El estado de desarrollo del análisis de Fourier
¿La serie de Fourier, especialmente la serie de funciones continuas de Fourier, necesariamente converge en todas partes? En 1876, P. D. G. Dubois-Raymond descubrió por primera vez que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en ciertos puntos. Posteriormente se demostró que la serie de Fourier de una función continua puede divergir en todas partes en un conjunto infinito de puntos. El hallazgo de este resultado negativo es un recordatorio de que se debe ser cauteloso respecto de la convergencia de las series de Fourier. Investigaciones adicionales llevaron a G.H. Hardy y F. (F.) Rees a establecer la teoría del espacio H en el círculo unitario. Estudiaron la función analítica acotada F(z) dentro del círculo unitario, donde 0
Describir clases de funciones con series de Fourier es un tema importante en el análisis de Fourier. La famosa fórmula de Pasheval y el teorema de Reese-Fisher reflejan las características de la clase de función l(0, 2π). Si P≠2, entonces existe el siguiente teorema de Hausdorff-Young. Supongamos que 1 < P≤2, p┡=p/(p-1), si ∈l(0, 2π) y Cn son coeficientes de Fourier complejos, entonces
Por otro lado, si {сn } ( -∞< n lt; ∞) es una secuencia compleja satisfactoria, entonces {сn} debe ser el coeficiente de Fourier de la función en, y. Entre las obras importantes anteriores a la década de 1950 también cabe mencionar muchas otras contribuciones de Hardy y Littlewood. Especialmente en la década de 1930, estudiaron las series de Fourier con máximas funciones y lograron profundos resultados. La función máxima es un operador y su definición es que la función máxima M () (x) es mayor que la función misma. Úselo para controlar ciertos operadores en el análisis de Fourier y lograr el propósito de estimar otros operadores.
Antes de la década de 1950, el campo de investigación del análisis de Fourier se limitaba básicamente al espacio concreto unidimensional. Después de la década de 1950, la investigación se expandió gradualmente al espacio abstracto multidimensional. Nombre de la teoría integral: Teoría integral singular de Calderón-Zangger
Debido al desarrollo de múltiples ramas de las matemáticas, como las ecuaciones diferenciales parciales, la teoría integral singular de Calderón-Zangger apareció en la década de 1950, lo que marcó el surgimiento de la teoría armónica. análisis Entró en un nuevo período histórico. Por ejemplo, cuando ∈l(Rn), la función derivada de segundo orden de la solución básica u(x) de la ecuación de Poisson δ u = se puede expresar como la siguiente integral singular bajo ciertas condiciones (como la continuidad de Lipα).
сn es una constante, sólo relacionada con la dimensión n. La integral (8) generalmente diverge en la integral de Lebesgue; tenga en cuenta que la integral de ω j (y) en la esfera unitaria s de r es 0; , y puede demostrar que la integral ϋ existe en el sentido de los valores principales de Cauchy y es continua en función de x, por lo que u(x) es la solución de la ecuación de Poisson.
Calderón y Zangmeng estudiaron las propiedades de una clase bastante extensa de operadores integrales singulares ⑼, en los que ω (y) es una función homogénea de orden cero con cierta suavidad y satisface las condiciones. Demostraron que el operador integral tiene acotación L (p gt1); utilizando estas propiedades, podemos obtener una "estimación previa" de la solución de una determinada ecuación diferencial.
Desarrollo moderno de la teoría del espacio H En la década de 1960, E.M. Stein y G. Weiss introdujeron el espacio H en la mitad superior del espacio, que es una generalización de n=1. Cuando n = 1, la función de valor límite de la función en el espacio h (p gt; 0) R = (-∞, ∞) existe en casi todas partes bajo la norma L. El espacio multidimensional definido por Stein y Weiss es obviamente una generalización del espacio unidimensional H (rì).
Naturalmente, la gente quiere preguntarse si las propiedades más básicas del espacio h(R) clásico, como la existencia de funciones de valor límite, todavía se conservan en espacios multidimensionales. Stein y Weiss descubrieron por primera vez que p gt(n-1)/n, la respuesta es sí, por ejemplo, demostraron que si F∈, p gt(n-1)/n, entonces está en casi todas partes y en el; El rango L existe en un sentido numérico. En 1964, Calderón y Zangemont utilizaron el concepto de gradientes de orden superior para relajar el espacio H p gt (n-1)/n a p gt0, pero su método era más complicado. Como el exponente P difiere, la coherencia de la definición del espacio H no está clara en ese momento.
A principios de la década de 1970, la teoría moderna del espacio H experimentó un desarrollo significativo. En 1971, D.L. Berkhold, R.F. Gundy y M.L. Silver Beer Band demostraron por primera vez que la función angular máxima de la parte real de F(x iy) es una condición necesaria y suficiente para el caso unidimensional. Más tarde, c. Fefferman y Stein ampliaron las características anteriores a múltiples dimensiones y señalaron además que cuando 0 no se denomina serie de Fourier (1), se denomina transformada de Fourier.
Las formas específicas de la serie de Fourier (1) y la integral de Fourier (10) son diferentes, pero ambas reflejan un hecho importante, es decir, descomponen la función en muchos componentes e(-∞< z lt ; ∞) o la suma de e (n=0, 1, 2,…). Por ejemplo, para la serie de Fourier (1), (x) se descompone en la suma de сne (n=0, 1, 2,...); la integral de Fourier ⑽ muestra que (x) se puede descomponer en infinito φ(z). )e(- ∞ . ⑾ Cuando es una función periódica con periodo 2π, g = (0, 2π), , la medida es la medida de Lebesgue sobre G = [0, 2π] , la cual es también la pregunta del coeficiente de Fourier (4); De hecho, desde la perspectiva del grupo, ya sea una función periódica o una función periódica, su dominio es un grupo topológico G. Es decir, G tiene una operación algebraica llamada operación de grupo, y la operación límite está coordinada con se llama topología G. La tarea de la serie de Fourier o integral de Fourier es estudiar la posibilidad de que una función (x) definida en G pueda descomponerse en la suma de muchas funciones "especiales" (como e o e) en un grupo, y por Fourier. Los coeficientes o transformada de Fourier estudian sus propias propiedades. Para el grupo topológico general G, ¿qué tipo de función "especial" es equivalente a {e} o {e}? Sustituyendo esta función "especial" x(t) en la fórmula ⑾, se debe determinar la medida μ en g para obtener la Transformada de Fourier, Estos son dos problemas básicos que deben resolverse para establecer la teoría del análisis de Fourier sobre grupos. Para el grupo lineal R=(-∞,∞), la particularidad de su función "especial" X(t)=E(-∞ De esta manera, el problema de encontrar funciones "especiales" adecuadas en el grupo abstracto general G se transforma en el problema de estudiar y encontrar todas las representaciones unitarias irreducibles en el grupo G. Para grupos compactos o grupos conmutativos compactos locales, los resultados del grupo La teoría de la representación es bastante rica, la investigación sobre las funciones "especiales" correspondientes también es relativamente madura. Para grupos topológicos que no son conmutativos ni compactos, encontrar funciones "especiales" correspondientes sigue siendo un problema difícil. El estudio de medidas sobre grupos topológicos es otro tema básico para establecer el análisis de Fourier sobre grupos, porque las integrales sobre grupos son inseparables de las medidas correspondientes. Tomando como ejemplo el grupo topológico compacto local aditivo R = (-∞, ∞), las principales características de la medida de Lebesgue clásica son: ① La medida de Lebesgue de cualquier conjunto compacto en R debe ser finita ② La medida de Lebesgue de cualquier mensurable; establecido en R La medida de Lebesgue es invariante a la traducción a la derecha (o izquierda). Naturalmente, la gente preguntará: ¿existe una medida (ahora llamada medida de Hal) con las condiciones ① y ② en el grupo topológico general? Si existe, ¿es único? Desde 1930, este problema ha sido discutido por A. Haar, A. Wei y I. м. Los esfuerzos de Gelfand y otros han demostrado que en grupos topológicos compactos locales, deben existir medidas de Hal que satisfacen las condiciones ① y ②, y solo difieren unas pocas veces. Por ejemplo, todos los números reales positivos cuya operación de multiplicación es un grupo forman un grupo topológico R, y su topología es la topología del espacio euclidiano, entonces la medida dμ=xdx es la medida de Hal en R. Esto se debe a que, para cualquiera, Esto demuestra que la medida dμ=xdx es invariante con respecto al desplazamiento. Si obtenemos además todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo R, se puede demostrar que todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo R son {x|-∞ La expresión "t" en la fórmula anterior es exactamente el clásico La llamada transformación de Merlin M (x) fue introducida por R.H. Merlin a finales de 1919 para estudiar las propiedades relevantes de las series de Dirichlet. Este caso especial muestra que el análisis de grupos de Fourier no solo unifica la transformada de Merlín en la transformada de Fourier, sino que, lo que es más importante, la introducción de la teoría de grupos hace que las conexiones intrínsecas ocultas detrás de algunos fenómenos sean más claras y profundas. A.Zygmund, Serie trigonométrica, 2ª ed. Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge, 1959. E.M. Stein, Integrales singulares y diferenciabilidad de funciones, Princeton University Press, Princeton, 1970. G.M.Stein y G.Weiss, "Introducción al análisis de Fourier de espacios euclidianos", Princeton University Press, Princeton, 1971. E.Hewitt y K.A.Ross, Abstract harmonicanalysvol 1 ~ 2, Springer-Verlag. Berlín, 1963.1970.