¿Qué significa convolución?

Convolución

Una operación importante en matemáticas analíticas. Sean f (x), g(x) dos funciones integrables en R1 e integren:

Se puede demostrar que para casi todos los x∈ (-∞, ∞), la integral anterior existe. Por lo tanto, para diferentes valores de x, esta integral define una nueva función h(x), llamada convolución de f con g, denotada h(x) = (f * g)(x). Es fácil verificar que (f * g)(x) = (g * f)(x) y que (f * g)(x) sigue siendo una función integrable. Esto significa usar convolución en lugar de multiplicación, el espacio L1 (R1)1 es un álgebra, incluso un álgebra de Banach.

La convolución está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Utilice (x), (x) para representar la transformada de Fourier de f y g en L1(R)1, entonces se cumple la siguiente relación: (f * g) ∧ (x) = (x) - (x), es decir , dos El producto de las transformadas de Fourier de funciones es igual a sus transformadas convolucionadas de Fourier. Esta relación simplifica el tratamiento de muchos problemas del análisis de Fourier.

La función (f * g)(x) obtenida por convolución es generalmente más suave que f o g. Usando esta propiedad, para cualquier función integrable, podemos simplemente construir una secuencia de funciones suaves fs(x) que se aproxima a f.

El concepto de convolución también se puede extender a secuencias, métricas y funciones generalizadas.

El concepto de convolución también se puede extender a secuencias, medidas y funciones generalizadas.