Una breve introducción a Fourier
El primer método de análisis es la convolución formada por la superposición de respuestas de impulso unitario.
La segunda es mediante series de Fourier y transformada de Fourier. Profundiza un poco más. ..
(1). Serie de Fourier
Para expresar la señal del sistema LTI como una combinación de señales básicas, estas señales básicas deben tener dos propiedades:
Los siguientes son ejemplos de tiempo continuo.
Encontrado:
1) La respuesta de la señal exponencial compleja e st en el sistema LTI es también la señal exponencial compleja h (s) e st, que satisface la segunda propiedad.
2) La propiedad 1 se puede determinar mediante la convergencia de las series de Fourier en el libro. Casi todas las señales periódicas se pueden representar mediante series de Fourier (prueba estricta de datos de autoestudio).
Estableciendo así el núcleo de la serie de Fourier, una señal periódica puede representarse mediante una combinación lineal de exponenciales complejas. Las exponenciales complejas se pueden expresar como funciones trigonométricas usando la fórmula de Euler, es decir, pueden estar compuestas por combinaciones lineales de seno y coseno.
(Ciencia popular: el orden correcto del descubrimiento científico es pensar primero en funciones trigonométricas y luego usar la forma exponencial compleja más conveniente después de la fórmula de Euler)
Acerca de la derivación de la Fórmula: lectura directa, corte Sin dificultad.
Después de comprenderlo, algunas propiedades se pueden verificar a través de mi propia deducción, aunque soy demasiado vago para recordar muchas directamente. .
Suplemento: una comprensión más vívida de por qué cualquier forma de onda se puede representar mediante una exponencial compleja, que se puede obtener mediante la superposición de seno (coseno). La forma exponencial compleja puede reemplazar perfectamente el seno y el coseno.
Si dijera que puedo superponer una onda rectangular y la onda sinusoidal mencionada anteriormente para formar un ángulo de 90 grados, ¿lo creerías? No lo harás, como yo. Pero mira la imagen a continuación:
Después de hablar de funciones periódicas, se pueden representar mediante convolución o series de Fourier. ¿Qué pasa con las funciones no periódicas?
Idea básica: en el límite de T→infinito, trate una señal no periódica como una señal periódica.
Creo que el proceso de derivación en el libro es muy natural... y luego la expresión generalizada.
...Igual que las propiedades anteriores
Una señal tiene un diagrama en el dominio de la frecuencia y un diagrama en el dominio del tiempo, que son simplemente manifestaciones diferentes de la misma cosa.
¡Lo mejor de la transformada de Fourier es que puede convertir entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia!
Aquí hay un gráfico:
En estos gráficos, la línea negra en el frente es la suma de todas las ondas sinusoidales, que es un gráfico que se acerca cada vez más a un rectángulo. ola. Las ondas sinusoidales dispuestas en diferentes colores son los componentes básicos de las ondas rectangulares. Estas ondas sinusoidales están dispuestas de adelante hacia atrás en orden de baja a alta frecuencia, y cada onda tiene una amplitud diferente.
Podemos observar la onda rectangular, otra manifestación de ella en el dominio de la frecuencia:
¿Qué es esta cosa extraña?
Así es como se ve una onda rectangular en el dominio de la frecuencia. ¿Estás completamente irreconocible? Los libros de texto suelen dar la información aquí y luego dejan a los lectores con ensoñaciones interminables y quejas interminables. De hecho, basta con agregar una imagen al libro de texto: la imagen en el dominio de la frecuencia, también llamada espectro, es——
La relación entre la imagen en el dominio de la frecuencia y la imagen en el dominio del tiempo que se ve en la pregunta es salsa~
Observaciones:
¿Para qué sirve el análisis de Fourier?
Permítanme hablar del uso más directo. Ya sea escuchando la radio o viendo la televisión, debemos estar familiarizados con una palabra: canal. Canal Un canal es un canal de frecuencia. Diferentes canales utilizan diferentes frecuencias como canal para transmitir información. Probemos una cosa:
Primero dibuja un pecado (x) en el papel. Puede que no sea estándar, pero el significado es similar. No es tan difícil.
Bien, dibujemos una gráfica de sin(3x)+sin(5x).
No digas que los estándares no son estándar. No necesariamente se dibuja una curva cuando sube o baja, ¿verdad?
Bueno, no importa si no puedes dibujarlo. Te daré la curva de sen(3x)+sen(5x), pero sólo si no conoces la ecuación de esta curva. Ahora necesito que elimines sin(5x) de la imagen y veas lo que queda. Esto es básicamente imposible.
Pero ¿qué pasa en el dominio de la frecuencia? Es muy sencillo, sólo unas pocas líneas verticales.
Por lo tanto, muchas operaciones matemáticas que parecen imposibles en el dominio del tiempo pueden revertirse fácilmente en el dominio de la frecuencia. Aquí es donde se necesita la Transformada de Fourier. En particular, eliminar ciertos componentes de frecuencia de una curva, lo que en ingeniería se llama filtrado, es uno de los conceptos más importantes en el procesamiento de señales y sólo se puede lograr fácilmente en el dominio de la frecuencia.
Hablemos de un uso más importante, pero un poco más complicado: resolver ecuaciones diferenciales. No necesito introducir demasiado la importancia de las ecuaciones diferenciales. Se utiliza en todos los ámbitos de la vida. Pero resolver ecuaciones diferenciales es algo problemático. Porque además de calcular sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, también necesitamos calcular cálculo diferencial e integral. La transformada de Fourier puede convertir diferenciales e integrales en multiplicación y división en el dominio de la frecuencia, y las matemáticas universitarias pueden convertirse instantáneamente en aritmética de escuela primaria.