Notas Gráficas II Matriz Ortogonal, Matriz de Transposición y Rotación

Consultar curso P4:

/video/BV1X7411F744?p=4

Consultar matriz simétrica, matriz diagonal y matriz triangular

Una matriz simétrica es una matriz cuyos elementos son iguales a la diagonal principal que es el eje de simetría, como se puede observar, por ejemplo,

. La transpuesta de una matriz simétrica es igual a la matriz misma

Una matriz diagonal se refiere a una matriz con cero elementos excepto la diagonal principal, por ejemplo:

Las matrices triangulares se dividen en matrices triangulares superiores y matrices triangulares inferiores.

Una matriz triangular superior se refiere a una matriz en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son 0, por ejemplo:

Una matriz triangular superior se refiere a una matriz en la que todos los elementos encima de la la diagonal principal es 0. Matriz, por ejemplo:

Una matriz ortogonal es una matriz cuya transpuesta es igual a la matriz inversa

Ortogonal: puede entenderse simplemente como vertical.

Por ejemplo, en un espacio tridimensional, queremos que la matriz ortogonal sea:

Pero en realidad, es probable que sea una matriz similar a la siguiente:

Por lo tanto, la conclusión es que cualquier matriz ortogonal debe ser diagonal.

La nueva matriz obtenida al intercambiar los rangos de la matriz se llama matriz transpuesta y el determinante de la matriz transpuesta permanece sin cambios.

Matriz de transposición:

La matriz de transposición no se presenta en profundidad en el vídeo de generación lineal de 3Blue1Brown, pero aquí nos centramos en cómo aplicarla directamente.

Escribiendo la matriz de rotación θ y rotación negativa θ, podemos encontrar que la rotación negativa θ es igual a la transpuesta de la rotación θ, que es una propiedad de las matrices ortogonales. Por lo general, resolver la matriz inversa requiere mucho rendimiento, mientras que resolver la matriz transpuesta es muy simple.

El vídeo empezó a hablar muy rápido de esta fórmula, pero no la entendí, así que mejor la busco yo mismo. Primero, la Enciclopedia Baidu da la definición de esta fórmula:

Luego hay una derivación de la fórmula en el video de la estación B. Con la base de la generación de línea anterior, puede ver directamente P2: /video /BV1yW41177Y8?p=2

El video primero habla sobre la rotación alrededor del eje Z. En este momento, defina el vector k como paralelo al eje Z y el vector V como paralelo al. Eje X. Luego gire θ y alcance la posición de rotación v. Dado que la fórmula es fácil de entender, la segunda mitad del producto escalar kv es en realidad el eje Y según la regla de la mano derecha (los cuatro dedos apuntan a K y luego se doblan hacia V, y la dirección del pulgar es exactamente Y ), y luego multiplicado por sina θ, es la rotación La proyección del vector en el eje Y, es decir, el valor de la coordenada Y.

La idea del autor aquí es descomponer primero v en un vector ascendente y un vector izquierdo. Gire el vector de la izquierda y sume los vectores hacia arriba para formar el vector objetivo v rot.

Las partes con signos de interrogación en la imagen de arriba deben ser errores del autor. De hecho, la proyección del componente vertical es fácil de entender. Utilice v para multiplicar k y obtendrá un escalar, que es la longitud del vector de proyección en la dirección k. necesita especificar su dirección y luego multiplicar por Un vector de k unidades es suficiente:

Ahora combine los resultados anteriores, extraiga los factores comunes y simplifique, puede obtener:

Entonces la prueba es como se muestra en el cuadro de la figura anterior. Si dos objetos son iguales, se puede ver que las direcciones son las mismas según la regla de la mano derecha. El tamaño que falta en la captura de pantalla se agregó al círculo rojo y su valor es exactamente |v| en la fórmula anterior.

En P3, los autores derivaron la representación matricial: vrot = R v. No doy más detalles aquí, solo escribo la conclusión aquí: