La proporción áurea, quiero una prueba completa y el número irracional calculado {ejemplo}
La sección áurea
Divide un segmento de recta en dos partes, de modo que la relación entre una parte y la longitud total es igual a la relación entre la otra parte y esta parte. La razón es un número irracional y el valor aproximado de los primeros tres dígitos es 0,618. Debido a que la forma diseñada de acuerdo con esta proporción es muy hermosa, se la llama sección áurea, también conocida como la proporción entre el interior y el exterior. Este es un número muy interesante. Usamos 0.618 para aproximarlo y podemos encontrarlo mediante un cálculo simple:
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618.
El papel de este valor no sólo se refleja en campos del arte como la pintura, escultura, música, arquitectura, etc., sino que también juega un papel importante en la gestión, el diseño de ingeniería, etc.
Comencemos primero con una secuencia. Sus primeros números son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... este El nombre. de la secuencia es "Secuencia de Fibonacci", y estos números se llaman "Números de Fibonacci". La característica es que a excepción de los dos primeros números (que tienen un valor de 1), cada número es la suma de los dos números anteriores.
¿Cuál es la relación entre la secuencia de Fibonacci y la sección áurea? Las investigaciones han descubierto que la proporción de dos números de Fibonacci adyacentes se acerca gradualmente a la proporción áurea a medida que aumenta el número de secuencia. Es decir, f(n)/f(n-1)-→0.618…. Dado que los números de Fibonacci son todos números enteros, el cociente de dividir dos números enteros es un número racional, por lo que solo se acerca gradualmente al número irracional de la proporción áurea. Pero cuando continuamos calculando los números de Fibonacci posteriores más grandes, encontraremos que la proporción de dos números adyacentes es de hecho muy cercana a la proporción áurea.
Un ejemplo muy ilustrativo es la estrella de cinco puntas/pentágono regular. Las estrellas de cinco puntas son muy hermosas. Hay cinco en la bandera nacional de nuestro país. Muchos otros países también usan estrellas de cinco puntas en sus banderas nacionales. Porque la relación de longitud entre todos los segmentos de línea que se pueden encontrar en la estrella de cinco puntas es consistente con la proporción áurea. Todos los triángulos que aparecen después de conectar las diagonales de un pentágono regular son triángulos de sección áurea.
Dado que el ángulo superior de la estrella de cinco puntas es de 36 grados, también se puede concluir que el valor de la sección áurea es 2Sin18.
La sección áurea es aproximadamente igual a 0.618:1
Se refiere a dividir un segmento de recta en dos partes, de modo que la relación entre la longitud del segmento de recta original y el más largo parte es la sección áurea. Hay dos de esos puntos en el segmento de recta.
Usando los dos puntos dorados del segmento de recta, puedes hacer una estrella regular de cinco puntas o un pentágono regular.
Hace más de 2.000 años, Eudoxo, el tercer mayor matemático de la Escuela de Atenas en la antigua Grecia, propuso por primera vez la sección áurea. La llamada sección áurea se refiere a dividir un segmento de recta de longitud L en dos partes, de modo que la proporción de una parte con respecto al todo sea igual a la proporción de la otra parte con esa parte. La forma más sencilla de calcular la sección áurea es calcular la proporción de los dos últimos números de la secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... 2/3, 3/5, 4/ 8 ,8/13,13/21,... Valores aproximados.
La sección áurea fue introducida en Europa a través de los árabes antes y después del Renacimiento, y fue bien recibida por los europeos. Lo llamaron el "método áureo". Un matemático europeo en el siglo XVII incluso lo llamó "El". algoritmo más valioso entre todos los algoritmos". Este algoritmo se denomina "método de las tres tasas" o "regla de los tres números" en la India, que es lo que ahora llamamos a menudo método proporcional.
De hecho, nuestro país también cuenta con registros sobre la “sección áurea”. Aunque no es tan antiguo como la antigua Grecia, fue creado de forma independiente por antiguos matemáticos chinos y luego introducido en la India. Después de la investigación. El algoritmo proporcional europeo se originó en mi país y se introdujo en Europa desde Arabia a través de la India, en lugar de introducirse directamente desde la antigua Grecia.
Debido a que tiene valor estético en las artes plásticas, en el diseño largo y ancho de artes y artesanías y en las necesidades diarias, el uso de esta proporción puede despertar el sentido de belleza de las personas. También se usa ampliamente en la vida real. , como los edificios, la sección áurea se utiliza científicamente para la proporción de algunos segmentos de línea en el escenario. El locutor en el escenario no se encuentra en el centro del escenario, sino en un lado del escenario. el punto de la sección dorada de la longitud del escenario es el más hermoso y el sonido es el mejor difundido. Incluso en el mundo vegetal, hay lugares donde se utiliza la sección áurea. Si miras hacia abajo desde la punta de una ramita, verás que las hojas están dispuestas según las reglas de la sección áurea.
En muchos experimentos científicos, se usa comúnmente un método 0.618 para seleccionar un plan, es decir, el método de optimización, que nos permite organizar racionalmente un número menor de pruebas para encontrar condiciones de proceso occidentales razonables y adecuadas. Precisamente porque tiene amplias e importantes aplicaciones en la arquitectura, la literatura y el arte, la producción industrial y agrícola y los experimentos científicos, la gente la llama preciosamente la "sección áurea".
La Sección Áurea es una relación matemática proporcional. La sección áurea tiene proporciones estrictas, arte y armonía, y contiene un rico valor estético. Cuando se aplica, generalmente se considera 0,618, al igual que la relación pi se considera 3,14 cuando se aplica.
La proporción entre el largo y el ancho del Rectángulo Áureo es la proporción áurea. En otras palabras, el lado largo del rectángulo es 1.618 veces el lado corto. La proporción áurea y el rectángulo áureo pueden aportar belleza. a la imagen y hacer feliz a la gente. Se puede encontrar en muchas obras de arte, así como en la naturaleza. El Templo de Passa en Atenas, Grecia, es un buen ejemplo. Su "Hombre de Vitruvio" se ajusta al rectángulo dorado. El rostro de "Mona Lisa" también coincide con el rectángulo áureo, "La Última Cena" también aplica este diseño proporcional
Descubriendo la historia
Porque los pitagóricos en la antigua Grecia. Siglo VI aC estudió la ortodoxia Dibujo de pentágonos y decágonos regulares, los matemáticos modernos infieren que los pitagóricos habían tocado o incluso dominado la sección áurea en ese momento.
En el siglo IV a.C., el antiguo matemático griego Eudoxo fue el primero en estudiar sistemáticamente este problema y establecer la teoría de la proporción.
Cuando Euclides escribió "Elementos" alrededor del año 300 a. C., absorbió los resultados de la investigación de Eudoxo y siguió discutiendo sistemáticamente la sección áurea, convirtiéndose en el primer tratado sobre la sección áurea.
Después de la Edad Media, la sección áurea quedó envuelta en un misterio. Varios pintores italianos, Pacioli, llamaron a la proporción media una proporción sagrada y escribieron libros específicamente sobre ella. El astrónomo alemán Kepler llamó a la sección áurea la sección divina.
No fue hasta el siglo XIX cuando el nombre de sección áurea se fue popularizando paulatinamente. La sección áurea tiene muchas propiedades interesantes y sus aplicaciones prácticas también están muy extendidas. El ejemplo más famoso es el método de la sección áurea o método 0,618 en optimización, propuesto por primera vez por el matemático estadounidense Kiefer en 1953 y popularizado en China en la década de 1970.
|.........un..........|
+----------- - -+-------+ -
| >
| -+--------+ -
|...b...|..a-b...|
Usualmente usa letras griegas para representar este valor. .
Lo maravilloso de la sección áurea es que su proporción es la misma que su recíproco. Por ejemplo: el recíproco de 1,618 es 0,618 y 1,618:1 es lo mismo que 1:0,618.
El valor exacto es (√5-1)/2
La sección áurea es un número irracional, y los primeros 1024 dígitos son:
0,6180339887 53 86891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 7116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
94 71234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 >9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5922...
Aplicación a la vida
Lo interesante es que este número se puede ver en todas partes en la naturaleza y en la vida de las personas: el ombligo de las personas es la sección áurea de la longitud total del cuerpo humano, y las rodillas de las personas son la sección áurea. desde el ombligo hasta el talón. La relación ancho-largo de la mayoría de puertas y ventanas también es 0,618...; en algunos tallos de plantas, el ángulo entre dos pecíolos adyacentes es 137 grados 28', que es exactamente el ángulo entre los dos radios que dividen la circunferencia en 1:0.618... Según las investigaciones, este ángulo tiene los mejores efectos de ventilación e iluminación para las plantas.
Los arquitectos son especialmente aficionados a las matemáticas 0.168..., ya sean las pirámides del antiguo Egipto, la catedral de Notre Dame en París o la Torre Eiffel en Francia en el último siglo, existen datos relacionados con 0,168.... La gente también ha descubierto que los temas de algunas pinturas, esculturas y fotografías famosas se encuentran principalmente en 0,168... de la imagen. Los artistas creen que colocar el puente de un instrumento de cuerda a 0,168... de las cuerdas puede hacer que el sonido sea más suave y dulce.
El número 0,168... es de mayor preocupación para los matemáticos. Su aparición no sólo resuelve muchos problemas matemáticos (tales como: dividir la circunferencia en diez y cinco partes iguales; encontrar el seno y el coseno de ángulos de. 18 grados y 36 grados), etc.), y también hace posible el método de optimización. El método de optimización es un método para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, al fabricar acero, es necesario agregar un determinado elemento químico para aumentar la resistencia del acero. Supongamos que la cantidad de un determinado elemento químico que se agregará a cada tonelada de acero está entre 1000 y 2000 gramos. para encontrar la cantidad más adecuada es necesario La prueba se realizó en el rango de 1000g y 2000g. Normalmente, para la prueba se toma el punto medio del intervalo (es decir, 1500 gramos). Luego compare los resultados de la prueba con los resultados experimentales con 1000 gramos y 2000 gramos respectivamente, seleccione los dos puntos con mayor intensidad como el nuevo intervalo, luego tome el punto medio del nuevo intervalo para la prueba y luego compare los puntos finales, y así sucesivamente hasta Obtienes resultados óptimos. Este método experimental se llama método de bisección. Sin embargo, este método no es el método experimental más rápido. Si el punto experimental se toma en 0,618 del intervalo, el número de experimentos se reducirá considerablemente. Este método de tomar 0,618 del intervalo como punto de prueba es el método de optimización unidimensional, también llamado método 0,618. La práctica ha demostrado que para un problema de factores, utilizar el "método 0,618" para 16 pruebas puede lograr el mismo efecto que el "método de bisección" para 2500 pruebas. Por eso, el gran pintor Leonardo da Vinci llamó al 0,618... el número de oro.
0.618 y Guerra: ¿Napoleón el Grande fue derrotado por la Sección Áurea?
0,618 es un número extremadamente fascinante y misterioso, y también tiene un nombre muy hermoso: la sección áurea. Fue inventado por Pitágoras, un famoso filósofo y matemático griego antiguo, descubierto hace más de 2500 años. antes. A lo largo de los siglos, las generaciones futuras han considerado este número como la regla de oro de la ciencia y la estética. En la historia del arte, casi todas las obras destacadas han verificado unánimemente esta famosa proporción áurea, ya sea el Partenón de la antigua Grecia o los guerreros y caballos de terracota de la antigua China, existe una diferencia inesperada entre sus líneas verticales y horizontales. con una proporción de 1 a 0,618.
Quizás ya sabemos mucho sobre el desempeño del 0.618 en la ciencia y el arte, pero ¿has oído que el 0.618 también está relacionado con los trágicos y crueles campos de batalla donde el fuego de artillería, el humo y la carne y la sangre son ¿En todas partes? Con un vínculo indisoluble, ¿también muestra su enorme y misterioso poder en el ejército?
0.618 y armas y equipo
En la era de las armas frías, aunque la gente no conocía en absoluto el concepto de la proporción áurea, cuando la gente fabricaba espadas, espadas, lanzas y otras armas. , oro La ley de la proporción de división también se ha reflejado en todas partes, porque las armas fabricadas de acuerdo con tales proporciones serán más fáciles de usar.
Cuando se fabricó por primera vez el rifle que disparaba balas, la relación de longitud de su mango con respecto al cuerpo del arma era muy poco científica y razonable, lo que hacía que fuera muy incómodo sostenerlo y apuntar. En 1918, un cabo de la Fuerza Expedicionaria Estadounidense llamado Alvin York modificó este rifle. La proporción entre el cuerpo mejorado y la empuñadura coincidía exactamente con la proporción de 0,618.
De hecho, desde la curvatura del filo del sable hasta la cúspide de las balas, proyectiles de artillería y misiles balísticos que vuelan a lo largo de la trayectoria desde la altura y el ángulo óptimos de bombardeo cuando el avión entra en el bombardeo en picado; estado, al diseño del armazón del tanque. Al considerar la pendiente óptima para evitar balas, podemos encontrar fácilmente que la proporción áurea está en todas partes.
En el tiro de artillería, si una determinada artillería indirecta tiene un alcance máximo de 12 kilómetros y un alcance mínimo de 4 kilómetros, su distancia de disparo óptima es de unos 9 kilómetros, que es 2/3 del alcance máximo. Muy cerca de 0,618. Al desplegarse para el combate, si se trata de una batalla ofensiva, la posición de artillería debe colocarse a 1/3 del alcance máximo de disparo desde la propia línea del frente. Si es una batalla defensiva, la posición de artillería debe colocarse a 2/3 veces. el alcance máximo de tiro lejos de la propia línea del frente.
0.618 y formación táctica
En algunas guerras ocurridas muy tempranamente en la historia de nuestro país se siguió la ley del 0.618.
Durante el período de primavera y otoño y el período de los Estados Combatientes, Jin Ligong dirigió su ejército para atacar a Zheng y tuvo una batalla decisiva con el ejército de Chu que estaba ayudando a Zheng en Yanling. El duque Li siguió el consejo del rebelde Chu Miao Benhuang e hizo del ejército derecho de Chu el principal punto de ataque. Por lo tanto, usó una parte del ejército central para atacar al ejército izquierdo del ejército Chu; Ejército El ejército, el nuevo ejército y los soldados del clan público atacaron al ejército derecho de Chu. La elección de su principal punto de ataque está justo en la sección áurea.
La serie de batallas comandadas por Genghis Khan debe considerarse la operación militar más destacada que encarna la ley de la sección áurea en la guerra. Durante cientos de años, la gente se ha preguntado por qué la caballería mongola de Genghis Khan podía atravesar el continente euroasiático como un huracán que barre las hojas caídas. Esto se debe a que sólo confiaban en la ferocidad, la crueldad, la astucia, la buena equitación y el tiro con arco de los nómadas. y la movilidad de la caballería. Las razones no son suficientes para dar una explicación completamente convincente. ¿Quizás haya otras razones más importantes? Después de un cuidadoso estudio, descubrí el gran papel de la ley de la sección áurea. La formación de batalla de la caballería mongol es muy diferente de la falange occidental tradicional. En su formación de 5 filas, la proporción entre caballería pesada con cascos y chalecos humanos y caballería ligera rápida y ágil es 2:3. ! No puedes evitar admirar el genio del estratega militar a caballo. Sería extraño si un ejército liderado por un comandante tan genio no dominara el mundo y fuera invencible.
La batalla de Abela entre Macedonia y Persia es un ejemplo relativamente exitoso de cómo los europeos utilizaron 0,618 en la guerra. En esta batalla, Alejandro Magno de Macedonia eligió el punto de ataque de su ejército en el ala izquierda y cruce central del ejército del rey Darío de Persia. Casualmente, esta parte resultó ser el "punto dorado" de toda la línea de batalla, por lo que aunque el ejército persa era docenas de veces más grande que las tropas de Alejandro, Alejandro confió en su sabiduría estratégica para derrotar al ejército persa. El profundo impacto de esta guerra todavía es claramente visible hoy en la Guerra del Golfo, las fuerzas multinacionales utilizaron una formación similar para derrotar al ejército iraquí.
Cuando dos ejércitos están luchando, si uno de ellos pierde más de 1/3 de sus tropas y armas, será difícil luchar contra el otro bando. Debido a esto, en las guerras modernas de alta tecnología, los principales países militares con armas y equipos de alta tecnología adoptan ataques aéreos a largo plazo para destruir completamente más de 1/3 de las tropas y armas del oponente y luego lanzan ataques terrestres. Tomemos como ejemplo la Guerra del Golfo. Antes de la guerra, los expertos militares estimaron que si el equipo y el personal de la Guardia Nacional y la Guardia Nacional sufrieran pérdidas del 30% o más debido a bombardeos aéreos, básicamente perderían su efectividad en el combate. Para llevar las pérdidas del ejército iraquí a este punto crítico, las fuerzas de la coalición estadounidense y británica ampliaron repetidamente el tiempo de bombardeo, que duró 38 días, hasta destruir el 38% de los 428 tanques, el 32% de los 2.280 vehículos blindados y 3.100 piezas de artillería en el teatro. 47% En este momento, la fuerza del ejército iraquí se redujo a aproximadamente el 60%. Este es el punto crítico cuando el ejército pierde su efectividad en el combate. Es decir, después de debilitar la fuerza militar iraquí a la sección dorada, las fuerzas de la coalición estadounidense y británica sacaron el "Desert Sabre" y atacaron a Saddam. Sólo se necesitaron 100 horas de combate terrestre para lograr el objetivo de la guerra. En esta guerra conocida como "Tormenta del Desierto", el general Schwarzkopf, que creó el milagro de matar solo a más de cien personas en una batalla, no era un maestro, pero su suerte fue casi la misma que la de todos los demás. de las artes militares. De hecho, lo que realmente importa no es la suerte, sino que el comandante en jefe de un ejército moderno involucró accidentalmente a 0,618 en la planificación de la guerra. En otras palabras, fue más o menos bendecido por la ley de la sección áurea.
Además, en las guerras modernas, los ejércitos de muchos países suelen llevar a cabo tareas ofensivas específicas en escalones. La fuerza del primer escalón representa aproximadamente 2/3 de la fuerza total y la fuerza del segundo. segundo escalón Aproximadamente 1/3. En el primer escalón, las tropas invertidas en la dirección de ataque principal suelen ser 2/3 de la fuerza total del primer escalón, y la dirección de asistencia es 1/3. En una batalla defensiva, la fuerza de la primera línea de defensa suele ser 2/3 del número total, y la fuerza y las armas de la segunda línea de defensa suelen ser 1/3 del número total.
0.618 y batallas estratégicas
0.618 no solo se refleja en armas y formaciones de campo de batalla en un momento y lugar, sino que también se demuestra plenamente en guerras macroscópicas con vastas áreas y largos períodos de tiempo. .
El heroico Emperador Napoleón quizás nunca imaginó que su destino estaría estrechamente ligado al 0.618.
En junio de 1812, era la temporada de verano más fresca y agradable en Moscú. Después de que la Batalla de Borodino no logró eliminar la fuerza efectiva del ejército ruso, Napoleón dirigió su ejército a Moscú en ese momento. En ese momento, era muy ambicioso y arrogante. No se dio cuenta de que el genio y la suerte estaban desapareciendo de él poco a poco en ese momento, y que la cima y el punto de inflexión de la carrera de su vida estaban llegando al mismo tiempo. Más tarde, el ejército francés evacuó Moscú desesperado en medio de fuertes nevadas y un fuerte viento frío. Tres meses de marcha victoriosa y dos meses de prosperidad y decadencia. Mirando la línea de tiempo, cuando el emperador francés miró hacia la ciudad de Moscú a través de las llamas ardientes, estaba pisando la sección dorada.
El 22 de junio de 1941, la Alemania nazi lanzó el plan "Barbarroja" contra la Unión Soviética e implementó una guerra relámpago que en muy poco tiempo ocupó rápidamente el vasto territorio de la Unión Soviética y continuó. para avanzar más profundamente en el país. Durante más de dos años, el ejército alemán mantuvo su impulso ofensivo hasta que en agosto de 1943, cuando terminó la Operación Barbarroja, el ejército alemán se puso a la defensiva y ya no pudo lanzar la llamada ofensiva contra el ejército soviético. operaciones. La Batalla de Stalingrado, reconocida por todos los historiadores de la guerra como el punto de inflexión de la Guerra Patriótica Soviética, tuvo lugar 17 meses después del estallido de la guerra. Fue la sección dorada de la cronología de 26 meses del ascenso y declive del ejército alemán.
A menudo escuchamos el término "sección áurea". Por supuesto, "sección áurea" no se refiere a cómo dividir el oro. Es una metáfora, lo que significa que la proporción de división es tan preciosa como el oro. . Entonces, ¿cuál es esta proporción? es 0,618. La gente llama al punto divisorio de esta proporción el punto de la sección áurea, y 0,618 se llama el número áureo. Y la gente piensa que si cumple con esta proporción, se verá más bonito, más bonito y más coordinado. En la vida, hay muchas aplicaciones de la "sección áurea".
El cuerpo humano más perfecto: la distancia desde el ombligo hasta las plantas de los pies/la distancia desde la coronilla hasta las plantas de los pies=0,618
El cuerpo humano más perfecto rostro hermoso: la distancia desde las cejas hasta el cuello/la distancia desde la parte superior de la cabeza hasta el cuello = 0,618
Método de prueba:
Supongamos que la longitud de un segmento de línea AB es a, el punto C está en el punto de la sección áurea cerca del punto B y AC es b
AC/ AB=BC/AC
b^2=a*(a-b)
b^2=a^2-ab
a^-ab+(1 /4)b^2=(5/4)*b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
a-b/2= (raíz 5/2)*b
a-b/2=(raíz 5 )b/2
a=b/2+(raíz 5)b/2
a=b(raíz 5+1)/2
a /b=(raíz 5+1)/2