¿Cómo calculaban los antiguos la circunferencia y el área de un círculo?

Los antiguos generalmente usaban el método del círculo tangente para calcular pi. Es decir, la circunferencia de un círculo se aproxima mediante un polígono regular que está inscrito o circunscrito. Arquímedes usó un polígono regular de 96 lados para obtener pi con una precisión de tres decimales; Liu Hui usó un polígono regular de 3072 y obtuvo una precisión de 5 dígitos. Ludolph Van Ceulen usó un polígono regular de 262 lados para obtener un polígono de 35 dígitos; exactitud. Este algoritmo basado en geometría es computacionalmente costoso, lento e ingrato. Con el desarrollo de las matemáticas, los matemáticos han descubierto muchas fórmulas para calcular pi de forma intencionada o no en la investigación matemática. A continuación se muestran algunas fórmulas clásicas de uso común. Además de estas fórmulas clásicas, existen muchas otras fórmulas y fórmulas derivadas de estas fórmulas clásicas. No las enumeraré una por una.

/palgorithm.htm

Esta fórmula fue descubierta por el profesor de astronomía británico John McGinn en 1706. Usó esta fórmula para calcular pi con 100 dígitos. La fórmula de Machin puede obtener 1,4 dígitos de precisión decimal para cada cálculo. Dado que su multiplicando y dividendo no son mayores que un número entero largo durante el cálculo, es fácil de programar en una computadora.

Programa fuente Machin.c

Existen muchas fórmulas arcotangentes similares a la fórmula de Machin. De todas estas fórmulas, la fórmula de McGinn parece ser la más rápida. Sin embargo, si queremos calcular números mayores, digamos decenas de millones, la fórmula de McGinn no es suficiente. El algoritmo que se presenta a continuación tarda aproximadamente un día en calcularse en una PC y puede obtener un pi con una precisión de más de 100 millones de dígitos. Estos algoritmos son más complejos de implementar mediante programación. Debido a que el proceso de cálculo implica la multiplicación y división de dos números grandes, se utiliza el algoritmo FFT (Transformada Rápida de Fourier). FFT puede acortar el tiempo de multiplicación y división de dos números grandes de O (n2) a O (nlog (n)).