La OMI más difícil de la historia
La 40ª OMI es la más difícil. Las preguntas son las siguientes: 1. El círculo Γ1 y el círculo Γ2 se cortan en los puntos M y N. Sea l la tangente común de las dos tangentes comunes del círculo Γ1 y el círculo Γ2 que está más cerca de M. l es tangente al círculo Γ1 en el punto A. , es tangente al círculo Γ2 en el punto B. Supongamos que la línea recta que pasa por el punto M y es paralela a l corta al círculo Γ1 en el punto C, y corta al círculo Γ2 en el punto D. Las rectas CA y DB se cortan en el punto E; las rectas AN y CD se cruzan en el punto P; las rectas BN y CD se cruzan en el punto Q. Verificar: EP=EQ 2. Supongamos que a, b, c son números reales positivos y satisfacen abc=1. - 1 + 1/b)( b - 1 + 1/c)(c - 1+ 1/a) ≤ 1. 3. Sea n≥2 un entero positivo. Al principio, hay n pulgas en una recta. línea, y no todos están en el mismo punto: Para cualquier número real positivo λ, se puede definir el siguiente "movimiento"
o o
(1). dos pulgas y supongamos que están ubicadas en el punto A. y el punto B, y A está a la izquierda de B (2). Deje que la pulga en el punto A salte al punto C en la línea recta a la derecha del punto B; de modo que
BC/AB=λ.
BC/AB=λ.
p>Intenta determinar todos los posibles números reales positivos λ, de modo que para Cualquier punto M en la línea recta y cualquier posición inicial de estas n pulgas, todas las pulgas siempre pueden ubicarse en M después de un número finito de movimientos 4. Un mago tiene cien cartas con números del 1 al 100 escritos en ellas. Coloca las cien cartas en tres cajas, una es roja, una es blanca y una es de color. Se coloca al menos una tarjeta en cada caja. cada una de las dos casillas, y luego anuncia los números en las dos cartas. Conociendo esta suma, el mago puede señalar cuál es aquella de la cual no se eligió ninguna carta. las cartas para que la magia siempre tenga éxito (Los dos métodos se consideran diferentes, si al menos una carta se pone en una caja de diferente color)
n 5. Determina si existe un número entero positivo n? que satisface las siguientes condiciones: Es exactamente divisible por 2000 números primos diferentes, y 2n +1 puede ser divisible por n.
6 Sean AH1, BH2 y CH3 las tres altitudes del triángulo agudo. ABC. La circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en el punto T1 respectivamente, T2, T3, sean las rectas l1, l2, l3 las rectas H2H3, H3H1, H1H2 respectivamente. Las rectas simétricas respecto de las rectas T2T3, T3 T1, T1T2 Verificar: Los vértices del triángulo determinado por l1, l2, l3 son todos
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