Teorema de Pitágoras
2. Mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, desarrolle habilidades de pensamiento de ecuaciones y razonamiento lógico.
3. Comparar la investigación sobre el teorema de Pitágoras realizada por antiguos matemáticos chinos y occidentales y brindar educación patriótica a los estudiantes.
Enfoque y dificultad de la enseñanza
El enfoque es la aplicación del teorema de Pitágoras; la dificultad es la demostración y aplicación del teorema de Pitágoras.
Diseño de procesos de enseñanza
1. Estimular el interés e introducir temas
Introduciendo las sugerencias del matemático chino Hua Luogeng -extrapolando los gráficos del teorema de Pitágoras al universo y La conexión entre extraterrestres y el teorema de Pitágoras fueron descubiertos por antiguos matemáticos chinos hace dos mil años, estimulando el interés y el orgullo de los estudiantes por el teorema de Pitágoras e introduciendo temas.
2. La exploración, proceso de demostración y denominación del Teorema de Pitágoras
1. Adivina la conclusión.
¿Qué describe el Teorema de Pitágoras? Invite a los estudiantes a experimentar también la diversión de que los matemáticos descubran nuevos conocimientos.
Demostración informática del profesor:
(1) En △ABC, los lados opuestos de ∠A, ∠B y ∠C son a, b y c respectivamente, y ∠ACB =90°, haga que △ABC se mueva, pero siempre mantenga ∠ACB=90°. Por ejemplo, arrastre el punto A o B para cambiar la longitud de a y b, y arrastre el lado AB para hacer que △ABC gire alrededor de cualquier punto.
(2) Durante el proceso anterior, mida a2, b2 y c2 en cualquier momento y tome los valores medidos (aproximadamente 7 a 8) de uno o dos estados de los típicos anteriores. movimientos y enumerarlos en una tabla para que los estudiantes observen las relaciones cuantitativas entre tres números y hagan conjeturas.
(3) La comparación muestra que no existe tal relación entre los cuadrados de los tres lados de los triángulos acutángulos y los triángulos obtusos, por lo que es una propiedad única de los triángulos rectángulos. Haga que los estudiantes describan sus conjeturas con palabras, dibujen diagramas y escriban lo que se sabe y se prueba.
2. Demuestra la conjetura.
Actualmente, existen cientos de formas de demostrar el Teorema de Pitágoras en el mundo. Incluso Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos, proporcionó una prueba de área en 1881 (ver la imagen en la página 109 del libro de texto). (4)), y los antiguos matemáticos chinos proporcionaron una variedad de métodos de prueba utilizando la idea de cortar y parchear gráficos para calcular el área. Usemos uno de ellos a continuación (demostración auxiliar realizada por un maestro, ver). Figura 3-151) para demostrarlo.
3. El nombre del Teorema de Pitágoras.
A esta conclusión la llamamos Teorema de Pitágoras en China y Teorema de Pitágoras en Occidente.
(1) Introduzca los registros sobre el Teorema de Pitágoras en "Zhou Bi Suan Jing".
(2) Introducción al descubrimiento del teorema de Pitágoras por parte de Pitágoras en Occidente entre el 582 y el 493 a.C.
(3) Compare los hechos anteriores con el espíritu patriotista de los estudiantes y anímelos a trabajar duro.
III.Aplicación del Teorema de Pitágoras
1. Dados dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo, halla el tercer lado.
Ejemplo 1 En Rt△ABC, ∠C=90°, los lados opuestos de ∠A, ∠B y ∠C son a, b y c respectivamente.
(1) a=6, b=8, encuentre c y la altura de la hipotenusa; (2) a=40, c=41, b (3) b=15, =25, encuentre a; (4) a: b = 3: 4, c = 15, b.
Nota: Para (1), permita que los estudiantes resuman el método básico de usar el área para encontrar la altura de la hipotenusa en figuras básicas (Figura 3-153), guíe a los estudiantes para que usen la ecuación; Pensando para resolver problemas.
El profesor escribe (1) y (4) en la pizarra y deja que los alumnos practiquen (2) y (3).
Ejemplo 2 Como se muestra en la Figura 3-152 (unidad: mm), la distancia entre centros de los orificios A y B en la parte cuboide (con una precisión de 0,1 mm).
El profesor muestra la proyección y cómo encontrar las condiciones conocidas en el triángulo rectángulo ABC basándose en las dimensiones del diagrama.
Ejercicio 1 Visualización de proyección: (1) En isósceles Rt△ABC, ∠C＝90°, AC∶BC∶AB＝__________
(2) Como se muestra en la Figura 3 - 153∠ACB＝90°, ∠A＝30°, entonces BC∠AC∶AB＝___________; si AB＝8, entonces AC＝_____________ si CD⊥AB, entonces CD＝______________.
(3) La longitud del lado de △ABC de un triángulo equilátero es a, entonces la altura AD=__________,
S△ABC=______________
Explicación :
(1) Aprenda a utilizar el pensamiento de ecuaciones para resolver problemas.
(2) A través de esta pregunta, los estudiantes pueden resumir y familiarizarse con las conclusiones comunes en varias figuras básicas:
①La razón de los tres lados de un triángulo rectángulo isósceles es 1: 1:;
p>
②La razón de los tres lados de un triángulo rectángulo que contiene un ángulo de 30° es 1:∶2;
③La longitud del lado de un isósceles el triángulo es a, la altura es a y el área es
(Escrito en la pizarra) Ejemplo 3 Como se muestra en la Figura 3-154, AB=AC=20, BC=32, △DAC=90 °. Por favor, alargue el BD.
Análisis:
(1) Descomponer los gráficos básicos Hay isósceles △ABC y
Rt△ADC
(2). ) Agregue líneas auxiliares: la altura de la base de isósceles △ABC es
AE, y su hipotenusa Rt△ADC es alta
(3) Agregue líneas auxiliares - -La altura; de la base de isósceles △ABC es
AE, y es la altura de la hipotenusa de Rt△ADC;
(3) Sea BD X. Utilice las relaciones básicas de la Figura 3-153 para resolver problemas formulando ecuaciones.
El profesor escribe el proceso detallado en la pizarra.
La solución es AE⊥BC en E, sea BD x, luego DE=16-x, AE2=AC2-EC2, AD2=DE2+AE2=DC2-AC2, sustitúyalo en la fórmula anterior, obtenemos DE2 +AC2-EC2=DC2-AC2, es decir, 2AC2=DC2+EC2-DE2.
∴2×202=(32-x)2+162-(16-x)2, la solución es x=7.
2 Usa el teorema de Pitágoras para dibujar. el gráfico.
Ejemplo 4 Haz una línea con una longitud de .
Nota: simplemente analiza la gráfica de la página 101 del libro de texto, enfatiza el método de construcción de un triángulo rectángulo y especifica el tuyo propio. longitud unitaria.
3. Utiliza el teorema de Pitágoras para demostrarlo.
Ejemplo 5 Como se muestra en la Figura 3-155, △ABC, CD⊥AB está en D, AC > AC2-BC2=AD2-BD2=AB(AD-BD).
Análisis:
(1) Usa el teorema de Pitágoras para descomponer el triángulo rectángulo.
En Rt△ACD, AC2=AD2+CD2; en Rt△BCD, BC2=CD2+BD2.
(2) Utilice la tecnología de deformación de identidad en álgebra para organizar:
AC2-BC2= (AD2+CD2)-(CD2+BD2)
= AD2-BD2
=(AD+BD)(AD-BD)
=AB(AD-BD).
Ejemplo 6 Conocido: Como se muestra en la Figura 3-156, Rt△ABC, ∠ACB=90°, D es el punto medio de BC, DE⊥AB está en E, verifique. AC2=AE2-BE2.
Análisis: agregue líneas auxiliares: conecte AD, construya dos nuevos triángulos rectángulos y seleccione el teorema de Pitágoras y las expresiones relacionadas con la conclusión de la prueba.
4. Para los ejemplos seleccionados.
(1) Como se muestra en la Figura 3-157, en Rt△ABC, ∠C=90°, ∠A=15°, BC=1. Encuentra el área de △ABC.
Consejo: agregue una línea auxiliar: la línea perpendicular DE de BA intersecta a BA en D, intersecta a AC en E, conecta BE, construye un triángulo rectángulo BCE con un ángulo de 30° y usa el teorema de Pitágoras. para resolverlo, o encontrar directamente ∠ABE=15° en ∠ABC y cruzar CA en el lado de E.
(2) (Como se muestra en la Figura 3-158, en △ABC, ∠A=45°, ∠B=30°, BC=8. Encuentre la longitud del lado AC.
Análisis: agregue líneas auxiliares: dibuje CD⊥AB en D y construya una ecuación de triángulo rectángulo con ángulos de 45° y 30° para resolver el problema.
(3) Como se muestra en la Figura 3. -159 (a), en En el cuadrilátero ABCD, ∠B＝
∠D＝90°, ∠C＝60°, AD＝1, BC＝2, AB, CD
Consejos: Agregue líneas auxiliares. Extienda BA, CD interseca E y construya un ángulo de 30° Rt△EAD. Utilice sus propiedades para resolver el problema (consulte la Figura 3-159(b)). en un triángulo rectángulo y un rectángulo con un ángulo de 30° para resolver el problema (ver Figura 3-159 (c))
Respuesta: AB=23-2, CD=4: AB=23-2 , CD=.
(4) Conocido: 3-160 (a), rectángulo ABCD (las cuatro esquinas son ángulos rectos)
①P es un punto en. En el rectángulo, verifique: PA2 + PC2 =PB2+PD2
② Explore P moviéndose hacia el lado AD (como se muestra en la Figura 3-160(b)). )), en el rectángulo ABCD (Figura 3 -160 (C)), si la conclusión aún se cumple.
Análisis:
(1) Agregue líneas auxiliares: cruce P para hacer EF⊥BC, cruce AD con E, cruce BC con F, use pitagórico en cada uno de los cuatro triángulos rectángulos Teorema
．
(2) Estas tres preguntas se pueden resumir en una proposición:
La suma de los cuadrados de las distancias desde cualquier punto en el plano del rectángulo a los vértices no adyacentes es igual.
4. Resumen de las memorias de profesores y alumnos.
1. El contenido y método de demostración del Teorema de Pitágoras.
2. El papel del teorema de Pitágoras: puede transformar las características de forma de un triángulo (un ángulo es de 90°) en una relación cuantitativa, es decir, los tres lados satisfacen a2+b2=c2.
3. Utilice el teorema de Pitágoras para realizar cálculos y pruebas relevantes, preste atención al uso de la idea de ecuaciones para encontrar la longitud de los segmentos de línea relevantes del triángulo rectángulo
use la suma de líneas auxiliares para construir; el triángulo rectángulo y usa el teorema de Pitágoras.
5. Tarea
1. Preguntas 2 a 8 en la página 106 del libro de texto.
2. Lee "Leer en voz alta": La demostración del teorema de Pitágoras en la página 109 del libro de texto.
Descripción del diseño didáctico del aula
Este diseño didáctico tarda 2 horas de clase en completarse.
1. El teorema de Pitágoras revela la relación cuantitativa entre los tres lados de un triángulo rectángulo, que es una propiedad importante de un triángulo rectángulo. En el diseño de la enseñanza, se utilizan las condiciones superiores de las computadoras (visualización dinámica del software de bloc de dibujo geométrico) para proporcionar materiales típicos suficientes y completos: varios triángulos rectángulos con formas, tamaños y posiciones cambiantes, que permiten a los estudiantes observar, analizar, resumir y explorar las relaciones entre los tres lados de un triángulo rectángulo y mediante comparación con triángulos agudos y triángulos obtusos.
2 Las escuelas también pueden adoptar el siguiente método de analogía y asociación para explorar la introducción de nuevas lecciones. a sus propias condiciones de enseñanza.
(1) Repasa la relación entre los tres lados de un triángulo y resume la regla: la suma de los dos lados más pequeños es mayor que el tercer lado.
(2) Guíe a los estudiantes a asociar por analogía: ¿Cuál es la relación entre la suma de los cuadrados del lado menor y el cuadrado del tercer lado?
(3) Dé tres ejemplos (consulte la Figura 3-161(a)(b)(c)).
La comparación muestra que la suma de los cuadrados de los dos lados pequeños de un triángulo de ángulo agudo y de un triángulo de ángulo obtuso es mayor o menor que el cuadrado del tercer lado respectivamente. de los dos lados pequeños de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado del tercer lado.
(4) Utilice el material didáctico para demostrar la Figura 3-151 y verificar la conjetura sobre triángulos rectángulos.
Objetivos docentes: 1. Ser capaz de enunciar el teorema inverso del teorema de Pitágoras
2. Ser capaz de utilizar el teorema inverso del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo
3. Ser capaz de aplicar de forma correcta y flexible el Teorema de Pitágoras y su teorema inverso
Enfoque docente:
1. Aplicación del teorema inverso del teorema de Pitágoras
Dificultad de enseñanza: Demostración del teorema inverso del teorema de Pitágoras
Método de enseñanza: combinación de lectura y práctica
Proceso de enseñanza:
1. Preguntas de repaso
1. El lenguaje literal del Teorema de Pitágoras
2 El lenguaje simbólico geométrico del Teorema de Pitágoras
3.
4. Completa los espacios en blanco: Se sabe que las longitudes de los dos lados de un triángulo rectángulo son 5 y 12 respectivamente, entonces la longitud del tercer lado del triángulo es.
2. Importar nueva lección
El teorema de Pitágoras es una proposición. Toda proposición tiene una proposición inversa.
3. Explica la nueva lección
Expresión textual de la proposición inversa del teorema de Pitágoras: Si las longitudes de los tres lados del triángulo: a, byc están relacionadas , y a2 + b2 = c2, entonces Este triángulo es un triángulo rectángulo.
Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, y primero se debe demostrar la verdad o la falsedad.
Conocido: En ΔABC, AB=c, BC=a, CA=b y a2+b2=c2
Demuestra: ∠C=90?
Análisis: Para demostrar que un ángulo mide 90°, puedes demostrar AC⊥BC
También puedes usar el método del libro para demostrarlo y estudiarlo tú mismo
Demostrando se puede obtener lo contrario del teorema de Pitágoras. Es decir, es una proposición verdadera. Lo contrario del teorema de Pitágoras.
El lenguaje simbólico geométrico del teorema inverso del teorema de Pitágoras: en ΔABC ∵a2+b2=c2 (o c2-a2=b2)
∴∠C=90 (? Teorema de Pitágoras El teorema inverso)
Énfasis: Siempre que se cumpla la relación anterior, debe ser un triángulo rectángulo, el lado mayor es la hipotenusa y el ángulo que subtiende es un ángulo recto.
Por ejemplo, ¿pueden tres lados con longitudes 3, 4 y 5 formar un triángulo rectángulo?
Números colineales: Los tres enteros positivos que se pueden utilizar como longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se llaman números colineales (o cuerdas colineales)
Páginas 102-103 de el cuadernillo, en la definición Subrayado, completa la tarea 103, página 1 y página 3
Ejemplo 1 Los tres lados de ΔABC tienen los siguientes conjuntos de valores. Pueden formar un triángulo rectángulo. e indica cuál es el ángulo recto, de lo contrario ingresa "×"
(1) a=1, b= , c=1
(2) a=1.2, b. =1.6, c=2
(3) a:b:c=2: ：2
(4) a=n2-1, b=2n, c= n2+ 1(n > 1)
(5) a=2n2+1, b=2n2+2n, c=2mn(m>n) m y n son ambos enteros positivos
Solución (1) ∵12+12= ( )2 ∴ΔABC es un triángulo con ∠B como ángulo recto
(2)∵22-1.62=(2+1.6)(2 -1.6)= 1.44=(1.2)2
∵ ΔABC es un triángulo con ∠B como ángulo recto
(3) (4) (5) Solución omitida.
Énfasis: Para números más grandes, se puede utilizar la fórmula de diferencia cuadrada por simplicidad.
Ejemplo 2 Conocido: Como se muestra en la figura, AD=3, AB=4, ∠BAD=90, BC=12, CD=13,
Encuentra el área de cuadrilátero ABCD.
Análisis: Conecte BD, encuentre BD=5,
∵BD2+BC2=CD2∴∠CBD=90?
El área del ∴ cuadrilátero ABCD = el área de △ABD + el área de △BD
Solución: Ligeramente
Ejemplo 2 Conocido: Como se muestra en la figura, en ΔABC, CD es la altura del lado AB y CD2= AD2?BD
Demuestra: ΔABC es un triángulo rectángulo
Análisis. Para demostrar que ΔABC es un triángulo rectángulo
Simplemente prueba que AC2+BC2=AB2
En RtΔACD, ∵∠ACD=90?
∵AC2=AD2 +CD2
p>
De manera similar, podemos demostrar que BC2＝CD2＋BD2
∵AC2＋BC2＝AD2＋2CD2＋BD2
＝(AD＋BD)2
∵ΔABC es un triángulo rectángulo
p>Pida a los estudiantes que completen el proceso de demostración por sí mismos.