¿Cómo aprender ecuaciones cuadráticas rápidamente?

Método de solución general 1. Método de combinación (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable)

2. Método de fórmula (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable)

3. Método de factorización (puede resolver algunas ecuaciones cuadráticas de una variable) (el método de factorización se divide en "método de factor común" y "método de fórmula" (también se divide en "fórmula de diferencia cuadrada" y "fórmula cuadrática completa") "y “Método de multiplicación cruzada”.

4. Método de apertura (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas) La solución de ecuaciones cuadráticas realmente no es posible (compra un cálculo Casio fx-500 o 991. Tenga el equipo para resolver ecuaciones). , pero se requiere la forma general)

5. Método algebraico (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas de una variable)

Introduce el método algebraico directamente

ax ^2 +bx+c=0

Dividir por a al mismo tiempo, puede convertirse en x^2+bx+c=0

Supongamos: x=y-b/2

La ecuación se convierte en: (y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0

Entonces se convierte en: y^2+ (b^2*3)/4+c=0

y=±√[(b^2*3)/4+c]

Cómo elegir la solución más sencilla :

1. Vea si se puede resolver directamente tomando la raíz cuadrada;

2. Vea si se puede resolver factorizando (en la solución de factorización, primero considere la. método de factor común, luego considere el método de fórmula cuadrada y finalmente considere el método de multiplicación cruzada);

3. Utilice el método de fórmula para resolver;

4. método (aunque el método combinado puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pero a veces es demasiado problemático resolver el problema)

1. Puntos de conocimiento:

Las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones lineales son ambas. Las ecuaciones integrales son un contenido clave de las matemáticas en la escuela secundaria y también son la base para aprender matemáticas en el futuro.

La forma general de una ecuación cuadrática es: ax^2+bx+c=0, (a≠0.), es una ecuación integral que contiene solo una incógnita y el grado más alto de la incógnita es 2.

La idea básica de resolver una ecuación cuadrática de una variable es convertirla en dos ecuaciones lineales de una variable "reduciendo el grado". Ecuación Hay cuatro soluciones para ecuaciones cuadráticas de una variable: 1. Método de raíz cuadrada directa 2. Método de combinación; 3. Método de fórmula; 4. Método de factorización; 5. Método algebraico

2. Métodos y ejemplos Conferencias:

1. Método de raíz cuadrada directa:

El método de raíz cuadrada directa es un método para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando el método de raíz cuadrada directa, como la ecuación (x-m)2 =n (n≥0), su solución es x=m±√n

Ejemplo 1. Resolver la ecuación (1) (3x+1)^2=7 (2) 9x^2- 24x+16=11

Análisis: (1) Esta ecuación es obviamente más fácil de resolver. resolver con el método de raíz cuadrada directa (2) El lado izquierdo de la ecuación es el método del cuadrado perfecto (3x-4)^2, y el lado derecho = 11>0, por lo tanto, esta ecuación también se puede resolver mediante el método directo. método de raíz cuadrada.

(1) Solución: (3x+1)^2=7

∴(3x+1)^2=7

∴3x+1= ±√7 (cuidado con no perder la solución)

∴x= ...

∴La solución de la ecuación original es x1=...,x2= .. .

(2) Solución: 9x^2-24x+16=11

∴(3x-4)^2=11

∴3x-4 =±√11

∴x= ...

∴La solución de la ecuación original es x1=...,x2= ...

2. Método de combinación: use el método de combinación para resolver la ecuación ax^2+bx+c=0 (a≠0)

Primero mueva el número fijo c al lado derecho de la ecuación: ax^2+ bx=-c

Convierte el coeficiente del término cuadrático a 1: x^2+(b/a)x=-c/a

Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término lineal a ambos lados de la ecuación: x^ 2+(b/a)x+0.5(b/a)^2=-c/a+0.5(b/a)^2

El lado izquierdo de la ecuación se convierte en un cuadrado perfecto: [x+0.5 (b/a)]^2=-c/a+0.5(b/a)^2

Cuando b2-4ac≥0, x+ = ± √[-c/a+0.5(b /a)^2 ]-0.5(b/a)

∴x=...(Esta es la fórmula raíz)

Ejemplo 2. Usa el método compuesto para resolver la ecuación 3x^2-4x-2=0

Solución: Mover el término constante al lado derecho de la ecuación 3x^2-4x=2

El coeficiente del término cuadrático es 1: x^2-x=

Suma la mitad del cuadrado del coeficiente lineal a ambos lados de la ecuación: x^2-x+( )^2= +( )^ 2

Fórmula: (x-)^2=

Raíz cuadrada directa: x-=±

∴x=

∴ La solución de la ecuación original es x1=,x2=

3．. Método de fórmula: transforme la ecuación cuadrática a la forma general de ax ^ 2 + bx + c, y luego sustituya los valores de los coeficientes a, b y c en la fórmula de búsqueda de raíces para obtener las raíces de la ecuación.

Cuando b^2-4ac>0, la fórmula raíz es x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2- 4ac )]/2a (dos raíces reales desiguales)

Cuando b^2-4ac=0, la fórmula de la raíz es x1=x2=-b/2a (dos raíces reales iguales) )

Cuando b^2-4ac<0, la fórmula raíz es x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac- b^2)i]/ 2a (las raíces imaginarias de dos yugos sexuales) (lo que los estudiantes de secundaria entienden como si no tuviera raíces reales)

Ejemplo 3. Usa el método de la fórmula para resolver la ecuación 2x^2-8x=-5

Solución: convierte la ecuación a una forma general: 2x^2-8x+5=0

∴ a=2, b=-8, c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴La solución de la ecuación original es x1=,x2=

4. Método de factorización: transforma la ecuación de modo que un lado sea cero, descompone el trinomio cuadrático del otro lado en el producto de dos factores lineales, iguala los dos factores lineales a cero respectivamente y obtiene dos ecuaciones lineales de una variable, las raíces. obtenidas resolviendo estas dos ecuaciones lineales son las dos raíces de la ecuación original. Este método de resolver ecuaciones cuadráticas se llama factorización.

Ejemplo 4. Usa la factorización para resolver las siguientes ecuaciones:

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0

( 3 ) 6x^2+5x-50=0 (opcional) (4)x^2-4x+4=0 (opcional)

(1) Solución: (x+3)(x -6) =-8 Simplifica y obtiene

x^2-3x-10=0 (el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrático y el lado derecho es cero)

(x- 5)(x+2)=0 (factorizar el lado izquierdo de la ecuación)

∴x-5=0 o x+2=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)

∴x1=5,x2=-2 es la solución de la ecuación original.

Solución a (2): 2x^2+3x=0

x(2x+3)=0 (Usa el método del factor común para factorizar el lado izquierdo de la ecuación)

p>

∴x=0 o 2x+3=0 (convertido en dos ecuaciones lineales de una variable)

∴x1=0, x2=- es la solución de la ecuación original.

Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución x=0 al hacer este tipo de preguntas. Debes recordar que hay dos soluciones para la ecuación cuadrática.

(3) Solución: 6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (Presta especial atención al signo al factorizar por multiplicación cruzada No te equivoques)

∴2x-5=0 o 3x+10=0

∴x1=, x2=- es la solución de la ecuación original.

Solución a (4): x^2-4x+4 =0 (∵4 se puede descomponer en 2 ·2, ∴ se puede factorizar en esta pregunta)

(x - 2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2 es la solución de la ecuación original.

Resumen:

Para resolver ecuaciones cuadráticas en general de una variable, el método más utilizado es el método de factorización. Al aplicar el método de factorización, generalmente es necesario escribir primero la ecuación. en una forma general. Al mismo tiempo, el coeficiente del término cuadrático debe convertirse en un número positivo.

El método de apertura directa es el método más básico.

El método de fórmula y el método de combinación son los métodos más importantes. El método de la fórmula es aplicable a cualquier ecuación cuadrática de una variable (algunos lo llaman método universal). Cuando se utiliza el método de la fórmula, la ecuación original debe transformarse a una forma general para determinar los coeficientes y el valor de la misma. El discriminante debe calcularse antes de usar la fórmula para determinar si la ecuación tiene solución.

El método de combinación es una herramienta para derivar fórmulas. Después de dominar el método de fórmula, puede utilizar directamente el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Por lo tanto, el método de combinación generalmente no se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas. ecuaciones de una variable. Sin embargo, el método de emparejamiento se usa ampliamente para aprender otros conocimientos matemáticos. Es uno de los tres métodos matemáticos importantes que se deben dominar en las escuelas secundarias y se debe dominar bien. (Tres métodos matemáticos importantes: método de sustitución, método de combinación y método de coeficiente indeterminado).

Ejemplo 5. Resuelva las siguientes ecuaciones usando los métodos apropiados. (opcional)

(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 (2)x^2+2x-3=0

（3） Haz la multiplicación primero. Después de la observación, encontramos que el lado izquierdo de la ecuación se puede factorizar usando la fórmula de diferencia cuadrada y convertirlo en el producto de dos factores lineales.

(2) El método de multiplicación cruzada se puede utilizar para factorizar el lado izquierdo de la ecuación.

(3) Después de convertirlo a una forma general, use el método de fórmula para resolverlo.

(4) Transforma la ecuación en 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0, y luego usa el método de multiplicación cruzada para factorizar.

(1) Solución: 4(x+2)^2-9(x-3)^2=0

[2(x+2)+3(x- 3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5 =0 o -x+13=0

∴x1=1,x2=13

(2) Solución: x^2+2x-3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0 o x-1=0

∴x1=-3 , x2=1

(3) Solución: x^2-2 x=-

x^2-2 x+ =0 (primero convertir a forma general)

△=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

(4) Solución: 4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+ 3 )=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0 o 2x- ( m+3)=0

∴x1= ,x2=

Ejemplo 6. Encuentra las dos raíces de la ecuación 3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0. (Opcional)

Análisis: Será más engorroso hacer esta ecuación si primero realizamos la exponenciación, la multiplicación y fusionamos términos similares en una forma general. Al observar la pregunta detenidamente, encontramos que si x+. 1 y x -4 se consideran como un todo, entonces el lado izquierdo de la ecuación se puede factorizar mediante el método de multiplicación cruzada (en realidad, usando el método de sustitución)

Solución: [3(x+1) +2(x- 4)][(x+1)+(x-4)]=0

Es decir (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x- 1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0 o 2x- 3=0

∴x1=1,x2= es la solución de la ecuación original.

Ejemplo 7. Usa el método de combinación para resolver la ecuación cuadrática x^2+px+q=0 sobre x

Solución: x^2+px+q=0 se puede transformar en

x ^ 2+px=-q (el término constante se mueve al lado derecho de la ecuación)

x^2+px+( )2=-q+( )2 (el cuadrado de la mitad del coeficiente de el término lineal se suma a ambos lados de la ecuación)

p>

(x+)2= (fórmula)

Cuando p^2-4q≥0, ≥0 (p^2-4q debe clasificarse y discutirse)

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

Cuando p^2- 4q<0, <0, la ecuación original no tiene raíces reales.

Nota: Esta pregunta es una ecuación que contiene coeficientes de letras. No hay condiciones adicionales para pyq en la pregunta. Por lo tanto, durante el proceso de resolución del problema, siempre debes prestar atención a los requisitos de las letras. valores y llevar a cabo discusiones clasificadas cuando sea necesario.