No soy bueno en matemáticas. ¿Qué debo hacer? (Si eres bueno, obtendrás puntos de bonificación).
Respecto a las matemáticas, debes memorizar y comprender la siguiente fórmula: No existe una fórmula para el método del doble cruzado, si es que debes decirla.
Simplemente usa x 2+(p+q) x+PQ = (x+q) (x+p) donde PQ es una constante. X 2 es x al cuadrado.
1. Descomposición factorial
Es decir, producto suma y diferencia, el resultado final se debe descomponer hasta que no se pueda dividir más. Y es seguro que si un polinomio se puede descomponer en factores, entonces el resultado será único, porque: Si se excluye el polinomio f(x) con grado mayor que cero en el campo numérico f, entonces f(x) puede ser descompuesto únicamente en la siguiente forma:
F(x)= AP 1k 1(x)p2k 2(x)…PIKI(x)*, donde α es el coeficiente del término más alto de f(x ), P1 (x), P2 (x) … PI (x) es el 65438.
(*) también se denomina descomposición típica del polinomio f(x). Prueba: Ver Gaudai P52-53.
En matemáticas elementales, la descomposición de polinomios se llama factorización. Los pasos generales son: una mención, dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
El requisito es: hasta que sean inseparables.
2. Introducción al método
2.1 Método del factor común:
Si cada término del polinomio tiene un factor común, primero puedes considerar proponer el factor común y Factorízalo y observa que cada término debe tener un factor común.
Ejemplo 15x3+10x2+5x
Obviamente cada término contiene un factor común 5x. Puedes considerar extraer el factor común 5x, y el resto x2+2x+1 aún se puede descomponer. .
Solución: Fórmula original =5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2 Método de la fórmula
Es decir, si el polinomio satisface las características estructurales de una fórmula especial, se puede factorizar mediante un conjunto de fórmulas, por lo que se requiere estar familiarizado con algunas fórmulas de uso común. Además de las fórmulas básicas de los libros de texto, algunas fórmulas básicas que suelen aparecer en los concursos de matemáticas se resumen a continuación:
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2 2ab+b2= (a b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2)
p>a3 3a2b+3ab2 b2=(a b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a 12+a22+…+an2+2a 1 a2+…+2an-1an =(a 1+a2+…+an)2
a3+B3+C3-3 ABC =(a +b+c)( a2+B2+C2-a B- AC-BC)
an+bn =(a+b)(an-1-an-2 b+…+bn-1) (n es un número impar)
Explique el teorema factorial, es decir, para un polinomio de una variable f(x), si f(b)=0, debe contener un factorial lineal x-b. Se puede juzgar que cuando n es un número par, cuando a = b, a =- Cuando b, hay an-bn = 0, por lo que an-bn debe contener factores a + b y a-b.
Ejemplo 2 factorización: ①64x 6-y 12 ②1+x+x2+…+x 15.
Podrás aplicar fórmulas para analizar diversas pequeñas cuestiones.
Solución ①64x 6-y 12 =(8x 3-y6)(8x 3+y6)
=(2x-y2)(4x 2+2x 2+y4)(2x +y2)(4x 2-2x 2+y4)
②1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4 )(1+x8)
Al prestar atención a la descomposición polinomial, primero construya la fórmula y luego descompóngala.
2.3 Método de descomposición por agrupación
Cuando el número de términos en el polinomio es grande, los polinomios se pueden agrupar razonablemente para lograr una descomposición suave. Por supuesto, también se pueden combinar otros submétodos y el método de agrupación no es necesariamente único.
Ejemplo 1 factor de descomposición: x 15+m 12+M9+M6+M3+1.
Resolver fórmula=(x 15+m 12)+(M9+M6)+(M3+1)
= m 12(m3+1)+M6(m3+1 )+(m3+1)
=(m3+1)(m 12+M6 ++ 1)
=(m3+1)[(M6+1)2- M6]
=(m+1)(m2-m+1)(M6+1+m3)(M6+1-m3)
Ejemplo 2 Factorización: x4 +5x3 +15x-9
Los análisis se pueden agrupar según las características de los coeficientes.
Resolver fórmula=(x4-9)+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4 Multiplicación cruzada
Para trinomios cuadráticos con características estructurales ax2+bx+c, se puede considerar la multiplicación cruzada,
Es decir, x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c) Cuando el coeficiente del término x2 no es 1, también se puede realizar la multiplicación cruzada.
Ejemplo 3 factores de descomposición: ①x2-x-6②6x2-x-12
Solución ①1x2
1x-3
Fórmula original = (x+2)(x-3)
②2x-3
3x4
Fórmula original =(2x-3)(3x+4)
p>Nota: Este método también se puede considerar para el tipo "ax4+bx2+c".
2.5 Multiplicación cruzada por pares
La multiplicación cruzada es un método básico comúnmente utilizado en la descomposición de trinomios cuadráticos. Para polinomios más complejos, especialmente algunas sextuplas cuadráticas, como 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3, también se puede utilizar la factorización por multiplicación cruzada. Los pasos específicos son los siguientes:
(1) Realice una descomposición de multiplicación cruzada en el trinomio cuadrático compuesto por las tres primeras veces para obtener un diagrama de multiplicación cruzada.
(2) Descomponga el término constante en dos factores y complete el lado derecho del segundo cruce de modo que la suma de los productos de los dos factores en el segundo cruce sea igual a Y en la fórmula original Al mismo tiempo, la suma de los productos de la intersección de los dos factores en el lado izquierdo de la primera cruz debe ser igual al término lineal que contiene X en la fórmula original.
Ejemplo 5 Factorización
①4x 2-4xy-3 y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y 2+x+9y-2
③a b+ B2+a-b-2④6x 2-7xy-3 y2-xz+7yz-2z 2
Solución ①Fórmula original=(2x-3y+1)(2x+y-3)
2x-3y1
2xy-3
②Fórmula original=(x-5y+2)(x+2y-1)
x- 5y2
x2y-1
③Fórmula original=(b+1)(a+b-2)
0ab1
ab -2
④Fórmula original=(2x-3y+z)(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
Nota: El tipo ③ se puede complementar con oa2 y se puede utilizar la multiplicación cruzada doble. Por supuesto, estas preguntas también se pueden agrupar.
Por ejemplo (A b+ A)+(B2-B-2)= A(B+1)+(B+1)(B-2)=(B+1)(A+B - 2).
Las tres letras de la fórmula (4) satisfacen la fórmula cuadrática de seis términos, y -2z2 puede considerarse como una descomposición constante:
2.6 Método de desmontaje y método de suma
p>
Para algunos polinomios, si no es posible factorizar directamente, se puede factorizar un término en la diferencia o suma de dos términos. Luego use el método de agrupación y el método de fórmula para descomponer los factores. El método de dividir los términos aditivos no es único y hay muchas formas diferentes de resolverlo. Asegúrese de analizar el problema específicamente y elija un método de descomposición simple.
Ejemplo 6 Factor de descomposición: x3+3x2-4
Método de análisis 1: -4 se puede descomponer en -1, -3 es (x3-1)+(3x2-3 ).
Método 2: Suma x4 y resta x4, es decir (x4+3x2-4)+(x3-x4).
Método 3: Sumar 4x, restar 4x, es decir (x3+3x2-4x)+(4x-4).
Método 4: Dividir 3x2 en 4x2-x2, es decir (x3-x2)+(4x2-4).
Método 5: Dividir x3 en 4x2-3x3 (4x3-4)-(3x3-3x2) y así sucesivamente.
Solución (opción 4) fórmula original = x3-x2+4x2-4
= x2(x-1)+4(x-1)(x+1) p>
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2.7 Método alternativo< /p >
El método de sustitución introduce nuevas variables de letras, reemplaza las variables de letras en la fórmula original y simplifica la fórmula. Utilice esto
Este método puede simplificar la factorización de algunos polinomios especiales.
Ejemplo 7 Factorización:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
Sí, esto Ser muy tedioso de analizar, pero observamos que
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+ 3)= x2+5x+6
Por lo tanto, se puede utilizar el método de sustitución para descomponer este problema.
Resolver fórmula = (x2+5x+4)(x2+5x+6)-120.
Supongamos y=x2+5x+5, entonces la fórmula original =(y-1)(y+1)-120.
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6 )
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
Nota: También puedes usar x2+5x+4=y o x2+5x aquí +6=y o x2+5x=y. Compare cuidadosamente qué método es más simple.
2.8 Método del coeficiente indeterminado
El método del coeficiente indeterminado es un método importante para resolver la deformación de constantes algebraicas. Si se puede determinar el marco de letras después de la deformación algebraica, pero el coeficiente de letras es demasiado alto para determinarlo, primero puede usar números desconocidos para representar los coeficientes de letras y luego enumerar N ecuaciones (grupos) con coeficientes de determinación especiales basados en las propiedades de constantes polinómicas y resolver el sistema de ecuaciones (grupo) para obtener los coeficientes indeterminados. El método de los coeficientes indeterminados se utiliza ampliamente y aquí sólo se estudian algunas aplicaciones de su factorización.
Ejemplo 7 factorización: 2a2+3ab-9b2+14a+3b+20.
El análisis pertenece a la fórmula cuadrática de seis términos, y también se puede considerar la multiplicación cruzada doble. Aquí utilizamos el método del coeficiente indeterminado.
Primero descomponga 2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b).
La solución se puede establecer como la fórmula original = (2a-3b+m)(a+3b+n)
= 2 a2+3 ab-9 B2+(m+ 2n)a+ (3m-3n)b+ Mn…………
Compara los coeficientes de dos polinomios (es decir, la fórmula original y la * fórmula)
m+2n=14( 1)m=4
3m-3n=-3(2)=
mn=20(3)n=5
∴Fórmula original= (2x-3b+ 4)(a+3b+5)
Tenga en cuenta que para la fórmula (*), debido a que las ecuaciones con cualquier valor de A y B son válidas, también puede usar el valor especial método para encontrar M y n.
Supongamos que a=1, b=0, m+2n=14m=4.
= & gt
Supongamos a=0, b=1, m=n=-1n=5.
2.9 Teorema factorial, factorización de división integral
Para el polinomio unario de coeficiente entero f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a 1x+A0.
Según el teorema factorial, se puede determinar si contiene un factorial de primer orden (x-) (donde P y Q son primos relativos), donde P es el divisor del primer coeficiente an, y Q es el último coeficiente divisor a0.
Si f()=0, entonces debe existir (x-) para descomponer el polinomio por división integral.
Ejemplo 8 Factorizar x3-4x2+6x-4
Este es un polinomio unario con coeficientes enteros, porque los divisores positivos de 4 son 1, 2 y 4.
Los posibles factores de ∴ son x^1, x^2, x^4,
∫f(1)≠0, f(1)≠0
Pero f(2)=0, entonces (x-2) es el factor de este polinomio, y luego usamos división sintética.
21-46-4
2-44
1-220
Entonces la fórmula original = (x-2)( x2-2x+2)
Por supuesto, este problema también se puede descomponer, como x3-4x2+4x+2x-4.
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
Factores de descomposición Hay muchas formas y sus métodos están interrelacionados. Es probable que un problema se resuelva utilizando varios métodos simultáneamente. Entonces, después de conocer estos métodos, debes prestar atención a usar varios métodos de manera flexible y comprenderlos con firmeza.
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Te daré todo desde la escuela secundaria
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1 Hay y solo hay una línea recta en dos puntos.
El segmento de recta más corto entre dos puntos.
3 Los ángulos suplementarios de ángulos congruentes o de ángulos iguales son iguales.
Los ángulos suplementarios de ángulos congruentes o de ángulos iguales son iguales.
Existe y sólo hay una recta perpendicular a la recta conocida.
De todos los segmentos de recta que conectan un punto fuera de la recta y puntos de la recta, el segmento de recta vertical es el más corto.
7 Axioma de las Paralelas: Por un punto fuera de una recta, pasa y hay sólo una recta paralela a esta recta.
Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces las dos rectas también son paralelas entre sí.
Los ángulos congruentes son iguales y dos rectas son paralelas.
10Los ángulos internos de la dislocación son iguales y las dos rectas son paralelas.
11 son complementarias y las dos rectas son paralelas.
12 Dos rectas son paralelas y los ángulos congruentes son iguales.
13 Las dos rectas son paralelas y los ángulos internos de dislocación son iguales.
14Dos rectas son paralelas y complementarias.
Teorema 15 La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado.
16 Infiere que la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado.
17 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180.
18 Corolario 1 Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
19 Corolario 2 Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes.
Corolario 3 El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no sea adyacente a él.
Los lados y ángulos correspondientes de los 21 triángulos congruentes son iguales.
Axioma Axioma (SAS) Hay dos triángulos con ángulos iguales.
23 El Axioma de los Ángulos (ASA) tiene la congruencia de dos triángulos que tienen dos ángulos y cuyos lados se corresponden entre sí.
24 Corolario (AAS) Hay dos ángulos, y el lado opuesto de un ángulo corresponde a la congruencia de los dos triángulos.
25 Axioma de los lados (SSS) Hay dos triángulos con tres lados iguales.
Axioma de hipotenusa y lado rectángulo (HL) Dos triángulos rectángulos con hipotenusa y lado rectángulo son congruentes.
Teorema 1 La distancia desde un punto de la bisectriz de un ángulo a ambos lados del ángulo es igual.
El teorema 2 es que un punto equidistante de ambos lados de un ángulo está en la bisectriz del ángulo.
La bisectriz del ángulo 29 es el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos lados del ángulo.
Propiedades del Teorema 30 del Triángulo Isósceles Los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (es decir, equiláteros y equiangulares).
31 Corolario 1 La bisectriz del vértice de un triángulo isósceles biseca la base y es perpendicular a la base.
La bisectriz del vértice, la línea media de la base y la altura de la base de un triángulo isósceles coinciden entre sí.
Corolario 3 Todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y cada ángulo es igual a 60°.
34 Teorema de determinación del triángulo isósceles Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos de los dos ángulos también son iguales (equiangulares y equiláteros).
Corolario 1 Un triángulo con tres ángulos iguales es un triángulo equilátero.
Corolario 2 Un triángulo isósceles con un ángulo igual a 60° es un triángulo equilátero.
En un triángulo rectángulo, si un ángulo agudo es igual a 30°, el lado derecho al que se enfrenta es igual a la mitad de la hipotenusa.
La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.
Teorema 39 ¿La distancia entre el punto en la perpendicular media de un segmento de recta y los dos puntos finales del segmento de recta es igual?
El teorema inverso establece que un punto equidistante de los dos extremos de un segmento de recta se encuentra en la perpendicular media del segmento de recta.
41 La mediatriz de un segmento de recta puede verse como el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos extremos del segmento de recta.
42 Teorema 1 Dos gráficas que son simétricas respecto de una recta son conformes.
Teorema 2: Si dos figuras son simétricas respecto de una recta, entonces el eje de simetría es la perpendicular a la recta que une los puntos correspondientes.
Teorema 3 Dos figuras son simétricas respecto de una recta. Si sus correspondientes segmentos o extensiones se cruzan, entonces el punto de intersección está en el eje de simetría.
45 Teorema inverso Si la línea recta que conecta los puntos correspondientes de dos figuras es bisecada perpendicularmente por la misma línea recta, entonces las dos figuras son simétricas con respecto a esta línea recta.
46 Teorema de Pitágoras La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C, es decir, A 2 + B 2 = C 2.
47 Inverso del Teorema de Pitágoras Si las longitudes de los tres lados de un triángulo A, B y C están relacionadas con A^2 + B^2 = C^2, entonces el triángulo es rectángulo triángulo.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero en el Teorema 48 es igual a 360.
La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.
El teorema de la suma de los ángulos interiores de 50 polígonos es que la suma de los ángulos interiores de N polígonos es igual a (n-2) × 180.
51 Infiere que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es igual a 360.
52 Teorema de propiedades de los paralelogramos 1 Las diagonales de los paralelogramos son iguales
53 Teorema de propiedades de los paralelogramos 2 Los lados opuestos de los paralelogramos son iguales
Inferencia entre Dos segmentos paralelos entre rectas paralelas son iguales.
55 Teorema 3 de las propiedades del paralelogramo Las diagonales de un paralelogramo se dividen en partes iguales.
56 Teorema 1 de la determinación de paralelogramos Dos conjuntos de paralelogramos con diagonales iguales son paralelogramos.
57 Teorema 2 de la determinación del paralelogramo Un paralelogramo con dos lados opuestos iguales es un paralelogramo.
58 Teorema 3 de la determinación del paralelogramo Un cuadrilátero cuya diagonal es bisecada es un paralelogramo.
59 Teorema 4 de la determinación del paralelogramo Un conjunto de paralelogramos con lados opuestos iguales es un paralelogramo.
60 Propiedades del teorema del rectángulo 1 Las cuatro esquinas de un rectángulo son ángulos rectos.
61 Teorema 2 de la propiedad del rectángulo Las diagonales de los rectángulos son iguales
62 Teorema 1 de la determinación del rectángulo Un cuadrilátero con tres ángulos rectos es un rectángulo.
63 Teorema 2 de la determinación del rectángulo Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo
64 Teorema 1 de las propiedades del rombo Los cuatro lados de un rombo son iguales
65 Propiedades del rombo Teorema 2 Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y cada diagonal divide en dos un grupo de diagonales.
El área del rombo 66 = la mitad del producto de la diagonal, es decir, S = (a × b) ÷ 2.
67 Teorema 1 de determinación del rombo Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo.
68 Teorema 2 de la determinación del rombo Un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares entre sí es un rombo.
69 Teorema 1 de las propiedades del cuadrado Los cuatro ángulos de un cuadrado son todos ángulos rectos y los cuatro lados son iguales.
70 Teorema 2 de las propiedades del cuadrado Las dos diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan perpendicularmente, y cada diagonal biseca un conjunto de diagonales.
Teorema 71 1. Dos gráficas centralmente simétricas son congruentes.
Teorema 2 Respecto a dos gráficas con simetría central, las rectas que conectan los puntos de simetría pasan por el centro de simetría y están divididas equitativamente por el centro de simetría.
73 Teorema inverso Si una línea recta que conecta los puntos correspondientes de dos gráficas pasa por un punto y es dividida igualmente por el punto, entonces las dos gráficas son simétricas con respecto al punto.
74 Teorema de propiedades del trapecio isósceles Dos ángulos de un trapezoide isósceles sobre la misma base son iguales.
Las dos diagonales de un trapezoide isósceles son iguales.
76 Teorema de determinación del trapezoide isósceles Un trapezoide con dos ángulos iguales sobre la misma base es un trapezoide isósceles.
Un trapezoide con diagonales iguales es un trapezoide isósceles.
78 Teorema de rectas paralelas que bisecan segmentos de recta Si un conjunto de rectas paralelas son tangentes a una recta.
Igual, entonces los segmentos cortados en otras rectas también son iguales.
79 Corolario 1 Una línea recta que pasa por el punto medio de una cintura de un trapezoide y paralela a la base biseca la otra cintura.
Corolario 2 Una línea recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela al otro lado bisecará el tercer lado.
81 El teorema de la línea media de un triángulo La línea media de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del mismo.
El teorema de la línea media del trapezoide es paralelo a las dos bases e igual a la mitad de la suma de las dos bases L = (a+b) ÷ 2s = l× h.
Propiedades básicas de la razón 83 (1) Si a:b=c:d, entonces ad=bc.
Si ad=bc, entonces a:b=c:d wc ∕ /S∕?
84 (2) Propiedades de combinación Si A/B = C/D, entonces (A B)/B = (C D)/D.
85 (3) Propiedad isométrica Si A/B = C/D = … = M/N (B+D+…+N ≠ 0), entonces
(a+ c+… +m)/(b+d+…+n)=a/b
86 Segmentos de recta paralelas y teorema de proporción Si tres rectas paralelas cortan dos rectas, los segmentos de recta correspondientes son proporcionales.
Infiere que una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados), y los segmentos de recta correspondientes obtenidos son proporcionales.
Teorema 88 Si los segmentos de recta correspondientes obtenidos al cortar dos lados de un triángulo (o una extensión de dos lados) son proporcionales, entonces esta recta es paralela al tercer lado del triángulo.
Línea recta paralela a un lado de un triángulo y que corta a los otros dos lados. Los tres lados del triángulo cortado son proporcionales a los tres lados del triángulo original.
Teorema 90: Si una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados (o extensiones de ambos lados), el triángulo formado es semejante al triángulo original.
91 Teorema de determinación de triángulos semejantes 1 Dos ángulos son iguales y dos triángulos son semejantes (ASA)
Dos triángulos rectángulos divididos por la altura de la hipotenusa son semejantes al triángulo original.
Teorema de decisión 2: Si ambos lados son proporcionales y los ángulos entre ellos son iguales, los dos triángulos son semejantes (SAS).
Teorema de Decisión 3 Si tres lados son proporcionales, dos triángulos son semejantes (SSS)
Teorema 95 Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo y un lado rectángulo son iguales a hipotenusa de otro triángulo rectángulo Proporcional a un lado recto, entonces los dos triángulos rectángulos son semejantes.
96 Teorema de propiedad 1 Los triángulos semejantes corresponden a razones de altura, y las razones de las líneas medias correspondientes y las razones de las bisectrices correspondientes son iguales a la razón de similitud.
97 Teorema de propiedad 2 La razón de los perímetros de triángulos semejantes es igual a la razón de similitud.
98 Teorema de propiedad 3 La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de similitud.
El seno de cualquier ángulo agudo es igual al coseno de los ángulos restantes, y el coseno de cualquier ángulo agudo es igual al seno de los ángulos restantes.
100La tangente de cualquier ángulo agudo es igual a la cotangente de los demás ángulos, y la cotangente de cualquier ángulo agudo es igual a la tangente de los demás ángulos.
101 Una circunferencia es un conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija.
El interior de un círculo 102 puede verse como un conjunto de puntos cuya distancia entre centros es menor que el radio.
El círculo exterior de un círculo 103 se puede considerar como un conjunto de puntos cuya distancia entre centros es mayor que el radio.
104 Círculos iguales o círculos iguales tienen el mismo radio.
La distancia de 105 al punto fijo es igual a la trayectoria de un punto de longitud fija, que es un círculo con el punto fijo como centro y la longitud fija como semidiámetro.
106 El lugar geométrico de un punto que está equidistante de los dos extremos de un segmento de recta conocido es la perpendicular media del segmento de recta.
El lugar geométrico desde 107 hasta un punto equidistante de ambos lados de un ángulo conocido es la bisectriz del ángulo.
El lugar geométrico de 108 a un punto equidistante entre dos líneas paralelas es una línea recta paralela y equidistante de las dos líneas paralelas.
Teorema 109: Tres puntos que no están en la misma recta determinan una circunferencia.
110 El teorema del diámetro perpendicular biseca una cuerda perpendicular a su diámetro y biseca dos arcos opuestos a la cuerda.
111 Corolario 1 ① El diámetro (no el diámetro) que biseca la cuerda es perpendicular a la cuerda y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.
(2) La perpendicular a la cuerda pasa por el centro del círculo y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.
③ Divide en dos el diámetro del arco opuesto a la cuerda, divide en dos la cuerda perpendicularmente y divide en dos el diámetro del arco opuesto a la cuerda.
112 Corolario 2 Los arcos comprendidos por dos cuerdas paralelas de una circunferencia son iguales.
113 Un círculo es una figura centralmente simétrica con el centro del círculo como centro de simetría.
Teorema 114: En el mismo círculo o dentro del mismo círculo, ángulos centrales iguales tienen arcos iguales, cuerdas iguales y distancias cuerda-centro iguales.
115 Se infiere que en un mismo círculo o círculos iguales, si un conjunto de cantidades en dos ángulos centrales, dos arcos, dos cuerdas o la distancia cuerda-centro de dos cuerdas son iguales, entonces las correspondientes Los otros conjuntos de cantidades también son iguales.
Teorema 116 El ángulo de un arco es igual a la mitad de su ángulo central.
117 Corolario 1 Los ángulos circunferenciales de un mismo arco o arcos iguales son iguales en un mismo círculo o dentro de un mismo círculo, los arcos opuestos a ángulos circunferenciales iguales también son iguales;
118 Corolario 2 El ángulo circunferencial (o diámetro) de un semicírculo es un ángulo recto; la cuerda de un ángulo circunferencial de 90° es el diámetro.
119 Corolario 3 Si la línea media de un lado de un triángulo es igual a la mitad de este lado, entonces el triángulo es rectángulo.
120 Teorema Las diagonales de un cuadrilátero inscrito en un círculo son complementarias, y cualquier ángulo exterior es igual a su ángulo interior.
121①El punto de intersección de la recta L y ⊙O es D < R.
(2) La tangente de la recta L, y ⊙O D = R.
③ Las líneas l y ⊙O están separadas entre sí, d > r?
122 Teorema de la tangente Una línea recta que pasa por el extremo exterior de un radio y es perpendicular al radio es una tangente a un círculo.
123 Propiedades del teorema de la tangente La tangente de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto tangente.
124 Corolario 1 Una recta que pasa por el centro del círculo y es perpendicular a la tangente debe pasar por el punto tangente.
125 Corolario 2 Una recta que pasa por la tangente y es perpendicular a la tangente debe pasar por el centro del círculo.
Teorema de longitud tangente 126: Dos tangentes a un círculo se trazan desde un punto fuera del círculo, y sus longitudes tangentes son iguales. La línea entre el centro del círculo y este punto biseca el ángulo entre las dos tangentes.
127 La suma de los dos lados opuestos de un cuadrilátero que circunscribe un círculo es igual.
128 Teorema del ángulo de la cuerda El ángulo de la cuerda es igual al ángulo circunferencial del par de arcos que contiene.
129 Corolario: Si los arcos encerrados por dos ángulos tangentes a cuerda son iguales, entonces los dos ángulos tangentes a cuerda también son iguales.
130 Teorema de las cuerdas que se cruzan La longitud de dos cuerdas que se cruzan en un círculo dividida por el producto del punto de intersección es igual.
1365438+
132 El teorema de la tangente conduce a la tangente y secante del círculo desde un punto fuera del círculo La longitud de la tangente es la razón de las longitudes de las dos rectas. en la intersección del punto y la secante término medio.
133 Infiere que los productos de las longitudes de las dos rectas trazadas desde un punto fuera del círculo hasta la intersección de cada secante y el círculo son iguales.
134 Si dos círculos son tangentes, entonces el punto tangente debe estar en la recta que los une.
135①La circunferencia de los dos círculos D > R+R ②La circunferencia de los dos círculos D = R+R.
③¿La intersección de dos círculos r-r < d < r+r (r > r)?
④El círculo inscrito D = R-R (R > R) ⑤Los dos círculos contienen D < R-R (R > R).
Teorema 136 La intersección de dos circunferencias bisecta perpendicularmente la cuerda común de las dos circunferencias.
El teorema 137 divide un círculo en n (n≥3);
(1) El polígono obtenido al conectar los puntos en secuencia es el polígono N regular inscrito del círculo.
⑵ Un polígono cuyo vértice es el punto de intersección de rectas tangentes adyacentes de un círculo que pasa por cada punto es un polígono N regular que circunscribe el círculo.
Teorema 138 Todo polígono regular tiene una circunferencia circunscrita y una circunferencia inscrita, que son circunferencias concéntricas.
139 Cada ángulo interior de un polígono regular de N lados es igual a (n-2) × 180/n.
Teorema 140 El radio y la apotema de un polígono regular de N lados dividen el polígono regular de N lados en 2n triángulos rectángulos congruentes.
141 El área del polígono regular N Sn = PNRN/2 P representa el perímetro del polígono regular N.
142 El área de un triángulo equilátero √ 3a/4a representa la longitud del lado.
143 Si hay K N ángulos positivos alrededor de un vértice, dado que la suma de estos ángulos debe ser 360, entonces K× (n-2) 180/n = 360 se convierte en (n-2) (k -2)=4.
¿144 de longitud de arco? Espada=n R/180
Fórmula del área del sector 145: Sector S=n r 2/360 = LR/2.
La longitud de la tangente interior de 146 = d-(R-r) La longitud de la tangente exterior = d-(R+r)
(Hay algunas más, por favor ayude a agregar.)
Herramientas prácticas: fórmulas matemáticas de uso común
Expresiones de fórmulas de clasificación de fórmulas
Multiplicación y factorización
a^2 -b^2=(a +b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^ 3=(a-b(a^2+ab+b^2)
Desigualdad del triángulo | a+b |≤| a |+b | | | a-b |≤| a |+b | a | ≤b < = & gt;-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| p>
Un dólar dos Solución de la ecuación cuadrática -b+√ (b 2-4ac)/2a-b-√ (b 2-4ac)/2a
La relación entre raíces y coeficientes x 1+x2 =-b/a x 1 * x2 = c/a Nota: Teorema de Vietta
Discriminante
B 2-4ac = 0 Nota: La ecuación tiene dos raíces reales iguales.
b^2-4ac>0 Nota: ¿La ecuación tiene dos raíces reales desiguales?
b^2-4ac<0 Nota: La ecuación no tiene raíces reales, pero sí las hay. raíces complejas de *yoke.
Fórmula de la función trigonométrica
Fórmula de la suma de dos ángulos
sen(A+B)=senAcosB+cosAsinB
sen(A-B) = sinAcosB-senBcosA?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB )/(1-tanA tanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA tanB)
cuna(A+B)=(cotA cunaB- 1)/(cuna B+cunaA)?
cot(A-B)=(cotA cotB+1)/(cot b-cotA)
Fórmula del doble ángulo
tan2A=2tanA/[1-( tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
Fórmula del medio ángulo
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2) )= √((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A /2 )=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))?
Suma y diferencia Producto
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))
2cosAcosB =cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
senA+sinB = 2 sin( (A+ B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+ tanB=sin(A+B)/cosAcosB
La suma de los primeros n términos de alguna serie
1+2+3+4+5+6+7+8 + 9+…+n = n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)= N2
2+4+6+8+112+14+…+(2n)= n(n+1)5
1^2+2^2+3^2+ 4 ^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+ 2 ^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/4
1 * 2+2 * 3+3 * 4+4 * 5+5 * 6+6 * 7+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3
Teorema del seno a/sinA= b /sinB=c/sinC=2R Nota: r representa el radio del círculo circunstante del triángulo.
Teorema del coseno B^2 = A^2 + C^2-2 ACCOSB Nota: El ángulo B es el ángulo entre el lado A y el lado C.
La ecuación estándar de un círculo (X-A) 2+(Y-B) 2 = R2 Nota: (A, B) son las coordenadas del centro del círculo.
Ecuación general de la circunferencia x 2+y 2+dx+ey+f = 0 Nota: d 2+e 2-4f > 0
Ecuación estándar de la parábola y ^ 2 = 2px y^2 =-2px x^2 = 2py x^2 =-2py.
El área lateral de un prisma recto es S = c*h. El área lateral de un prisma oblicuo es S = c’* h.
El área lateral de una pirámide recta S=1/2c*h 'El área lateral de un prisma recto S=1/2(c+c')h '
El área lateral de un cono circular S = 1/2(c+c')l = pi(R+R)l El área de la superficie de la pelota es S=4pi*r2.
El área lateral del cilindro S=c*h=2pi*h El área lateral del cono s = 1/2 * c * l = pi * r * l.
La fórmula de la longitud del arco l=a*r a es el número de radianes del ángulo central r >;0 fórmula del área del sector s=1/2*l*r
El cono fórmula de volumen V= 1/3*S*H fórmula de volumen del cono V=1/3*pi*r2h?
El volumen de un prisma oblicuo V=S'L Nota: S' es el área de la sección transversal y l es la longitud del lado.
Fórmula del volumen del cilindro V=s*h Cilindro V=pi*r2h