
es el origen de las coordenadas)
, encuentra el punto
P
ecuación de trayectoria de p>, y explica qué curva es la trayectoria
Solución: en la hipérbola
. 1
：
2
2
y
x
C
,
1
2
2
b
a
, céntrate en
x
En el eje
.
Supongamos que el acorde
AB
El punto medio es
Q
,
OB
. OA
OP
De la regla del paralelogramo:
OQ
OP
2
, es decir,
Q
es el punto medio del segmento de recta
OP
Punto de ajuste< Las coordenadas de /p>
P
son
)
,
<. p>(y
x
, entonces las coordenadas del punto
Q
son
2
,
2
y
x
.
Por
2
2
2
2
a
b
x
y
k
AB
Obtener:
1
4
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
Organizado:
.
4
2
2
x
y
x
Receta:
1
4
4
)
2
(
2
2
y< / p>
x
.
La ecuación de trayectoria del punto
P
es
1.
4
4
)
2
(
2 p>
2
y
x
, que está centrado en
)
,
2
(
, los ejes de simetría son el eje
x
y la recta
2
Hiperbola de x
Ejemplo
4.
Supongamos que el centro de la hipérbola
C
está en el origen, y tomamos la parábola
4
3
2
2
x
y
El vértice es el foco derecho de la hipérbola y la cuasi-parábola
La recta es la directriz derecha de la hipérbola
(I) Intenta encontrar la ecuación de la hipérbola
C<. /p>
;
(II) Sea la recta
:
2
1
l
y
x
cruza la hipérbola
C
en
,
A
B
Dos puntos, encuentre
AB
(III) Para un recta
1
:
kx
y
l
, ¿Existe tal número real?
k
, haga el punto de intersección de la línea recta
l
y la hipérbola
C
,
A
B
Acerca de heterosexual
líneas
4
:
'
ax
y
l
(
a
es una constante
)
Simetría, si existe, encuentra el valor de
k
; si no existe, explique el motivo.
Solución:
(I) está dada por.
2
2
3
4
y
x
tengo
)
3
2
(
3
2
2
x
y
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