Preguntas clásicas de la escuela secundaria sobre el teorema proyectivo similar de triángulos rectángulos (con soluciones)

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La

proyección destacada es la proyección ortográfica. El pie vertical desde un punto hasta un vértice perpendicular al fondo se llama. apunte a la proyección ortográfica en esta línea. El segmento de línea entre las proyecciones ortográficas de los dos puntos finales de un segmento de línea en una línea recta se llama proyección ortográfica del segmento de línea en la línea recta, que es el teorema de proyección.

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Teorema de proyección de un triángulo rectángulo

Teorema de proyección de un triángulo rectángulo (también llamado teorema de Euclides): En un ángulo rectángulo triángulo, la altura sobre la hipotenusa es el promedio proporcional de las proyecciones de los dos ángulos rectos sobre la hipotenusa. Cada lado rectángulo es la mediana de la relación entre la proyección del lado rectángulo sobre la hipotenusa y la hipotenusa.

La fórmula es la que se muestra en la figura. En Rt△ABC, ∠BAC = 90°, AD es la altura sobre la hipotenusa BC, entonces el teorema de proyección es el siguiente:

(1)(AD)^2=BD? CC,

(2)(AB)^2=BD? antes de Cristo,

(3)(AC)^2=CD? 200 aC.

Demuestra que en △BAD y △ACD, ∠ B+∠ C = 90, ∠ DAC+∠ C = 90, ∠ BDA = DC.

Nota: El teorema de Pitágoras también se puede demostrar mediante el teorema de proyección mencionado anteriormente. Según la fórmula (2)+(3):

(AB)^2+(AC)^2=BD? ¿BC+CD? BC =(BD+CD)? BC=(BC)^2,

Es decir, (AB) 2+(AC) 2 = (BC) 2.

Esta es la conclusión del Teorema de Pitágoras.

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El teorema de proyección de cualquier triángulo

El teorema de proyección de cualquier triángulo también se llama "teorema del primer coseno";

Supongamos que los tres lados de ⊿ABC son a, byc, y los ángulos que enfrentan son a, byc respectivamente, entonces, ¿hay

a=b? cosC+c? cosB,

b=c? cosA+a? cosC,

c=a? cosB+b? cosA .

Nota: Utilice "A = B? cosC+c? CosB", por ejemplo, la proyección de B y C sobre A es B? cosC,c? CosB, de ahí el nombre Teorema de proyección.

Prueba 1: Supongamos que la proyección del punto A en la recta BC es el punto D, entonces las proyecciones de AB y AC en la recta BC son BD y CD respectivamente, y

BD=c ? cosB, CD=b? cosC,∴a=BD+CD=b? cosC+c? CosB. El resto es igualmente demostrable.

Prueba 2: Del teorema del seno, podemos obtener: b=asinB/sinA, c = asinc/sinA = asin(a+b)/sinA = a(sinA cosb+cosa sinb)/sinA .

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a? cosB+b? CosA. El resto es igualmente demostrable.