Definición de cálculo fraccionario
En cuanto a la definición de derivadas fraccionarias, muchos matemáticos han dado diferentes definiciones a las derivadas fraccionarias desde diferentes perspectivas. La racionalidad y cientificidad de sus definiciones han sido puestas a prueba en la práctica. El desarrollo de esta rama de las matemáticas ha encontrado una amplia aplicación en problemas prácticos. El objetivo de esta parte del artículo es analizar las diferentes definiciones e ilustrar las diferencias y conexiones entre las distintas definiciones. Para distinguir los métodos de representación de derivadas de orden entero y derivadas de orden fraccionario, este artículo introduce un nuevo símbolo (expresado como una integral de orden en el cálculo de Riemann-Rieux a continuación, que se indica a continuación para evitar confusiones).
3.1 Definición y propiedades de Riemann-Rieuwer
A continuación se presenta primero una definición de derivadas fraccionarias que se utiliza ampliamente en la investigación: Derivadas fraccionarias de Riemann-Rieuwer. Antes de definir las derivadas fraccionarias, expliquemos primero el cálculo fraccional de Riemann-Rieouvier.
3.1.1 Definición de Riemann-Leouvier
Definición Suponiendo que la función es continua pieza a pieza y se puede multiplicar en cualquier subintervalo finito, para , se llama
(1)
es la integral de orden de Riemann-Leowell (denominada integral R-L) de la función y representa.
Combinando la definición anterior de la integral fraccionaria de Riemann-Riovier con el cálculo de orden entero en el cálculo clásico, se puede obtener la siguiente definición de la integral fraccionaria de Riemann-Riovier de orden:
Definición Sea, , el entero positivo más pequeño () mayor o igual que, y exprese. Entonces,
(2)
se llama diferencial de orden de Riemann-Leouvier de la función.
Aplicando la Definición 1, podemos obtener el siguiente diferencial de orden de Riemann-Rieouvier:
3.1.2 Propiedades de las derivadas fraccionarias de Riemann-Rieouvier
Supongamos que es un función que satisface la Definición 1, es una constante arbitraria y es una fracción, entonces las siguientes dos propiedades lineales se obtienen en el Documento 1:
Propiedad 1:
Propiedad 2:
3.2 La definición de grado de las derivadas fraccionarias
La definición de grado de las derivadas fraccionarias también se llama definición de Grunwald-Letnikov. Veamos primero la definición de derivada integral.
La definición de derivada de primer orden:
(4)
La definición de derivada de segundo orden:
(5)
Al elegir la misma variable h, la ecuación (5) es equivalente a
(6)
Entonces la derivada de orden es la siguiente ecuación (7)
De la ecuación (7) para derivadas enteras, podemos obtener formalmente la definición de grado de derivadas fraccionarias. Formalmente, las derivadas de la ecuación (7) se pueden generalizar a números no enteros y los números combinatorios se pueden describir mediante la función gamma. Y el límite superior (no entero) de la sumatoria se convierte en SÍ (donde y son los límites superior e inferior de la diferenciación, respectivamente). Así, obtenemos la derivada fraccionaria definida en términos de una secuencia (fórmula (8) a continuación), también conocida como derivada fraccionaria de Grunwald-Letnikov.
Definición 3
Bajo la condición de derivadas continuas de orden, al menos la definición de Riemann-Liouville y la definición de Grunwald-Letnikov son equivalentes. Por tanto, la generalización de (7) a (8) también es razonable.
3.3 Definición de Caputo de diferencia de orden fraccionario
Definición 4 Para números positivos no enteros (cuando el orden es un número real negativo, la definición de Caputo es equivalente a la definición de Riemann-Riouville), es el entero positivo más pequeño mayor o igual a (). Entonces se llama derivada de orden de Caputo de la función
.
3.4 La relación entre las tres definiciones de derivadas fraccionarias
La definición de Riemann-Leouvier es una extensión de la definición de Grunwald-Letnikov. Similar a la idea de ampliar la definición de Grunwald-Letnikov a la definición de Riemann-Rieouer, la definición de Caputo es otra mejora de la definición de Grunwald-Letnikov. Para derivadas abelianas positivas de una función, la derivada de primer orden se realiza antes de la integral de primer orden.
La definición de Riemann-Liouville y la definición de Caputo son mejoras a la definición de Grunwald-Letnikov. Son equivalentes cuando los órdenes son números reales negativos y enteros positivos.
Del análisis de la Ref. 15 se desprende claramente que son equivalentes bajo la condición de que la función (1) tenga derivadas continuas de al menos orden. También son equivalentes bajo la condición (2). De lo contrario, no son equivalentes. La introducción de la definición de Riemann-Liouville puede simplificar el cálculo de derivadas fraccionarias; la introducción de la definición de Caputo hace que la ecuación de la transformada de Laplace sea más concisa, lo que resulta beneficioso para la discusión de ecuaciones diferenciales fraccionarias.
En aplicaciones prácticas, la definición de derivada fraccionaria que se utiliza depende de la situación específica.