Como se muestra en la figura, para desarrollar los recursos turísticos, un lugar determinado quiere construir una carretera que conecte el lugar escénico P y el área residencial O. La ladera donde se encuentra el punto P y el plano horizontal al pie de la montaña.

Respuesta: Solución: (Ⅰ) Como se muestra en la figura, PH⊥α, HB?α, PB⊥AB,

Según el teorema inverso del teorema de las tres perpendiculares, AB⊥HB,

Entonces ∠PBH es el ángulo plano del ángulo diédrico entre la ladera y α,

Entonces ∠PBH=θ, PB=PHsinθ=1.

Supongamos BD=x (km), 0≤x≤1.5,

Entonces PD=x2 PB2=x2 1∈[1, 2].

Registre el costo total como f1(x) millones de yuanes,

Según el título, f1(x)=(PD2 1 12AD AO)a=(x2?12x 114 3 )a =(x?14)2a (4316 3)a

Cuando x=14, es decir, BD=14(km), el costo total f1(x) es el más pequeño.

(Ⅱ) Supongamos que AE=y (km), 0≤y≤54, el costo total es f2(y) millones de yuanes,

Según la pregunta, f2(y) )＝ [PD2 1 y2 3 12(32?14?y)]a=(y2 3?y2)a 4316a,

Entonces f2′(y)=(yy2 3?12)a, de f2′ (y)=0, obtenga y=1.

Cuando y∈(0,1), f2′(y)<0, f2(y) es una función decreciente en (0,1);

Cuando y∈ Cuando (1,54), f2′(y)>0, f2(y) es una función creciente en (1,54).

Entonces, cuando y = 1, es decir, cuando AE = 1 (km), el costo total f2 (y) es el más pequeño y el costo total mínimo es 67,16 millones de yuanes.