¿Cómo encontrar el producto cruzado de estos dos operadores en mecánica cuántica?

Escriba el producto cruzado como ε_{abc} C_b C_c, _{abc} representa el índice inferior abc, y aquí se utiliza la convención de suma de Einstein, es decir, la suma de índices repetidos.

Entonces C_b= p_b eA_b, multiplicado por C_c, obtenemos: p _ b p _ C p _ b(eA _ C) (eA _ b)p _ C e 2a _ b _ C . y p son recíprocos, por lo que para el campo electromagnético es el campo de calibre abeliano, es decir, A y A. Al elegir la representación espacial, el operador de momento se puede escribir como -i h-bar D_b, y el símbolo diferencial parcial aquí no puede ser Cuando salga, use D para representarlo. De manera similar, el indicador inferior b es 1, 2 y 3, que representan tres direcciones.

Ahora encuentre que ε_{abc} p_b (eA_c) actúa sobre el estado ψ de la siguiente manera

-I h-barε_ { ABC } D _ b[(eA _ c)ψ ]=- I h-barε_ { ABC }[D _ b(eA _ c)]ψ-I h-barε_ { ABC }(eA _ c)D _ b(ψ)

Y ε_{ abc} ( eA_b)p_c actúa sobre el estado ψ y da:

-i h-bar ε_{abc} (eA_b)D_c(ψ)

Compara la primera fórmula después de signo igual Para el segundo término y la segunda fórmula, reemplace el indicador bc de ε_{abc} de la segunda fórmula con cb y asígnele un símbolo. Luego se eliminará el segundo término después de la suma y el signo igual de la primera fórmula. , entonces al final El resultado es:

-I h-barε_ { ABC }[D _ b(eA _ c)]=-I h-bar? × A= -i h-bar B

Para resumir, lo importante es que para cantidades conmutativas el producto cruzado es 0, pero para cantidades no conmutativas (esta pregunta se refiere al operador c ), el producto autocruzado El producto no dará 0.