La historia del desarrollo de la integral de Riemann y la integral de Lebesgue
, sino en la completitud de los espacios respectivamente constituidos por la totalidad de sus funciones integrables. .
Palabras clave: Integral de Riemann; integral de Lebesgue; división; integridad
Número de clasificación CLC: O 172 Código de identificación del documento: A
En trabajos analíticos generales, sólo se revela la integral de Riemann. Sin embargo, no se indica cuál es la diferencia esencial entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue. A continuación, comenzaremos con sus definiciones y las discutiremos utilizando el concepto de integridad espacial.
1. Integral de Riemann
La integral de Riemann es una gráfica generada para resolver el problema de calcular el área de un plano rodeado por curvas cerradas
. Se deriva de Dividir en intervalos cerrados.
La función de conjunto de definición f(x) se define en.
2. Integral de Lebesgue
Usando ideas similares a la integral de Riemann, utilizamos la idea de límite para definir la integral de Lebesgue, es decir, división
La El rango de la función se llama definición A.
Definición A Sea la función f(x).
Definición B Supongamos que f(x) es una función simple medible no negativa sobre Rn
Toma valores en el conjunto de puntos Ai (i =1, 2, . .,p)
. ..., p)
ci: f(x) =∑
i=1
cixA
i, ∪
p
i=1Ai= Rn, Ai∩Aj
=Ф(i≠j).
Si E es una posible conjunto de medidas, luego defina una función simple medible no negativa en E
La integral de Lebesgue del número f(x) es
(L)∫Ef(x)dx =∑ pi= 1cim(E∩Ai).
Supongamos que f(x) es una función medible no negativa en E Rn.
Definimos la integral de Lebesgue de f(x) en E como
(L)∫Ef(x)dx =suph(x)≤f(x)
x∈E
{∫Eh(x)dx：h(x)
es una función simple medible no negativa}.
Si (L)∫Ef(x)dx lt;∞, entonces se dice que f(x) es una función integrable de Lebesgue en E
.
Supongamos que f(x) es una función medible en E Rn,
f (x) =max{f(x), 0}, f-(x) =max { -
f(x), 0}, y si existe al menos una integral (L)∫Ef (x)dx,
(L)∫Ef-(x) dx es finito, entonces
Diga (L)∫Ef(x)dxf(x) = (L)∫Ef (x)dx-
(L)∫Ef-( x)dx es la integral de Lebesgue de f(x) en E
si las dos integrales en el lado derecho de la fórmula anterior son finitas, entonces
f( x) está en E. Se llama integrable de Lebesgue.
Se puede ver en la definición de la integral B de Lebesgue que aquí no hay división del rango de valores de la función
sino una función medible y una función medible no negativa
La definición de integral de Lebesgue para medir funciones simples Por supuesto, las dos definiciones de
integral de Lebesgue son equivalentes. .Aunque en la integridad de
para explicar.
Sean R, fn convergentes a f según la métrica de Lebesgue
, por lo que hay una subsecuencia que converge a
f según la métrica. A continuación se demuestra que fnk→f es suficiente. Obviamente, fnk también es una columna básica, es decir, para la ε anterior, cuando nk, nigt N, tenemos d(fn
k
, fn
<). p>i)= (L)∫ba| fnk-fni(x)|dx lt;ε.
Por otro lado. Dado que ni→∞, |fn
k(x) -
fni(x) | converge a |f(x) -
en casi todas partes fn
i(x) |.
Según el teorema de Fatou, tenemos
d(fn
k, f) = (L)∫ba| f(x)-fni(x) ) |dx
≤lim
i→∞
(L)∫ba| fnk(x)-fni(x) |dx
lt;ε
Por lo tanto f-fnk∈L[a, b], por lo tanto
f = fn
k
-(f-fn
k
)∈L[a, b]. Por lo tanto
d(fn, f) =d(fn, fn
k) d(fnk, f) lt;ε.
Entonces, lim
n→∞
fn= f, entonces L[a, b] es un espacio completo.
De la proposición anterior, podemos ver que después de extender el espacio incompleto R[a,
b] al espacio L[a, b], obtenemos un espacio completo
Esta es la diferencia esencial entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue
No te dejes confundir por sus fenómenos superficiales
Esto radica en la comprensión del intervalo [ a ,b], [a,b]b[/a,b]b[/a,b], [a,b]b[/a,b][/a,b][/a,b][ / a,b][/a,b][/a,b][/a,b][/a,b][/a,b][/a,b][/a,b]c]c ] c]. No se deje engañar por esta diferencia superficial. Piense en ella como una diferencia en la división del intervalo [a, b] y el dominio de la función, y también es una referencia al Integral de Riemann. Generalización: una mejor descripción del producto Lebesgue
.
Referencias
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Volumen 18, Número 5 "Revista of Advanced Correspondence Education" (Edición de Ciencias Naturales) Volumen 18 Número 5
Octubre de 2004
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