Introducción a la geometría proyectiva

El origen más antiguo de la geometría proyectiva es la pintura. El vigoroso desarrollo de la perspectiva durante el Renacimiento europeo proporcionó buenas condiciones para el crecimiento de la geometría proyectiva. Los camaradas que saben un poco de arte saben lo que es la perspectiva.

En la Figura 26, los dos carriles de suministro son inicialmente paralelos entre sí. A través de la perspectiva, cuanto más lejos van, más se acercan. Finalmente, se cruza en un punto en el infinito.

En geometría proyectiva, dos rectas paralelas que se cortan en el infinito se llaman infinito. La trayectoria de un punto en el infinito es una línea recta en el infinito, lo cual es diferente de la geometría euclidiana. Después de que todas las figuras en geometría euclidiana se someten a una transformación de cuerpo rígido (como traslación, rotación), la longitud del segmento de línea, el tamaño del ángulo, la figura, la forma y el área no cambiarán. La geometría que estudia las propiedades invariantes de figuras geométricas planas o espaciales bajo transformación de cuerpo rígido es la geometría euclidiana. Si un cono de luz proyectado emana del centro O, la sección transversal del rectángulo ABCD en el plano P es A'B'C'D '. La sección A'B'C'D' no es necesariamente rectangular. Intuitivamente, es fácil ver que su tamaño y forma cambian con ABCD. Entonces, después de esta transformación proyectiva, ¿cuáles son las propiedades geométricas de las gráficas A′b′c′d′ y ABCD? La geometría que estudia las propiedades invariantes de los gráficos bajo transformaciones proyectivas se llama geometría proyectiva.

Uno de los conceptos más básicos en geometría proyectiva es la relación cruzada. En una figura, S es el punto central y se dibujan cuatro rayos desde S para formar un haz de líneas fijas. Otra línea cruza el arnés en A, B, C y D respectivamente. AB/CD: AD/BC o AB CD/BC AD se denomina relación cruzada en este mazo de cables. No importa cómo se tome la línea recta L (como L’), siempre que el mazo de cables esté fijo, el valor de la relación transversal es siempre el mismo. La invariancia de relación cruzada es una de las invariantes más básicas de la transformación proyectiva. Muchas propiedades importantes en geometría proyectiva se derivan de propiedades de proporción cruzada.

En lo que al contenido de geometría se refiere, la geometría proyectiva