Geometría proyectiva y geometría métrica (4)
Mirando la geometría desde la perspectiva de la transformación
Después de que Klein resumió varias geometrías métricas como geometría proyectiva, comenzó a buscar las características que distinguen varias geometrías, no solo basadas en las no métricas. y métrica La distinción entre propiedades y diversas medidas se basa en una visión más amplia: los objetivos que la geometría quiere alcanzar, para caracterizarlos. Dio esta caracterización en un discurso que pronunció en la Facultad de Erlangen en 1827, cuyas ideas se conocieron como el Programa de Erlangen.
El punto básico de Klein es que toda geometría se caracteriza por un grupo de transformación, y lo que toda geometría hace es considerar sus invariantes bajo este grupo de transformación. La subgeometría de una geometría es una familia de invariantes bajo un subgrupo de. el grupo de transformación original Según esta definición, los teoremas geométricos de un grupo de transformación dado siguen siendo teoremas en la geometría del subgrupo.
Aunque Klein no utilizó expresiones analíticas para enunciar los grupos de transformación que analizó en su artículo, las expresiones analíticas se utilizarán para la explicación a continuación. Según su concepto geométrico, la geometría proyectiva (como la bidimensional) es el estudio de invariantes y formas de transformación bajo el grupo de transformación de un punto en un plano a un punto en otro plano o a un punto en el mismo plano (transformación directa ) Por ejemplo, x1'=a11x1+a12x2+a13x3 (coordenadas homogéneas) o x'=(a11x+a12y+a13)/(a31x+a32y+a33) (coordenadas no homogéneas, y' es cambiar a1i a a2i) , coeficiente El determinante no debe ser 0. Los invariantes bajo el grupo de transformación proyectiva incluyen: linealidad, linealidad máxima, relación de intersección, conjunto armónico, sección cónica restante sin cambios, etc.
Un subconjunto del grupo fotográfico es una familia de transformaciones afines. Este subgrupo se define de la siguiente manera: Supongamos que cualquier recta l∞ está fija en el plano proyectivo, y el punto en l∞ se llama ideal. punto o un punto infinito, l∞ se llama línea recta infinita, y otros puntos en el plano proyectivo se llaman puntos ordinarios. El grupo afín de transformación directa es el subgrupo del grupo fotográfico que hace que l∞ sea invariante (pero los puntos en la línea no necesitan permanecer sin cambios). La geometría afín son las propiedades y relaciones que son invariantes bajo transformación afín. coordenadas homogéneas La transformación afín se expresa algebraicamente como la ecuación anterior, pero donde a31=a32=0, y tiene las mismas condiciones determinantes. La transformación afín de coordenadas no homogéneas es x'=a11x+a12y+a13, y'=a21x+a22y+a23, y el cofactor de a33 no es 0. Bajo la transformación afín, la línea recta se convierte en una línea recta y la línea recta paralela se convierte en líneas paralelas, sin embargo, la longitud y el tamaño cambian. La geometría afín fue notada por primera vez por Euler y luego señalada por Möbius en el libro "Cálculo de coordenadas baricéntricas". Es útil en el estudio de la mecánica de la deformación.
Cualquier grupo geométrico métrico es igual que el grupo afín excepto que el valor determinante anterior debe ser ±1. La primera geometría métrica es la geometría euclidiana. Para definir este grupo geométrico, comience desde l∞ y suponga que hay una transformación de involución fija en l∞. Se requiere que esta transformación de involución no tenga dos puntos reales y sea virtual en ∞. sirven como puntos secundarios. Considere la transformación proyectiva para dejar l∞ sin cambios y cambiar cualquier punto de la involución a cualquier punto de la involución, es decir, cada punto del círculo virtual se convierte en sí mismo, el álgebra de las coordenadas bidimensionales no homogéneas de estas transformaciones del Grupo euclidiano La expresión es x'=ρ(xcosθ-ysinθ+α), y'=ρ(xsinθ-ycosθ+β), ρ=±1. Lo que permanece sin cambios es la longitud, el tamaño del ángulo y el tamaño. y forma de cualquier figura.
En los términos de esta clasificación, la geometría euclidiana es un conjunto de invariantes bajo transformaciones de rotación, traslación y reflexión. Para obtener invariantes sobre formas similares, el subgrupo del grupo afín que introducimos se llama grupo métrico parabólico, que se define como una familia de transformaciones proyectivas que hacen invariante la involución en l∞, es decir, cada par de puntos correspondientes se transforma en el otro correspondiente Un par de puntos. La transformación del grupo métrico parabólico de coordenadas no homogéneas tiene la forma x'=ax-by+c,y'=bex+aey+d, . Estas transformaciones mantienen constante el tamaño del ángulo.