Un grano de arena es un mundo: los principios matemáticos y el pensamiento filosófico detrás de él
En la década de 1770, Leeuwenhoek puso por primera vez muestras de saliva bajo un microscopio y descubrió un mundo desconocido de microorganismos que viven a nuestro alrededor: en nuestros cuerpos, en el agua que bebemos, en los alimentos que comemos. .
El conjunto de Mandelbrot es un objeto matemático conocido por su complejidad y belleza autosemejantes. Un vídeo en línea muestra varias áreas de la Colección Mandelbrot ampliadas continuamente durante el transcurso de una hora. De principio a fin, el área se magnifica en mayor medida de lo que se magnificaría un objeto de la unidad de longitud de Planck al tamaño de todo el universo. Sin embargo, no importa cuánto hagas zoom, los detalles contenidos en un fractal no tienen fin.
Los impresionantes patrones fractales del conjunto de Mandelbrot recuerdan la admiración de Charles Darwin por "la más bella y maravillosa de las infinitas formas" en "El origen de las especies".
He escrito antes sobre cómo la recursividad define a la humanidad. Nada es más sorprendente que acercarse a la Colección Mandelbrot y descubrir réplicas en miniatura de Mandelbrot que son miles o millones de veces más pequeñas que la Colección Mandelbrot original. Imagínese llegar a la meta de un maratón y encontrarse nuevamente en el punto de partida de la carrera en lugar de en la meta. Pudimos pensar recursivamente y darnos cuenta de que por mucho que ampliáramos el conjunto de Mandelbrot, nunca estaríamos cerca de agotar su infinita "profundidad".
Configuré el programa para ampliar cada vez que hacía clic en un cuadro que tenía el 20% del ancho y alto de la ventana original. Esto significa que cada clic sólo muestra el 4% de la ventana original. Esto forma una progresión geométrica y cada clic reducirá el área de visualización en un 96%.
Esto significa que después de 10 clics del ratón, lo que ves es una cien billonésima parte del área original. Mientras seguía haciendo clic, terminé limitado por la precisión del tipo de variable flotante doble en Java. Después de cierto punto, ya no puede dividir la pantalla en unidades más pequeñas. Esta limitación es simplemente el resultado del enfoque de programación; debo recordar que los fractales reales continuarán para siempre.
Cuando exploré, descubrí algunos lugares muy hermosos. Pero una vez que hice clic, las posibilidades de encontrar el mismo lugar nuevamente se volvieron escasas o nulas, como si me dijeran que encontrara un grano de arena en algún lugar de la Tierra.
A medida que profundizaba cada vez más en la Colección Mandelbrot, me sorprendió saber que cada filamento de la pantalla contenía un mundo tras otro. Lo que parecía una mota de polvo se convirtió en una compleja isla de espirales y zarcillos en un océano divergente. Tener tantos detalles en los objetos más pequeños me hace sentir pequeño y humilde. Pero también puso mis problemas en perspectiva. Al mirar los fractales, olvidé la trayectoria del tiempo y las preocupaciones mundanas ya no importaron.
El código utilizado para generar estas impactantes imágenes no es especialmente avanzado. La belleza y complejidad de estas imágenes no tiene nada que ver con una gran programación. Unas pocas líneas de código escritas en una o dos horas pueden ilustrar hechos increíbles ocultos en abstracciones matemáticas. Esto ilustra cuán útiles son las computadoras en la investigación matemática. En comparación, a continuación se muestra la primera imagen publicada de la colección Mandelbrot. Al mirar esta pintura, ¿quién podría haber imaginado la belleza y las complejidades que se esconden en su interior?
Al mismo tiempo, plantea la cuestión filosófica de qué constituye conocimiento en una disciplina. Un experimento de pensamiento epistemológico clásico plantea la cuestión de si uno aprende algo nuevo al experimentar un color (u otro fenómeno sensorial), o si simplemente comprende el mismo fenómeno desde una perspectiva mecánica o científica.
Antes de la llegada de los procesadores e interfaces gráficas modernos, los matemáticos todavía podían definir el conjunto de Mandelbrot y estudiar su comportamiento. Sin embargo, no pueden explorarlo ni visualizarlo como las CPU y GPU modernas. Si puedes comprender lo que realmente significan los números complejos, podrás comprender completamente el proceso detrás del conjunto de Mandelbrot.
Sin embargo, hay algo en él que va más allá de las analogías naturales. En la naturaleza, la única constante es el cambio. Este fractal, por otro lado, es inmutable: el mismo hoy que mañana, presentando su abstracción a cualquiera que tenga la tecnología para visualizarlo.
Esta imagen me recuerda una ilustración que vi una vez en El Paradiso de Dante, en la que el poeta finalmente vislumbra lo que buscaba en la Divina Comedia La belleza del cielo. Para algunos tipos de belleza, las palabras por sí solas no son suficientes, y Dante lo reconoce en su propia estrofa. Cuando las palabras no son suficientes, ocurren milagros.