¡Acerca de demostrar que no existe una fórmula para encontrar raíces para polinomios de grado 5 o superior!
1. El establecimiento de la teoría de grupos de Galois
Cuando Galois demostró que no existe una solución raíz general para ecuaciones de quinto orden o superiores, se reunió con Lagrange el mismo día, partiendo de la sustitución de las raíces de la ecuación. Después de estudiar sistemáticamente las propiedades de permutación de las raíces de las ecuaciones, propuso algunos criterios definidos para juzgar si los radicales pueden encontrar soluciones a ecuaciones conocidas, pero estos métodos lo llevaron a considerar colecciones de elementos llamados "grupos" en la teoría algebraica abstracta. En su artículo de 1831, Galois propuso por primera vez el término "grupo" y llamó grupo a una colección de arreglos cerrados, definiendo el concepto de grupo de arreglos por primera vez. Él cree que comprender el grupo de permutación es la clave para resolver la teoría de ecuaciones. Una ecuación es un sistema cuya simetría puede describirse mediante las propiedades del grupo. A partir de entonces, comenzó a transformar problemas de teoría de ecuaciones en problemas de teoría de grupos para resolver, y estudió directamente la teoría de grupos. Propuso muchos conceptos nuevos sobre la teoría de grupos, lo que condujo a su propia teoría de grupos de Galois, por lo que las generaciones posteriores lo llamaron el fundador de la teoría de grupos.
Una ecuación de orden n (1) con coeficientes racionales x axn-1 a2xn-2... an-1x an=0
Supongamos sus n raíces x1, x2,. .., cada transformación de xn se llama permutación, n raíces**** tienen n! posibles permutaciones, sus conjuntos multiplicativos con respecto a la permutación forman un grupo, y este grupo es el grupo de permutación de las raíces. La solubilidad de una ecuación puede reflejarse en ciertas propiedades de los grupos de sustitución de las raíces, por lo que Galois transformó el problema de la solubilidad de ecuaciones algebraicas en un problema de análisis de las propiedades de los grupos de sustitución relevantes y sus subgrupos. Ahora, el grupo de sustitución asociado con una ecuación (que exhibe las propiedades de simetría de la ecuación) se llama grupo de Galois, es decir, el grupo en el dominio de los coeficientes de una ecuación dada. El grupo de Galois de una ecuación es el grupo de sustitución más grande que satisface este requisito para cada función polinómica raíz cuyo valor de función es un valor racional. En otras palabras, para cualquier función polinómica raíz que toma un valor racional, el grupo de Galois deja cada sustitución. el valor de la función sin cambios.
2. La esencia de la teoría de grupos de Galois
Podemos comprender gradualmente la esencia de la teoría de Galois a partir del proceso de trabajo de Galois. Primero, analiza cómo construyó el grupo de Galois sin conocer las raíces de la ecuación. Aún así, para la ecuación (1), supongamos que no tenga raíces múltiples entre las raíces x1, x2,...,xn, construyó un polinomio lineal simétrico similar al precondicionamiento lagrangiano sobre x1, △1=a1x1 a2x2 ... anxn, donde ai (i=1, 2, 3, ..., n) no es necesariamente la raíz unitaria, pero debe ser un número entero determinado y hacer que cada una de las n ecuaciones sea una raíz unitaria. Las ecuaciones elementales △1, △2,..., △n! son diferentes, entonces construye la ecuación =0 (2)
Los coeficientes de esta ecuación deben ser números racionales (se puede demostrar mediante la teorema del polinomio simétrico), y se puede descomponer en el producto de polinomios irreducibles sobre el cuerpo de números racionales. Supongamos que f(x)= es el m-ésimo factor irreducible de f(x)=, entonces el grupo de Galois de la ecuación (1) se refiere a n. Todas las m permutaciones de Δi. Al mismo tiempo, según el teorema védico, sabía que el grupo de Galois también es un grupo de simetría, que refleja plenamente la simetría de las raíces de esta ecuación. Pero es muy difícil calcular el grupo de Galois de una ecuación conocida, por lo que el propósito de Galois no es calcular el grupo de Galois, sino demostrar que existe una enésima ecuación cuyo grupo de Galois es la raíz de la ecuación. El grupo de sustitución s(n), s(n) está compuesto por un conjunto de n! elementos, y el producto de los elementos en s(n) en realidad se refiere al producto de dos sustituciones.
Ahora el número de elementos en s(n) se llama orden, ¡y el orden de s(n) es n!
Después de encontrar el grupo g de Galois en el campo de coeficientes de la ecuación, Galois comenzó a buscar su subgrupo más grande h1. Después de encontrar h1, utilizó un conjunto de formas que contenían solo operaciones racionales (es decir, buscando predescomposición. ) para encontrar las raíces de la función. Utilice el método anterior nuevamente para encontrar el subgrupo más grande h2 de h1, el subgrupo más grande h3 de h2,..., obteniendo así h1, h2,..., hm, hasta que los elementos en hm sean completamente Transformación constante (es decir, hm es el grupo unitario i). Mientras que se obtiene una serie de subgrupos mediante una presolución continua, el dominio del coeficiente r se expande gradualmente a r1, r2,...,rm, correspondiendo cada ri al grupo hi. Cuando hm = i, rm es el dominio raíz de la ecuación y los restantes r1, r2,..., rm-1 son dominios intermedios. La posibilidad de resolver una ecuación en el dominio de las raíces está estrechamente relacionada con las propiedades del dominio de las raíces. Por ejemplo, la ecuación cuadrática x4 px2 q=0 (3)
p y q son independientes, el dominio se obtiene sumando las letras o incógnitas p y q a los números racionales en el dominio del coeficiente r . g es el subgrupo de octavo orden de s(4), g={e, e1, e2,...e7}, donde
e=, e1=, e3=, e4=,. e5=, e6=, e7=.
Para extender r a r1, se debe construir un presolver en r. Suma la raíz del pre-solucionador a r para obtener un nuevo dominio r1. Por lo tanto, se puede demostrar que el grupo de la ecuación original (3) con respecto al dominio r1 es h1, h1 = {e, e1, e2. , e3}, y se encuentra el pre-solucionador. El grado del controlador es igual al índice g del subgrupo h1 en el grupo principal 8 ÷ 4 = 2 (es decir, el orden del grupo principal dividido por el orden de el grupo infantil). El segundo paso es construir la segunda presolución y encontrar las raíces. Luego, suma el dominio r1 para obtener el dominio r2. De manera similar, encuentra el grupo h2 de la ecuación (3) en r2, h2 = {e, e1},. En este momento, el grado de la segunda solución preliminar también es igual al orden del grupo h2 en h1, 4 ÷ 2 = 2. El tercer paso es construir la tercera solución previa, obtener la raíz, sumarla a r2 y obtener el dominio expandido r3. En este momento, el grupo de la ecuación (3) en r3 es h3, h3 = {e}, es decir, h3= i, entonces r3 es el dominio raíz de la ecuación (3), y el grado de este prefactorizador sigue siendo igual al índice 2÷1=2 del grupo h3 en h2. En esta ecuación cuadrática especial de una variable, expanda el dominio del coeficiente hacia el dominio de la raíz y agregue el dominio de la raíz de la ecuación cada vez, luego se puede resolver el dominio de la raíz de la ecuación. Esta teoría de la solubilidad también es aplicable a ecuaciones generales de orden superior siempre que se agreguen raíces cada vez durante el proceso de expansión desde el dominio de coeficientes al dominio de raíces, las ecuaciones generales de orden superior también se pueden resolver con radicales.
Todavía tomamos la ecuación cuadrática (3) como ejemplo. Galois descubrió que estas soluciones previas son esencialmente ecuaciones cuadráticas. Dado que el principio de solubilidad también se aplica a ecuaciones de orden superior, generalmente debe haber un conjunto. de presoluciones para ecuaciones de orden superior que se pueden resolver usando expresiones radicales, y todas deben ser ecuaciones binomiales xp=a con grado p. Dado que Gauss había demostrado hace mucho tiempo que las ecuaciones binomiales se pueden resolver usando radicales, necesitamos saber cómo resolver estas ecuaciones usando radicales. Entonces, a la inversa, si todas las soluciones sucesivas de cualquier ecuación de orden superior son ecuaciones binomiales, entonces la ecuación original se puede resolver usando radicales. Por lo tanto, Galois propuso el principio de solución fundamental y también propuso un concepto importante en la teoría de grupos: "subgrupo regular".
Así define un subgrupo regular: Sea h un subgrupo de g. Si cada g en g tiene gh=hg, entonces h es un subgrupo regular de g, donde gh significa aplicar primero la sustitución de g y luego aplicar cualquier elemento de h, es decir, después de proponer la definición, Galois demostró, cuando la solución anterior del sistema aproximado de ecuaciones (como la aproximación de g a h1) es la ecuación binomial xp = a (p es un número primo), h1 es un subgrupo canónico de g.
Por otro lado, si h1 es un subgrupo canónico de g con índice primo p, entonces la prefactorización correspondiente debe ser una ecuación binomial de grado p. También definió un subgrupo canónico máximo: si un grupo finito tiene un subgrupo canónico, entonces debe haber un subgrupo cuyo orden sea el más grande entre todos los subgrupos canónicos del grupo finito. Este subgrupo se llama grupo finito. . Un subgrupo regular máximo tiene su propio subgrupo regular máximo y esta secuencia puede continuar una tras otra. Por tanto, cualquier grupo puede generar una serie de subgrupos regulares máximos. También propuso que al etiquetar la secuencia de subgrupos extremadamente canónica generada por un grupo g como g, h, i, j..., se obtendría una serie de factores compuestos [g/h], [h/i], [i/g]. …. Para la ecuación cuadrática anterior (3), h1 es el subgrupo canónico máximo de g, h2 es el subgrupo canónico máximo de h1 y h3 es el subgrupo canónico máximo de h2, es decir,
Con el continuo En el progreso de la teoría, Galois descubrió que para una ecuación dada, encontrar su secuencia de subgrupo regular máxima y su secuencia de subgrupo invariante máxima en el grupo de Galois es enteramente un problema de teoría de grupos. Por lo tanto, resolvió el problema de la solubilidad de ecuaciones utilizando enteramente métodos de teoría de grupos. Finalmente, Galois propuso otro concepto importante en la teoría de grupos, los "grupos solubles". Si todos los sintetizadores regulares máximos generados por un grupo son números primos, llamó al grupo grupo solucionable.
Según la teoría de Galois, si todos los sintetizadores canónicos máximos generados por el grupo de Galois son números primos, la ecuación se puede resolver en forma radical. Si no todos son números primos, la ecuación no se puede resolver en forma de raíz. Dado que se introduce el grupo resoluble, se puede decir que la ecuación se puede resolver en forma de raíces si y sólo si el grupo en el dominio de coeficientes de la ecuación es un grupo resoluble. Para la ecuación cuadrática especial (3) anterior, [g/h] = 8/4 = 2, [h1/h2] = 2/1 = 2 y 2 es un número primo, por lo que la ecuación (3) se puede resolver usando la fórmula radical. Mirando la ecuación general de n-ésimo grado, cuando n=3, hay dos presoluciones cuadráticas t2=a y t3=b, y los índices de secuencia sintética son 2 y 3. Ambos son números primos, por lo que la ecuación general cúbica La ecuación se puede resolver mediante expresión radical. De manera similar, para n=4, hay cuatro predescomposiciones cuadráticas cuyos índices de secuencia compuesta son 2, 3, 2 y 2 respectivamente, por lo que las ecuaciones cuadráticas generales también se pueden resolver en forma radical. Generalmente, el grupo de Galois de una ecuación de grado n es s(n), y el subgrupo extremadamente canónico de s(n) es a(n) (de hecho, a(n) se compone de permutaciones pares en s(n) Subgrupo. Si una permutación se puede expresar como el producto de un número par de tales permutaciones, entonces la permutación se llama permutación par). Por lo tanto, [s(n)/a(n)] = n! /(n!/2) = 2, [a(n)/i] = (n!/2)/1 = n! /2, 2 es un número primo, pero cuando n≥5, n! /2 no es un número primo, por lo que generalmente las ecuaciones superiores a las ecuaciones cuadráticas no se pueden resolver usando radicales. En este punto, Galois resolvió completamente el problema de la solubilidad de las ecuaciones.
Por cierto, Abel consideró el problema desde el grupo conmutativo. Su punto de partida era diferente al de Galois, pero sus resultados fueron los mismos, ambos para demostrar que es un grupo resoluble, y Galois también generalizó el de Abel. ecuación y construyó una ecuación que ahora se llama ecuación de Galois. Cada raíz de la ecuación de Galois es una función racional de dos raíces en el campo de coeficientes. .