Modelo estadístico fractal

3.3.1 Modelo estadístico fractal

Establecer un modelo estadístico fractal:

Caos fractal y predicción de minerales

Donde, r representa el escala característica, C>0 se llama constante de proporcionalidad, D>0 se llama número de subdimensiones, N(r) representa el número de escalas mayor o igual a r (cuando el signo delante de la subdimensión la dimensión D es un signo negativo, se expresa como N(≥r )) o el número de escalas menor o igual a r (cuando el signo delante de la subdimensión D es un signo negativo, se expresa como N (≥r)). r (cuando el signo delante de la dimensión D es positivo, se expresa como N(≤r)).

Para facilitar la investigación, la ecuación (3.3.1) se puede descomponer en las dos ecuaciones siguientes:

Caos fractal y predicción de minerales

Muchos fenómenos geológicos tener escalas Características de inmutabilidad. Los ejemplos incluyen fragmentos de roca, fallas, terremotos, erupciones volcánicas, depósitos minerales y pozos petroleros. La distribución entre la frecuencia y el tamaño de estos fenómenos es invariante en escala. Para describir las características de la distribución fractal, es necesario establecer una relación de función de potencia entre el número de escalas mayores o menores que una determinada escala y el tamaño del objeto, es decir, una relación de la forma (3.3.1). Por ejemplo, r puede representar la ley de oro, N (≥ r) representa el número de muestras con ley de oro mayor o igual a r también puede representar el radio de un círculo, N (≤ r) representa la cantidad de yacimientos; cayendo en un círculo con radio r.

Las características de la distribución fractal requieren la distribución estadística de fenómenos geológicos en los que el número de objetos excede una cierta escala y existe una relación de función de potencia entre los tamaños de la distribución fractal de la función de potencia (es decir: distribución de funciones de potencia, distribución Parley) distribución Tol y distribución Zipov) no son las únicas, existen otros tipos de distribuciones, como la distribución logarítmica, etc. Sin embargo, la distribución fractal de potencia es el único tipo de distribución que no contiene una escala característica. Por lo tanto, estas distribuciones se pueden utilizar para fenómenos geológicos invariantes de escala. La invariancia de escala proporciona la base para la aplicación de distribuciones fractales de funciones de potencia.

El modelado es en realidad modelado fractal (similitud). Utilizando el principio de similitud, se establece la unidad de modelado y la unidad de predicción se fractaliza y predice.

Para encontrar la dimensión fractal D, se utilizan los valores observados (N(r1), N(r2),..., N(rn)) y (r1, r2,. .., rn ) se traza en papel cuadriculado logarítmico. Si sus puntos de dispersión están distribuidos aproximadamente en una línea recta, la pendiente de la línea recta se puede utilizar para encontrar la dimensión fractal D, es decir. Sustituya los valores observados (N(r1), N(r2),..., N(rn)) y (r1, r2,..., rn) en la ecuación (3.3.1), y luego tome la logaritmo de ambos lados, la ecuación (3.3.1) se simplifica a una ecuación lineal de una variable. 1) Simplificado a un modelo de regresión lineal unidimensional:

Caos fractal y predicción de minerales

Caos fractal y predicción de minerales

Utilice la segunda multiplicación mínima para resolver la pendiente D, que es la dimensión fractal. Este método (método tradicional) casi siempre se utiliza para resolver la dimensión fractal D. Aunque es relativamente sencillo resolver D usando este método, los resultados pueden ser incorrectos (Bethea et al., 1985).

De hecho, la fórmula (3.3.1) es un modelo de regresión no lineal, donde C y D es un parámetro desconocido, y los valores estimados de los parámetros C y D en la fórmula de estimación de regresión no lineal (3.3.1) también son el número de subdimensiones, que se pueden obtener directamente mediante el método de mínimos cuadrados de la modelo de regresión no lineal. En comparación con el método tradicional anterior (es decir, convertir la fórmula (3.3.1) en un modelo de regresión lineal univariado (3.3.2)), este nuevo método obtiene una dimensión D más precisa (es decir, el error es menor).

El nuevo método tiene las siguientes ventajas:

(1) Cuando se utiliza el método tradicional para encontrar la subdimensión D, los datos originales (N(r1), N(r2 ), .., N(rn)) y (r1, r2, ..., rn) se transforman logarítmicamente, pero en la mayoría de los casos los datos originales, especialmente (r1, r2, ..., rn) no son adecuados. para transformación logarítmica. El nuevo método utiliza directamente los datos originales para encontrar la dimensión D, evitando así la situación anterior.

(2) Usando el nuevo método, podemos encontrar el sesgo y la varianza aproximados del estimador de dimensiones, así como los valores aproximados del sesgo de predicción y la varianza de predicción.

Los resultados anteriores no se pueden obtener usando métodos tradicionales (existe una diferencia esencial entre usar métodos tradicionales para encontrar el sesgo y la varianza de D en la fórmula (3.3.2) y usar métodos nuevos para encontrar el sesgo y la varianza de D en la fórmula (3.3 .1)).

(3) Al ajustar un modelo fractal, las estimaciones de parámetros obtenidas usando el nuevo método son mejores que las obtenidas usando el método tradicional, es decir, la suma de los cuadrados de los residuos es menor (la suma de cuadrados de los residuos es un índice pseudocuantitativo de la bondad de ajuste), las estimaciones de los parámetros son más estables.

3.3.2 Investigación de simulación sobre modelo estadístico fractal

Generamos distribución uniforme, distribución normal estándar y distribución lognormal en el intervalo [0, 1] en la computadora. Hay 10,000 aleatorios. números cada uno, y los números aleatorios de cada distribución se dividen en 10 grupos (es decir, cada grupo tiene 1000 números aleatorios, ****, un total de 30 grupos) para la investigación de simulación en el modelo estadístico fractal.

Tome cada grupo de 1000 números aleatorios, ordénelos de pequeño a grande, divida el intervalo total de distribución de números aleatorios en k subintervalos y cuente la frecuencia de los números aleatorios que ingresan al i-ésimo. subintervalo NFi (i=1, 2,...,k), tal que r es un entero positivo.

De esta forma se obtienen los datos (N(r1), N(r2), ..., N(rn)) y (r1, r2, ..., rn), y estos los datos se sustituyen en el modelo estadístico fractal (3.3.1″) y aplicando el método de mínimos cuadrados, se puede obtener el estimador de dimensión fractal.

Los resultados del cálculo específico se muestran en la Tabla 3-1, Tabla 3 -2 y Tabla 3-3 ..., 26); ② Para números aleatorios distribuidos normales, tome k=80, n=21, ri=2i+10 (i=1, 2,. Para números aleatorios distribuidos log-normalmente. números, tome k= 100, n=21, ri=2i (i=1, 2,..., 21); ④ Para datos aleatorios con diferentes distribuciones, los rangos de valores de k y r son diferentes, principalmente según la datos (N(r1), N (r2),...,N(rn)) para determinar...,N(rn)) y (r1,r2,...,rn), hay una escala- región libre dentro de su rango, y Cumple con los requisitos estadísticos; ⑤ Los números aleatorios se extraen de 1000 muestras y cumplen con las condiciones requeridas para la inferencia estadística

Según los datos de la Tabla 3-1, Tabla 3-2 y Tabla 3-3, Se pueden obtener los siguientes resultados:

(a) El número de subdimensiones estimadas utilizando el nuevo método es más estable que el número de subdimensiones estimadas utilizando el método tradicional. la desviación estándar es una descripción cuantitativa del grado de dispersión de los datos, la desviación estándar cuanto más pequeño es el valor, más concentrados están los datos alrededor de la media.

(b) El valor D de la. La dimensión puede describir la estructura entre números aleatorios o muestras. Según el modelo estadístico fractal (3.3.1 ″), cuanto menor sea el valor D, menor será la diferencia entre números aleatorios o muestras, es decir, mejor será la uniformidad. por el contrario, cuanto mayor sea el valor D, mayor será la diferencia entre números aleatorios o muestras, es decir, peor será la uniformidad. La dimensionalidad de los números aleatorios de una distribución uniforme (buena uniformidad) (promedio 0,1287) es menor que la dimensionalidad de los números aleatorios de una distribución normal (uniformidad media) (promedio 0,6853), y también menor que la distribución lognormal (pobre uniformidad). dimensionalidad de los números aleatorios (valor medio 0,9762). La conclusión anterior es consistente con la situación real.

3.3.3 Ejemplos de aplicación

Predicción de la mineralización de cromita en Tibet Luobusha.

El depósito de cromita de Luobusha en el Tíbet es el depósito de cromita más grande conocido en mi país, con reservas probadas de cromita de casi 5 millones de toneladas, lo que representa más de un tercio de las reservas probadas del país. Por lo tanto, es de gran importancia realizar trabajos de predicción metalogénica del depósito de cromita de Luobusha en el Tíbet.

El cuerpo de ofiolita de Luobusha se encuentra en la sección oriental del famoso cinturón de ofiolita del río Yarlung Zangbo, y está ubicado en el lado sur del arco de magma del volcán Gondwana. La masa rocosa se extiende en forma de arco. saliente hacia el norte Es una roca estructural compuesta por arenisca metamórfica poco profunda extremadamente gruesa del Triásico tardío intercalada con una pequeña cantidad de toba cristalina y mármol compuesto de pórfido fino de Bidita, y rocas volcánicas marinas del Cretácico tardío, entre rocas silíceas radiolarias y rocas de fricción entre montañas del Terciario. La masa rocosa tiene forma de lente en vista en planta, con fallas en algunas partes. El cuerpo principal se extiende de este a oeste, con una longitud de unos 30 km y un punto más ancho de unos 3 km (Li Zijin et al., 2007).

, 1993).

A través del estudio de este depósito, se cree que la distribución espacial de los yacimientos superficiales, los grupos de minerales y las reservas de minerales tiene buenas características de estructura fractal, es decir, autosemejanza, estadísticas fractales. (3.3.1′) se puede utilizar como modelo de predicción para cuerpos minerales, grupos de minerales y cantidades de recursos en áreas prospectivas dentro del área de cobertura del Cuaternario.

1. Condiciones geológicas

La investigación muestra que aunque la altitud y la posición de los cuerpos minerales en el manto de peridotita son ligeramente diferentes en la sección de mineral de Luobusha y la sección de mineral de Xiangshan, la roca y mineral La composición química y las propiedades físicas de los cuerpos minerales también son diferentes, pero todos están ubicados en el mismo manto de peridotita y son productos de la misma orogenia y mineralización. Las zonas heterogéneas estructurales originales que contienen minerales están unificadas. que los yacimientos en toda el área en la misma construcción. Después del análisis estructural, se cree que los yacimientos de toda el área se encuentran en el mismo cinturón estructural de roca magmática que contiene mineral. Por lo tanto, es geológicamente factible extender el área del modelo a toda el área de las dos secciones de mineral.

2. Condiciones matemáticas

El sistema autosemejante del depósito de cromita Robusta muestra la autosemejanza de los parámetros del depósito, datos de observación (N (r1), N (r2) ,...,N(rn)) y (r1,r2,...,rn) se trazan en el sistema de coordenadas logarítmicas (es decir, lgN(r)-lgr), conectando los puntos, la curva tiene una línea recta obvia segmento, es decir, hay una zona libre de escala. La autosimilitud se refiere a la característica de que las cosas no cambian con los cambios en la escala de observación dentro de un cierto rango de escala (zona libre de escala). Las conclusiones obtenidas en una determinada parte de la zona libre de escala se pueden inferir a toda la escala. zona libre. La distribución espacial de los yacimientos superficiales, los grupos de minerales y sus reservas en el área del modelo tiene una buena estructura fractal, es decir, autosimilitud, en el rango de 5 a 40 cm (zona libre de escala). Por lo tanto, dentro de un sistema autosemejante, el límite superior de la zona libre de escala se puede extrapolar a 55 cm, donde hay poco o ningún cambio en la estructura fractal.

3. Analogía similar entre el área de simulación y el área de predicción

Los yacimientos y grupos de minerales pronosticados se refieren a los yacimientos y grupos de minerales en la superficie del lecho rocoso debajo de la capa de cobertura del Cuaternario. La cantidad de recursos se refiere a la cantidad de recursos correspondientes a las reservas de C+D en el área de simulación. La investigación sobre el Sistema Cuaternario muestra que el Sistema Cuaternario en el área predicha consiste en depósitos de pendiente residuales y una pequeña cantidad de morrena. Por lo tanto, se cree que las condiciones de erosión y denudación de la superficie y las condiciones de preservación del yacimiento en el área del modelo son las predichas. El área es básicamente similar y el modelo se puede calcular.

4. Fuentes de datos y estimación de parámetros

(1) Yacimientos superficiales

En el área del modelo, la distribución de los yacimientos superficiales en el mineral estructural. El cinturón magmático que contiene es ****152 (ver Figura 3-1, Figura 3-2), y cada yacimiento se considera como un punto central representativo (Figura 3-3, Figura 3-4). Tome el centro de gravedad o centro de distribución del yacimiento como centro del círculo y dibuje círculos con diferentes radios r sin mover el centro. Calcule el número de yacimientos que caen en el círculo cada vez, registrado como N (r). (Tabla 3-4). Utilice las coordenadas lgr-lgN(r) para proyectar un punto, utilice el método de mínimos cuadrados para ajustar una línea recta y obtenga la ecuación de la línea recta:

Caos fractal y predicción de minerales

Tome D (0) = 0.7841, C(0)=100.9348=8.6060 es el valor inicial de la iteración, y el nuevo método se utiliza para encontrar el modelo estadístico fractal (3.3.1′), en el cual la estimación de mínimos cuadrados (dimensión fractal ), cantidad y suma residual de cuadrados Q(0.7568, 9.4039) = 114.6947 < Q0(0.7841, 8.6060) = 125.3347. Curvatura natural máxima ΓN = 0,03418 < 0,220 = 1/(2F1/2(2, 6, 0,05)) (ver Apéndice A). En este punto, la no linealidad inherente del modelo estadístico fractal (3.3.1′) es débil y puede ignorarse. Por lo tanto, el modelo estadístico fractal (3.3.1′) se puede utilizar como modelo matemático para la predicción de cuerpos minerales en la superficie. A saber:

Caos fractal y predicción de minerales

Tabla 3-4 Datos de cuerpos minerales de superficie

(2) Grupo de minerales de superficie

En En el mapa topográfico y geológico 1:10000, hay 14 grupos de minerales en el cinturón de roca magmática estructural que contiene minerales en el área del modelo. Cada grupo de minerales puede considerarse como un punto representado por su centro. El centro y el radio se definen de manera similar a los cuerpos minerales de superficie, y el valor de r sigue siendo el mismo que para los cuerpos minerales de superficie.

Mantenga estacionario el centro del círculo, dibuje círculos con diferentes radios r, cuente el número de grupos que caen dentro del círculo cada vez, regístrelo como N(r) (Tabla 3-5) y convierta el punto en lgr-lgN( r) coordenadas. Utilice el método de mínimos cuadrados para ajustar una línea recta y obtener la ecuación de la línea recta:

Caos fractal y predicción de minerales

Establezca D(0) = 0,8982, C( 0)=10-0.3130=0.4864 Como valor inicial iterativo, el nuevo método se utiliza para obtener la cantidad de la ecuación de estimación de mínimos cuadrados (subdimensión) en el modelo estadístico fractal (3.3.1′) y la suma residual de cuadrados Q (0.9298, 0.4384) = 1.3014 < Q0 (0.8982, 0.4864) = 1.38, la curvatura natural máxima ΓN = 0.04715 < 0.2205 = 1/(2F1/2(2, 6, 0.05)) (ver Apéndice A). En este momento, la fuerza no lineal inherente del modelo estadístico fractal (3.3.1′) es muy débil y puede ignorarse, por lo que el modelo estadístico fractal (3.3.1′) puede usarse como modelo matemático para la predicción de la población de minerales de superficie. . A saber:

Caos fractal y predicción de minerales

Tabla 3-5 Datos de grupos de minerales de superficie

Figura 3-1 Diagrama estructural simplificado del área de Luobusa

Figura 3-2 Sección estructural de Luobusa-Zhangga

(3) Reservas de depósitos de mineral

En 1: Mapa topográfico y geológico del área modelo 1:10000, el mineral estructural Se estudió magma Distribución de reservas de cromita de 4211418t en la zona de roca C+D. Las definiciones del centro y radio del círculo son similares a las de los cuerpos minerales de superficie. El centro del círculo no se mueve. Calcule las reservas de mineral de grado C+D dentro de diferentes puntos de caída de radio r en una bola (en realidad, un círculo, porque el La distribución de la reserva se proyecta en un mapa topográfico y geológico 1:10000), se registra como N(r) (Tabla 3-6), se traza un punto en las coordenadas lgr-lgN(r) y se utiliza el método de mínimos cuadrados para ajustar. una recta. La ecuación de la recta es:

La ecuación es la siguiente. Se obtiene la ecuación de la línea recta:

Caos fractal y predicción mineral

Usando D(0)=0.7048, C(0)=105.5101=323668.176 como valores iniciales iterativos, el fractal se obtiene utilizando el nuevo método Ecuación del modelo estadístico (3.3.1′), cuadrados residuales y Q (0.6654.367166.9) = 0.3350161 × 1012

Es decir:

Caos fractal y predicción de minerales

Tabla 3-6 Datos de reservas minerales superficiales

Figura 3-3 Proyección horizontal Mapa de puntos de proyección de superficie de agujeros visibles en el grupo de mineral

5. Interpretación de los resultados de la predicción y significado de los parámetros

Con el cuerpo mineral más grande en el grupo de mineral como el centro del círculo, r=5, 10, 15,... ..., 50, 55cm (mapa topográfico y geológico 1:10000), regrese r a lo anterior (3.3.3), (3.3.4) y (3.3.5) Fórmulas, calcule la cantidad total menos r = 55 cm. La cantidad conocida es la cantidad de recursos prevista en el Sistema Cuaternario de la sección minera de Xiangjiashan. Los resultados del cálculo son 43 yacimientos de mineral "superficial", 4 grupos de mineral "superficial" (redondeados), cantidad de recurso (cromita): 1071815,342 t Calidad del mineral: el mineral es principalmente mineral en trozos densos, con una pequeña cantidad de mineral denso diseminado. w (Cr2O3) = 52,7; la ley promedio de la cantidad total de elementos del grupo del platino es 0,497 g/t y el recurso total es 532,692 kg. Los resultados de la predicción son relativamente consistentes con los resultados calculados por métodos convencionales (ver Figura 3-). 5, Figura 3-6, Figura 3-7).

La densidad se define como: ρ=N(r)/(πr2)=(C/π)rD-2

Cuando D=2.0, la densidad ρ=C/ π.

Indica densidad uniforme;

Cuando D>2.0, la densidad ρ aumenta con el aumento de r;

Cuando D<2.0, la densidad ρ disminuye con el aumento de r Pequeño;

Cuando r =1.0, C=πρ=N(1).

0.6654 (dimensión de las reservas del depósito mineral) < 0.7568 (dimensión del yacimiento superficial) < 0.9298 (dimensión del grupo mineral superficial) < 2 muestra que la densidad de las reservas del depósito mineral, el yacimiento superficial y el mineral superficial El grupo cambia con r aumenta y disminuye gradualmente.

Por lo tanto, la dimensión D expresa cuantitativamente la tendencia del cambio de densidad de la distribución del yacimiento, y C representa el valor inicial de la distribución del yacimiento. Tienen una importante importancia rectora para la exploración, predicción y evaluación de los recursos minerales.

Figura 3-4 Diagrama de puntos de proyección del centro del yacimiento en la superficie de proyección vertical este-oeste

Figura 3-5 Diagrama de ajuste de curvas de los datos originales del mineral body

Figura 3-6 Diagrama de ajuste de curvas de datos originales de grupos de minerales en superficie

Figura 3-7 Diagrama de ajuste de curvas de datos originales de reservas de depósitos minerales